新高考数学二轮复习解析几何专项提升练习（10）（含解析）

2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（10）1.已知两条直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求满足下列条件的a，b的值.（1） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，且原点到这两条直线的距离相等.2.已知圆C的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.（1）若，求点P的坐标；（2）试证明经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.3.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线相切于原点O.（1）求圆C的方程.（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点的距离等于线段OF的长?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4.设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 .（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，求直线AB的方程.5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在l上.（1）若圆心C也在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围.6.已知圆C过点，，且圆心C在直线上.（1）求圆C的方程.（2）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.7.设，为平面直角坐标系内的两点，其中.令，，若，且 SKIPIF 1 < 0 ，则称点B为点A的“相关点”，记作 SKIPIF 1 < 0 .（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的“相关点”的个数.（2）点 SKIPIF 1 < 0 的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在，写出圆的方程；若不在，请说明理由.8.已知过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PQSR的面积的最小值.9.已知正方形的中心为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，正方形一边所在直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求正方形其他三边所在直线方程.10.已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为4.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积.答案以及解析1、（1）答案： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解析： SKIPIF 1 < 0 ，.①又 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .②由①②得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（2）答案： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 解析： SKIPIF 1 < 0 的斜率存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在. SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .③ SKIPIF 1 < 0 原点到这两条直线的距离相等， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在y轴上的截距互为相反数，即 SKIPIF 1 < 0 .④由③④得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 经检验，此时的 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合，故所求值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 2、（1）答案：点P的坐标为或解析：由已知条件可得圆C的圆心，半径.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得或 SKIPIF 1 < 0 ，所以点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .（2）答案：该圆必经过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 解析：设 SKIPIF 1 < 0 .过点A，P，C的圆是以PC为直径的圆，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 所以该圆必经过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .3、（1）答案：圆C的方程为解析：设圆C的圆心为，则圆C的方程为.直线与圆C相切于原点O，点O在圆C上，且OC垂直于直线，于是有解得或由于点在第二象限，故，， SKIPIF 1 < 0 圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）答案：存在点解析：假设存在符合要求的点Q.设，则有解得或(舍去)，存在点，使Q到定点的距离等于线段OF的长.4、（1）答案： SKIPIF 1 < 0 解析：抛物线的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案：解析：[方法一]：【最优解】直线方程横截式设，， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，由可得，，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，，所以，同理可得，所以.又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以，若要使最大，则，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 .[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 .直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 .代入抛物线方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由斜率公式可得： SKIPIF 1 < 0 .(下同方法一)若要使 SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 .[方法三]：三点共线设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，若P、M、N三点共线，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，反之，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得MN过定点 SKIPIF 1 < 0 ，因此，由M、N、F三点共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，由M、D、A三点共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，由N、D、B三点共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，(下同方法一)若要使 SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 .5、（1）答案：或，即或解析：由得则圆心.又圆C的半径为1，圆C的方程为.显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即.，，，或.所求圆C的切线方程为或，即或.（2）答案： SKIPIF 1 < 0 解析：设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，记为圆D.根据题意只要保证圆D与圆C有公共点即可.设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 圆心C的横坐标a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .6、（1）答案：圆C的方程为解析：设圆C的方程为，依题意得解得所以圆C的方程为.（2）答案：不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB解析：假设符合条件的实数a存在.由（1）得圆心C为，因为直线l垂直平分弦AB，所以圆心必在直线l上，所以直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .又圆C的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心C到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB.7、（1）答案：点的“相关点”有8个解析：因为，所以，为非零整数.因为，所以，或，，所以点的“相关点”有8个.（2）答案：圆的方程为解析：设点的“相关点”的坐标为，.由（1）知，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以所有“相关点”都在以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，所求圆的方程为.8.答案：四边形PQSR的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 解析：由题意，得直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .从而直线PR和QS的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .由点到直线的距离公式，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以四边形PQSR的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .9.答案：其他三边所在直线方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解析：设与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的边所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 得正方形的中心坐标为 SKIPIF 1 < 0 .由点P到两直线l， SKIPIF 1 < 0 的距离相等，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去). SKIPIF 1 < 0 .又正方形另两边所在直线与l垂直， SKIPIF 1 < 0 设另两边所在直线的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 正方形的中心到四条边的距离相等， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 另两条边所在直线方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 其他三边所在直线方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .10、（1）答案：解析：由条件知， SKIPIF 1 < 0 ，，双曲线C的标准方程为.（2）答案：面积为1解析：由双曲线的定义可知，.，，，的面积.