新高考数学二轮复习导数培优专题02 曲线的切线方程（含解析）

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【方法总结】
求曲线切线方程的步骤
(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤
第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
【例题选讲】
[例1](1) (2021·全国甲)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________．
答案 5x－y＋2＝0 解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq \f(2(x＋2)－(2x－1),(x＋2)2)＝eq \f(5,(x＋2)2)，所以y′|x＝－1＝eq \f(5,(－1＋2)2)＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．
(2) (2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案 B 解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．
(3) (2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x
答案 D 解析 法一 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0．因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．
法二 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．
法三 易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．
(4) (2020·全国Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
答案 2x－y＝0 解析 设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝ln x＋x＋1，所以y′＝eq \f(1,x)＋1，所以切线的斜率为eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1．所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．
(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
答案 x－y－1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x．∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝(1＋ln x0)x0，))解得x0＝1，y0＝0．∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．
(6) (2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A．eb