高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆当堂达标检测题，共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题）
1. 若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a，b，c，则其焦点到相应准线的距离 p 等于
A. a2cB. b2cC. b2aD. a2b

2. 若方程 x225−m+y216+m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是
A. −16,25B. 92,25C. −16,92D. 92,+∞

3. 设 Px,y 为椭圆 4x2+16y2=64 上横坐标为 2 的点，F2 为右焦点，则 ∣PF2∣ 的值为
A. 4+3B. 4−3C. 8+32D. 8−32

4. 已知方程 x22−k+y22k−1=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是
A. 12,2B. 1,+8C. 12,1D. 1,2

5. 设 F1，F2 为椭圆 x29+y25=1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则 PF2PF1 的值为
A. 514B. 49C. 513D. 59

6. 一种作图工具如图所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1，MN=3．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 C 的轨迹方程是
A. x29+y2=1B. x29−y2=1C. x216+y24=1D. x216−y24=1

7. 已知方程 x2m2+n−y23m2−n=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是
A. −1,3B. −1,3C. 0,3D. 0,3

8. 已知椭圆 x225+y216=1 的两个焦点分别为 F1，F2，斜率不为 0 的直线 l 过点 F1，且交椭圆于 A，B 两点，则 △ABF2 的周长为
A. 10B. 16C. 20D. 25

9. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F1A 的延长线、 F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切，若 Mt,0 为一个切点，则
A. t=2B. t>2
C. t<2D. t 与 2 的大小关系不确定

10. 设 P，Q 分别为圆 x2+y−62=2 和椭圆 x210+y2=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是
A. 52B. 46+2C. 7+2D. 62

二、填空题（共6小题）
11. 过点 0,2 和 −1,0 的椭圆的标准方程是 ．

12. 椭圆 x29+y22=1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上．若 PF1=4，则 PF2= （用数字填写）．

13. 椭圆 x2+y2k=1 的一个焦点为 0,2，则 k= ．

14. 焦点的坐标分别是 0,−2，0,2，并且经过点 −32,52 的椭圆的方程为 ．

15. 已知 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上一点，P 与两焦点的连线互相垂直，且 P 到两焦点的距离分别为 25,45 ，则椭圆的方程为 .

16. 如果 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .

三、解答题（共6小题）
17. 已知方程 x24−k+y26+k=1 表示椭圆，求实数 k 的取值范围．

18. 用解析法证明：
（1）两条中线相等的三角形是等腰三角形；
（2）过正方形 ABCD 的顶点 D 作对角线 AC 的平行线 DE，使 ∣CE∣=∣AC∣，CE 与 AD 交于点 F（如图），求证：∣AF∣=∣AE∣．

19. 方程 Ax2+By2=C（A，B，C 不为 0）何时表示椭圆?

20. 如果点 Px,y 在运动过程中，总满足关系式 x2+y+32+x2+y−32=10，那么点 P 的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程．

21. 如图，F1，F2 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△POF2 是面积为 3 的正三角形，求此椭圆的标准方程．

22. 在 Rt△ABC 中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过 A，B 两点，它的一个焦点为点 C，另一个焦点在边 AB 上，求这个椭圆的焦距．
答案
1. B
2. B
3. B
4. D
【解析】由题意知 2−k>0,2k−1>0,2k−1>2−k, 所以 15. C
【解析】椭圆 x29+y25=1 的 a=3，b=5，c=a2−b2=2，由椭圆的定义可得 PF1+PF2=2a=6，由中位线定理可得 PF2⊥x 轴，令 x=2，可得 y=±5⋅1−49=±53，即有 PF2=53，PF1=6−53=133，则 PF2PF1=513．
6. C
【解析】如图所示建立平面直角坐标系，
设点 Dt,0t≤2，Nx0,y0，Mx,y，
依题意，MD=2DN，且 DN=ON=1，
所以 t−x,−y=2x0−t,y0，
且 x0−t2+y02=1,x02+y02=1 即 t−x=2x0−2t,y=−2y0,
且 tt−2x0=0，由于当点 D 不动时，点 N 也不动，
所以 t 不恒等于 0，于是 t=2x0，
故 x0=x4，y0=−y2，
代入 x02+y02=1，可得 x216+y24=1，
即所求的曲线 C 的方程为 x216+y24=1．
7. A
【解析】因为方程 x2m2+n−y23m2−n=1 表示双曲线，所以 m2+n⋅3m2−n>0，解得 −m28. C
【解析】由题意可得 a=5，
△ABF2 周长：
C=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=20.
9. A
【解析】如图，
设 P，Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线、线段 AF2 相切的切点，∣MF2∣=∣F2Q∣=2a−∣F1A∣+∣AQ∣=2a−∣F1P∣=2a−∣F1M∣，即 ∣F1M∣+∣MF2∣=2a，
所以 t=a=2．
故选A．
10. D
【解析】由题可得椭圆与圆相离．设椭圆上的一点 Qx,y，
则 x2=10−10y2−1≤y≤1．
因为圆 x2+y−62=2 的圆心为 0,6，半径为 2，
所以点 Q 与圆心的距离为
x2+y−62=10−10y2+y−62=−9y+232+50≤52,
当且仅当 y=−23 时等号成立，
所以 P，Q 两点间的最大距离是 52+2=62．
11. x2+y24=1
12. 2
13. 3
14. y210+x26=1
15. x245+y220=1
16. 0【解析】根据题意，x2+ky2=2 化为标准形式，为 x22+y22k=1．因为该椭圆表示焦点在 y 轴上的椭圆，则有 2k>2，
解出 017. −6,−1∪−1,4．
18. （1） 略；
（2） 略．
19. A，B，C 同号且 A，B 不相等时，方程 Ax2+By2=C 可化为 x2CA+y2CB=1，表示椭圆．
20. 因为点 P 的轨迹方程表示动点 Px,y 到定点 0,−3，0,3 的距离之和为 10，故点 P 的轨迹为椭圆，其标准方程为 y225+x216=1．
21. 设椭圆的焦距为 2c，
因为 △POF2 的面积为 3，
所以 12c⋅32c=3，解得 c=2，可得点 P1,3，代入椭圆方程得 1a2+3b2=1．
又 a2=b2+4，解得 a2=23+4，b2=23，
故所求椭圆的标准方程为 x223+4+y223=1．
22. 如图所示，
在 Rt△ABC 中，得 BC=2．
由 AB+AC+BC=4a=2+2 得 a=2+24．
所以 AC+AM=2a=2+22．
得 AM=22．
所以焦距 2c=AC2+AM2=62．
故椭圆的焦距为 62．