2022-2023学年贵州省三新改革联盟校高二下学期5月联考数学试题含答案

2022-2023学年贵州省三新改革联盟校高二下学期5月联考数学试题

一、单选题

1．某班有3名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【分析】采用排列，排列数的概念即可求解；

【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中抽取3个不同元素的排列数，

所以报名方法有种，

故选：C.

2．在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设不放回摸球，第一次摸到红球为事件A，情况数为.设第二次摸红球为事件B，则第一次摸红球第二次也摸红球的情况数为，则所求概率为.

【详解】设不放回摸2个球，第一次摸到红球为事件A，情况数为，

设第二次摸红球为事件B，则第一次摸红球第二次也摸红球的情况数为，

则所求概率为.

故选：B

3．已知随机变量X的分布列如图所示，若Y＝3X＋2，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】首先计算，再根据方差公式，即可求解.

【详解】由分布列可知，，

则，

，所以.

故选：B

4．球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的物理定义，对函数求导代入即可求解；

【详解】由，得：，所以时体积关于半径的瞬时变化率为;

故选：D.

5．有两箱同种规格的零件，第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中15件一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后再从这一箱中随机取出一个零件，则取出的零件是一等品的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取出的零件是一等品的概率为正好挑选到第一箱并抽取一等品的概率加上正好挑选到第二箱并抽取一等品的概率，然后概率相加求解即可；

【详解】正好挑选到第一箱并抽取一等品的概率为：；

正好挑选到第二箱并抽取一等品的概率为：；

总概率：

故选：D

6．某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（    ）（提示：若，则，，）

A．0.34135 B．0.3173 C．0.15865 D．0.0455

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质计算可得.

【详解】因为，所以，，

所以.

故选：C

7．在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)(x－6)的展开式中，含的项的系数是（    ）

A．－3 B．21 C．3 D．－21

【答案】A

【分析】由题可知要产生含的项，需要5个因式提供，1个因式提供常数，据此可得答案.

【详解】由题可知要产生含的项，需要5个因式提供，1个因式提供常数，则含的项的系数是.

故选：A

8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围.

【详解】由，则的切线斜率为，

由，则的切线斜率为，

而两曲线上总存在切线、有，即，

而，即，故，

所以，解得.

故选：B

【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．

【答案】AD

【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解.

【详解】对于A，，故A正确，

对于B，，故，故B错误，

对于C，则或，解得 或，故C错误，

对于D，,故D正确，

故选：AD

10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为

B．2个球不都是红球的概率为

C．2个球中恰有一个红球的概率为

D．已知只摸到一个红球，则红球是从甲袋摸出的概率是

【答案】ACD

【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;

利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;

根据互斥事件的概率计算可判断C；

根据条件概率公式，即可判断D.

【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，

则，，

对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，

对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，

对于C选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故C选项正确，

对于D选项，

对于D选项，已知只摸到一个红球，则红球是从甲袋摸出的概率,

故D正确.

故选：ACD．

11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（    ）

A．2014 B．2017 C．2023 D．2026

【答案】BD

【分析】由题可得，，b是被9除余1的数字，后验证选项即可.

【详解】注意到，则，又，，则，即，b是被9除余1的数字.

A选项，，则，被9除余7，故A错误；

B选项，，则，被9除余1，故B正确；

C选项，注意到，则，故C错误；

D选项，注意到，则，故D正确.

故选：BD

12．已知，则（    ）

A．的定义域是

B．函数在上为减函数

C．

D．若关于x的方程有零点，则

【答案】ABC

【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域验证选项A；利用导数求函数单调区间，验证选项B；利用函数单调性比较函数值的大小计算选项C；求函数值域计算选项D．

【详解】函数有意义，则，解得，

所以函数定义域为，A选项正确；

，有，

令，，在上恒成立，

即在上单调递增，所以时，；时，；

函数在上为减函数，在上为增函数，B选项正确；

函数在上为增函数，则有，即，可得，C选项正确；

由函数单调性可知，，若关于x的方程有零点，则，D选项错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知，则曲线在处的切线方程为         ．

【答案】

【分析】利用导数的几何意义计算即可.

【详解】由已知，，，又，所以切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

14．某人参加驾照考试，共考4个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则      ．

【答案】

【分析】由已知得此人通过的科目数，根据二项分布的方差公式建立方程可求得，再运用二项分布的期望公式计算可得答案.

【详解】因为他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，所以此人通过的科目数，

又此人通过的科目数的方差是，所以，解得或（舍去），

所以，

故答案为：

15．现有红、黄、青、蓝四种颜色，对如图所示的五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则最多使用三种颜色的不同涂色方案有      种．（用数字作答）

【答案】384

【分析】由题，假设六块区域为A,B,C,D,E,F.分析6个区域的涂色方案，再根据分步计数原理可得答案.

【详解】从4种颜色中选3种，有种方法，从3种颜色中选一种涂在A处，有3种方法，剩下的B,C,D,E,F，每块区域都有两种涂色方案，共计种方案.则由分步计数原理可知，不同的涂色方案数为.

故答案为：384

四、双空题

16．小方同学参加全国计算机编程大赛，编写一个游戏程序．第一次点击时，出现红球与蓝球的概率是，第二次点击时，若前次出现红球，则下一次出现红球、蓝球的概率分别为，；若前次出现蓝球，则下一次出现红球、蓝球的概率分别为，，记为第n次点击时出现红球的概率．则      ；关于n的表达式为      ．

【答案】         

【分析】（1）分第一次出现红球和第一次出现篮球分别计算第二次出现红球概率，相加即得答案；（2）设第次出现红球概率为，则第次出现篮球概率为，由题可得，后通过构造等比数列可得答案.

【详解】若第一次出现红球，则第二次出现红球的概率为：；若第一次出现篮球，则第二次出现红球概率为：，则第二次出现红球概率为；

设第次出现红球概率为，则第次出现篮球概率为.

若第次出现红球，则第次出现红球概率为，若第次出现蓝球，则第次出现红球概率为，则第次出现红球概率为.

，则是以为首项，公比为的等比数列，则.

故答案为：；.

五、解答题

17．现从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？

(1)甲、乙两人都被选中且必须跑中间两棒；

(2)甲、乙两人只有1人被选中且不能跑最后一棒．

【答案】(1)24

(2)144

【分析】（1）把甲、乙两人安排在第二和第三棒，再从丙、丁、戊、己中选两人，排在第一和第四棒即可；

（2）先从甲、乙两人中选1人排在除第四棒外的任何一棒，然后从丙、丁、戊、己中选3人排在其它棒即可.

【详解】（1）由题意得把甲、乙两人安排在第二和第三棒，有种方法，

然后从丙、丁、戊、己中选两人，排在第一和第四棒，有种方法，

由分步乘法原理可知共有种排法，

（2）由题意得先从甲、乙两人中选1人排在除第四棒外的任何一棒，有种方法，

然后从丙、丁、戊、己中选3人排在其它棒，有种方法，

所以由分步乘法原理可知共有种排法.

18．已知二项式，且有条件①展开式中第3项与第5的二项式系数相同；条件②展开式中只有第4项的二项式系数最大；条件③展开式中前三项的二项式系数之和为22．请在条件①②③中选择一个，完成下列问题（若选择多个条件解答，则按第一个处理）：

(1)求的展开式的常数项；

(2)求展开式中含的项的系数．

【答案】(1)240

(2)

【分析】（1）由题可得二项式展开式中的第项为.若选①由可得答案；若选②由展开式中二项式最大值性质可得答案；若选③，由可得答案；（2）由（1）结合展开式中含项可由两个因式组合而成可得答案.

【详解】（1）设二项式展开式中的第项为.

若选①，则，此时的通项为，令，则展开式的常数项为：；

若选②，因展开式中只有第4项的二项式系数最大，则，下同①；

若选③，则，下同①；

（2）由（1），设的通项为

.注意到展开式中含的项可由第一个因式提供1，第二个因式提供项；第一个因式提供x，第二个因式提供项；第一个因式提供项，第二个提供x项.则展开式中含的项的系数为.

19．盒中共有某种型号的10件产品，其中8件正品，2件次品．

(1)若不放回地从中取出3件产品，记其中的次品数为X，求X的分布列和期望；

(2)若有放回地从中取出3件产品，记其中的次品数为Y，求Y的分布列和期望．

【答案】(1)分布列见解析，期望为；

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）由题可得取出的3件产品中，其中次品数可能为0，1，2，据此可得分布列与对应期望；

（2）由题可得取出的3件产品中，其中次品数可能为0，1，2，3，据此可得分布列与对应期望.

【详解】（1）由题可得取出的3件产品中，X的数量可能为0，1，2.

且.

则相应分布列如下：

则对应期望为：；

（2）由题可得取出的3件产品中，Y的数量可能为0，1，2，3.

且.

则相应分布列如下：

对应期望为：.

20．设函数，曲线在点处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)求函数的单调区间；

(3)令函数，是否存在实数k使得没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，；

(3)

【分析】（1）利用导数在的值为0可得答案；

（2）分别令，可得答案；

（3）利用单调性求出函数的极值，画出大致图象，转化为函数与的图象没有交点可得答案．

【详解】（1），

因为曲线在点处取得极值，

所以，

解得；

（2）由（1），

，

当，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，

所以函数的单调递增区间为，；

函数的单调递减区间为，；

（3）存在，理由如下，

由（2）函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为，； 所以，，

，当时，，当时，，可得的大致图象如下，

若函数没有零点，则函数与的图象没有交点，

所以.

【点睛】关键点点睛：函数没有零点，转化为函数与的图象没有交点问题，数形结合可得答案.

21．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽内．球槽从左到右分别编号为．

(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率；

(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．

①求的分布列；

②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

【答案】(1)

(2)①答案见解析；②能盈利.

【分析】（1）由题分析掉入号球槽，需要向左次，利用独立重复试验的概率公式求解即可.

（2）①利用独立重复试验的概率公式求解，列出分布列即可；②结合①，列出的分布列，求出其期望，即可得到结论.

【详解】（1）设这个球掉入号球槽为事件，

而掉入号球槽，需要向左次，

所以，

即这个小球掉入号球槽的概率为.

（2）①由题知，的取值为，

所以，

，

，

.

则的分布列为：

②由①知，因为，

所以的分布列为：

则.

所以小明同学能盈利.

22．已知函数．

(1)若在定义域范围内恒成立，求a最大整数值；

(2)证明：（，e为常数）．

【答案】(1)1

(2)见解析.

【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，即可求解最值，由恒成立问题转化为即可求解，

（2）利用即可由对数的运算求解.

【详解】（1）的定义域为，

，由于和均为上的增函数，

所以在单调递增，

又，

所以当单调递减，当单调递增，

故当时，取极小值也是最小值，，

由于在内恒成立，所以，

故，即a最大整数值为1，

（2）由（1）可知，即对任意恒成立，

所以对任意的恒成立，

所以，得证.