2021-2022学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．20C．D．15
【答案】A
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】的展开式中：，取得到的系数为.
故选：.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力.
2．函数，其导函数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
故选：A
3．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
若线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）
A．万盒B．万盒C．万盒D．万盒
【答案】C
【详解】分析：由题意，根据表格中的数据求得样本中心为，代入回归直线，解得，得到回归直线的方程，即可作出预测．
详解：由题意，根据表格中的数据可知：，
即样本中心为，代入回归直线，解得，即
令，解得万盒，故选C．
点睛：本题主要考查了回归直线分析问题，其中牢记回归直线的特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有（ ）
A．252种B．112种C．70种D．56种
【答案】B
【分析】因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把7名学生分成2组，再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生，所以可按一组2人，另一组5人分，也可按照一组3人，令一组4人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就是两组的全排列．
【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，
一种是：一组2人，另一组5人，有C72＝21中分法； 另一种是：一组3人，另一组4人，有C73＝35中分法，
∴共有21+35＝56种分组法．
第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有A22＝2种分配方法，
最后，把两步方法数相乘，共有（C72+C73）A22＝（21+35）×2＝112种方法，
故选B．
【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类，属于中档题．
5．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由题意可得，
事件男生甲与两名女生被选中，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中等题.
6．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2
【答案】A
【分析】利用条件概率公式即可求解.
【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
B表示取得的X光片为次品，
P=，P=，P=，
P=，P=，P=；
则由全概率公式，
所求概率为P=P+P+P
=×+×+×=0.08.
故选：A
7．若某随机事件的概率分布列满足，则（ ）
A．3B．10C．9D．1
【答案】D
【分析】根据分布列性质，求得，再根据期望与方差的公式，即可求解.
【详解】由题意，随机事件的概率分布列满足，
可得，解得，
则，
所以，
所以.
故选：D.
8．已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】等价于，构造函数，对其求导结合已知条件可判断在上的单调性，所要解的不等式等价于，根据单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为导函数满足恒成立且，
所以，所以在单调递增，
因为，所以不等式等价于，
因为所以在单调递增，所以，
所以不等式的解集为，
故选：D
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共3项
【答案】AB
【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．
【详解】解：选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；
选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为，
当时，，二项式的展开式的第一项为有理项，
当时，，二项式的展开式的第三项为有理项，
当时，，二项式的展开式的第五项为有理项，
当时，，二项式的展开式的第七项为有理项，所以有理项有4项，故D不正确，
故选：AB．
10．对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本点数据，则下列结论正确的是（ ）
A．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心
C．若以模型拟合该组数据，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，b的估计值分别是3和6．
D．用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则的值为1
【答案】BCD
【分析】分别根据线性相关关系及拟合曲线关系对选项一一分析.
【详解】若两变量x，y具有线性相关关系，即满足，则一定满足，样本点不一定在拟合直线上，故A错误，B正确；
若以模型拟合该组数据，，故，故C正确；
用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则，即，故D正确；
故选：BCD
11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则.
A．若红玫瑰日销售量范围在内的概率是0.6827，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在内的概率约为0.34135
【答案】ABD
【分析】由已知结合原则求得，判断A正确；比较方差的大小判断正确， 错误；再由原则求得白玫瑰日销售量范围在的概率可判断正确．
【详解】对于A，若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则，即. 红玫瑰日销售量的平均数约为250，正确；
对于BC，由于红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故正确，C错误；
对于D，白玫瑰日销售量范围在的概率
， 故正确．
故选：ABD．
12．已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．在上单调递增
C．D．若，则
【答案】ABD
【分析】A．将问题转化为有两根，然后构造函数，根据的图象与的图象有两个交点求解出的取值范围；
B．先求解出的单调递增区间，然后判断出与的单调递增区间的关系，由此可完成判断；
C．考虑当时的取值情况，故的取值情况可分析出，由此作出判断；
D．根据与的大小关系结合的单调性判断出的取值范围，由此确定出与的大小关系.
【详解】令得，记
，令得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且时，，，时，
据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，，
所以，故A选项正确；
因为
所以当时，，递增，
因为，所以，故B选项正确；
当时，，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以C选项错误；
因为在递增，在递减，且
所以，，
因为，所以
因为，所以
所以，故D选项正确
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
三、填空题
13．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则名同学所有可能的选择有______种.
【答案】
【分析】分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数，利用分类加法计数原理可求得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书，则甲只能选《大学》，丁只能选《论语》，此时选法种数为种；
（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》、《孟子》选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为.
综上所述，名同学所有可能的选择种数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查排列组合中的分配问题，正确将问题进行分类是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
14．已知X的分布列为
设，则E(Y)的值为________
【答案】
【分析】先利用频率之和为求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案．
【详解】由随机分布列的性质可得，得，
，因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．
15．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如下表所示．（残差=观测值-预测值）
根据表中数据，得出关于的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______．
【答案】
【分析】首先由已知条件求出的值，再由回归直线过样本中心点即可求解.
【详解】因为样本处的残差为，即，
所以，
所以回归方程为：，
因为，，
因为样本中心点在回归直线上，所以，
解得：，
故答案为：.
16．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】先将原不等式化为对于任意恒成立，由于在递增，故得，分离参数得，求解的最小值即可．
【详解】，，令，易知在递增，
，∴，又∵，，
即对任意恒成立，设，则
当时，；当时，
所以在递减，在上递增，，则
故答案为：．
【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围．
四、解答题
17．已知函数在处取得极值，其中.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的最大值.
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）利用列方程组，解方程组求得的值.
（II）利用导数，通过比较在区间的端点的函数值，由此求得在区间上的最大值.
【详解】（I），
依题意可知，即，解得.
（II）由（I）得，
令解得或.
所以在上递减，在上递增，
所以在区间上，的最大值为或，
而，.
所以在区间上的最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值、最值，属于中档题.
18．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：)绘制了如下表格：
（1）将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面列联表：
（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？
（3）若从完成生产任务所需的工作时间在的工人中选取3人去参加培训，设为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
附：
【答案】（1）答案见解析；（2）认为甲，乙两种生产方式的效率有差异；（3）分布列见解析，.
【分析】（1）根据已知数据即可补全列联表；
（2）由公式计算的值与临界值6.635比较即可判断；
（3）的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率即可得分布列与数学期望.
【详解】（1）根据已知数据可得列联表如下：
（2）设：甲，乙两种生产方式的效率无差异
根据（1）中列联表中的数据，经计算得
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为甲，乙两种生产方式的效率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（3）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2
，
，
，
所以的分布列为
所以.
19．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．
（1）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”求事件A发生的概率；
（2）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【分析】（1）至少通过二门科目即通过二门或通过三门，由此计算概率；
（2）的可能值为，分别计算概率后可得分布列，由期望公式计算期望．
【详解】（1）由题意；
（2）的可能值为，
，
．
，
，
的分布列为
．
20．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）根据导数的几何意义得到，进而得到切线方程；
（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性.
【详解】（1）当时，，，又，，
所以曲线在处的切线方程为．
（2）（），
①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，在和上单调递减，在上单调递增；
③当时，在上单调递减；
④当时，在和上单调递减，在上单调递增．
【点睛】本题考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性．
21．2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据统计表，维修0、1、2、3次的机器的比例分别为、、、，而2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数可能有，对应的基本事件为、、、、、、，进而可求各可能值的概率，写出分布列即可.
（2）根据两个方案的描述，结合（1）所得的分布列，分别写出方案一、方案二所需费用的分布列，进而求它们的期望，要使选择方案二对客户更合算有，即可求的范围.
【详解】（1）由题意得，，
，，，，
，，
∴X的分布列为
（2）选择方案一：所需费用为元，则时，，时，；时，；时，，时，，
∴的分布列为
，
选择方案二：所需费用为元，则时，；时，；时，，则的分布列为
，
要使选择方案二对客户更合算，则，
∴，解得，即的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：
（1）由题设描述确定2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数的可能值，并确定对应的基本事件，进而求各可能值的概率，写出分布列.
（2）根据（1）所得分布列，由各方案的费用与维修次数的关系写出费用的分布列，并求期望，通过期望值的大小关系求参数的范围.
22．已知函数.
(1)若在有两个零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）在有两个零点，即函数与的图象有两个不同的交点，令，求出函数的单调区间及最值，从而可得出答案；
（2）求导，二次求导，从而可得出的符号分布情况，再根据极值点的定义即可得证，再根据，结合基本不等式即可得证.
【详解】(1)解：令，，则，
因为在有两个零点，
所以函数与的图象有两个不同的交点，
令，
则，
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
又当时，，当时，，
所以；
(2)证明：，
故，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
由零点存在性定理及的单调性知，
方程在上有唯一根，
设为且，从而有两个零点和，
当或时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
从而存在唯一的极大值点，
由，得，
，
当且仅当，即时，取等号，
若，则，与题意矛盾，
故，
所以取等不成立，所以得证，
又，在单调递增，
所以得证，
所以.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题及极值点的定义和不等式的证明问题，考查了分离参数法，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，属于难题.X
－1
0
1
P
a
3
4
5
6
2.5
3
4
完成任务工作时间
甲种生产方式
2人
3人
10人
5人
乙种生产方式
5人
10人
4人
1人
生产方式
工作时间
合计
超过
不超过
甲
乙
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.897
10.828
生产方式
工作时间
合计
超过
不超过
甲
15
5
20
乙
5
15
20
合计
20
20
40
0
1
2
0
1
2
3
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
40
80
60
X
0
1
2
3
4
5
6
P
5000
6000
7000
8000
9000
6230