人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用图文ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用图文ppt课件，共53页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，f′x0，关键能力•攻重难，课堂检测•固双基等内容，欢迎下载使用。

5．3　导数在研究函数中的应用5．3.1　函数的单调性
 1．借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．3．能利用导数研究与函数单调性相关的问题． 1．理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象、逻辑推理、直观想象)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学抽象、逻辑推理)3．会用导数求函数的单调区间．(逻辑推理、数学运算)
1．函数的单调性与导数正负的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系：
想一想：如何从导数的几何意义理解上述结论？提示：上述结论可以由导数的几何意义得到：如果f ′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数f(x)单调递增；如果f ′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数f(x)单调递减．
练一练：已知函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数y＝f(x)( 　　)A．在(－∞，－1)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递减C．在(－∞，2)上单调递增D．在(2，＋∞)上单调递减
2．函数值变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得_______，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得_______，函数的图象就比较“平缓”．
想一想：函数值增长快慢与导数有怎样的关系？提示：常见的对应情况如下表所示.
练一练：已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( 　　)
(1)f ′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( 　　)
(2)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( 　　)
[解析]　(1)由导函数图象可知函数f(x)在(－∞，0)上增函数，排除A，C，在(0,2)上为减函数，排除B，故选D.(2)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f ′(x)>0(即f ′(x)在(－∞，0)上的图象全部在x轴上方)，故排除A，C；从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f ′(x)>0，故排除B.故选D.
[规律方法]　利用导函数f ′(x)的单调性可以判断原函数f(x)图象的凸性：若f ′(x)>0且单调递增，则原函数f(x)的图象上升且下凸；若f′(x)>0且单调递减，则原函数f(x)的图象上升且上凸；若f ′(x)<0且单调递增，则原函数f(x)的图象下降且下凸；若f ′(x)<0且单调递减，则原函数f(x)的图象下降且上凸．
(1)已知f ′(x)是f(x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( 　　)
(2)已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是下列选项中的( 　　)
(2)当－20，∴当－20，∴f ′(x)<0，∴当－10，∴f ′(x)>0，∴当1 (1)函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是( 　　)A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)(2)函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是( 　　)
[规律方法]　1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－3x＋1；(2)f(x)＝2x－ln x；(3)f(x)＝sin x－cs x＋x＋1,0[解析]　(1)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)>0，得x<－1或x>1，令f ′(x)<0，得－1[分析]　根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解．
[规律方法]　根据已知函数的单调性求参数的取值范围：函数在区间[a，b]上单调递增(减)⇔f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，且在区间[a，b]的任意子区间上f ′(x)不恒等于零，然后利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题．
(1)已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1)，a>0，若f(x)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是____________.(2)已知函数f(x)＝ax－ln x在(0,2)上不单调，则a的取值范围是________.
(1)判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
[解析]　(1)∵y ′＝3ax2，又x2≥0.①当a>0时，y ′≥0，函数在R上单调递增；②当a<0时，y ′≤0，函数在R上单调递减；③当a＝0时，y ′＝0，函数在R上没有单调性．
[规律方法]　求含参数的函数的单调区间的一般步骤(1)求导数．(2)对参数进行分类讨论，每种情况下确定函数在定义域内的单调性．(3)综合写出单调区间．
[误区警示]　解答本题常常因为忽视f(x)的定义域而得到错误的单调区间．
[点评]　在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域，在定义域的范围之内解决问题.
1．若函数y＝f ′(x)在区间(x1，x2)上是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上的图象可以是( 　　)
[解析]　选项A中，f ′(x)>0且为常数函数；选项C中，f ′(x)>0，且f ′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f ′(x)>0且f ′(x)在(x1，x2)内先增后减，故选B.
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( 　　)A．(－∞，2)　　　　　B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[解析]　∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2，∴选D.
4．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是( 　　)A．[－1,1] B．(－1,1]C．(－1,1) D．[－1,1)