2024年高考数学第一轮复习专题02 常用逻辑用语（解析版）

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专题02 常用逻辑用语
【考点预测】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2、从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【方法技巧与总结】
1、从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语
等于

大于

小于

是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于

小于等于

大于等于

不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【题型归纳目录】
题型一：充分条件与必要条件的判断
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定
题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【典例例题】
题型一：充分条件与必要条件的判断
例1．（2023·上海·高三专题练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B
例2．（2023·全国·高三专题练习）“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设直线a与平面M内一条直线b垂直，
则平面内与直线b平行的无数条直线都与直线a垂直，
则由“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能得到“直线a与平面M垂直”，
即“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不是“直线a与平面M垂直”的充分条件.
故A，C错误.
当直线a与平面M垂直时，由直线与平面垂直定义可得，
直线a与平面M内任意一条直线垂直，
则由“直线a与平面M垂直”可得“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”.
即“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的必要条件.
综上所述，“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的必要不充分条件.
故选：B
例3．（2023·全国·高三专题练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由名言，可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”，其逆否命题为若要“至千里”，则必要“积跬步”，另一方面，只要“积跬步”就一定能“至千里”吗，不一定成立，
所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B
变式1．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为指数函数单调递增，
由可得：，充分性成立，
当时，，但不一定，必要性不成立，
故选：A
变式2．（2023春·全国·高三校联考开学考试）“”成立的一个必要不充分条件为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
所以选项A是充要条件，选项B是既不充分又不必要条件，选项D是充分不必要条件，选项C是必要不充分条件.
故选：C.
变式3．（2023·全国·高三阶段练习）已知，则是的（    ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】记集合，.
因为AÜB，所以是的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧与总结】
1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立.
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.
3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
例4．（2023·全国·高三专题练习）如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，解得：，
所以成立的充分不必要条件是，
故是的真子集，
所以或，
解得：，
故实数的取值范围是.
故选：B
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，解得，，
因为是的充分不必要条件，
所以，即.
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题p：因为，所以，解得，
命题q：，
因为p是q的充分不必要条件，
所以.
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，是的真子集，故.
故选：B
【方法技巧与总结】
1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.
2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
例7．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（    ）
A．且 B．或
C．， D．，
【答案】D
【解析】A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
例8．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，构造函数，所以在区间上，递减，在上，递增.所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即.所以A选项正确.
对于B选项，由于A选项正确，所以B选项错误.
对于C选项，当时，，所以C选项不正确.
对于D选项，当时，，当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
故选：A
例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列命题的否定中，真命题的是（    ）
A．， B．所有正方形既是矩形也是菱形
C．， D．所有三角形都有外接圆
【答案】AC
【解析】选项A，，所以原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，所以选项A满足条件；
选项B，所有正方形既是矩形也是菱形，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项B不满足条件；
选项C，当时，，所以原命题为假命题，原命题的否定为真命题，所以选项C满足条件；
选项D，所有三角形都有外接圆，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项D不满足条件.
故选：AC.
变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（    ）
A．，；
B．，；
C．，；
D．是的充要条件.
【答案】ABC
【解析】.，所以该命题是假命题；
.当时，所以该命题是假命题；
.当时，左边，右边，所以该命题是假命题；
.时，时，所以是的充要条件，所以该命题是真命题.
故选：ABC
【方法技巧与总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.
题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定
例10．（2023·全国·高三专题练习）设命题p：，，则命题p的否定为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】命题p的否定为，.
故选：D
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知命题，则为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得为.
故选：C
例12．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】由特称命题的否定为全称命题，
所以原命题的否定为，.
故选：B
变式6．（2023·全国·高三专题练习）命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（    ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【答案】D
【解析】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.
故选：D
【方法技巧与总结】
1、 全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.
2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.
题型五：根据命题的真假求参数的取值范围
例13．（2023·全国·高三专题练习）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____．
【答案】
【解析】命题“，使”是假命题，
则命题，恒成立为真命题，
所以当时，，不恒成立，
当时，需满足可得，
解得，
故的范围为．
故答案为：．
例14．（2023·全国·高三专题练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】所以恒成立，即在恒成立，
所以且，又因为在上是增函数，
所以，所以.
故答案为：.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
【答案】[0，4]
【解析】根据题意，恒成立，所以.
故答案为：.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】当时，不满足题意；
∴，，则且，解得.
故答案为：[，+∞）.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为__.
【答案】（﹣5，3）
【解析】命题“∃xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，
即命题“∀xR，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，
则判别式＝（a+1）2﹣4×4＜0，
即＝（a+1）2＜16，
则﹣4＜a+1＜4，
即﹣5＜a＜3.
故答案为：（﹣5，3）.
【方法技巧与总结】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）下列命题中的假命题是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A，，，，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，C错误；
对于D，值域为，，，D正确.
故选：C.
2．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）下列有关命题的说法中正确的是（    ）
A．“”是“”必要不充分条件
B．“x=1”是“x≥1”的必要不充分条件
C．
D．若命题p为“x∈R，使x²≥0”，则命题p的否定为“x∈R，都有x²≤0”
【答案】C
【解析】A：又A错；
B:  “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，B错；
C: 根据指数函数的性质知：，C对；
D:的否定是D错.
故选：C
3．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意为真命题，
所以在上恒成立，即.
故选：C
4．（2023春·广西南宁·高三南宁三十六中校考阶段练习）“”是“方程表示椭圆”的（    ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程表示椭圆，则所以且，
所以且能推出，反之不成立，所以为必要不充分条件，
故选：A.
5．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）命题：“”为假命题，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，－4<
故选：A
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考阶段练习）命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命题“，”中含有全称量词，故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，所以该命题的否定为“，”.
故选：C.
7．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知命题，命题，则是q的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由，等价于，解得或，
所以．
因为，且，
所以是q的既不充分也不必要条件．
故选：D
8．（2023春·广西贵港·高三统考阶段练习）“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，由得到，由在定义域上单调递增，又，即，所以；
故由能够推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要条件；
故选：A
9．（2023春·贵州贵阳·高三统考阶段练习）设，则“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，即，解得，
，即，解得，
则“”可以证得“”，“”不能证得“”，
故“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A.
10．（2023春·辽宁·高三校联考期中）“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“，”为真命题，则，
则是的充分不必要条件，
故选：D．
11．（2023春·四川甘孜·高三校考阶段练习）已知命题：，，则为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】命题：，，则为： ，
故选：
二、多选题
12．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）下列选项正确的有（    ）
A．命题“，”的否定是：“，”
B．命题“，”的否定是：“，”
C．是的充分不必要条件
D．是的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】对于AB选项，由全称量词命题的否定可知，
命题“，”的否定是：“，”，A对B错；
对于CD选项，由可得或，
因为Ü或，
所以，是的充分不必要条件，
是的必要不充分条件，C对D对.
故选：ACD.
13．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）使得函数成立的一个充分不必要条件可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依题意
解得.
所以使得函数成立的一个充分不必要条件可以是、.
故选：AC
14．（2023·全国·高三专题练习）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值是（    ）
A．﹣2 B． C．0 D．
【答案】BCD
【解析】由题意得，当时，，
当时，，
因为p是q的必要不充分条件，所以Ü A，
所以时满足题意，
当或时，也满足题意，
解得：或.
故选：BCD
15．（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；
B：若时，充分性不成立，假命题；
C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；
D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.
故选：ABD
三、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）能够说明“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为___________.
【答案】
【解析】，
因为均为正数，
所以，反之也成立，
故“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为，
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”的否定是___________.
【答案】“，”
【解析】因为命题“，”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 “，”，
故答案为：“，”
18．（2023·全国·高三专题练习）已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】本题考查充分条件与必要条件的判断.
q：，即.
p：，
即.
因为p是q的必要不充分条件，
所以且等号不同时成立，
解得.
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
20．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的值可以是___________．（写出满足条件a的一个值即可）
【答案】(答案不唯一，满足即可)
【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，
所以.
故答案为：(答案不唯一，满足即可).
21．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”的否定为___________.
【答案】，
【解析】由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知p：，q:，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】已知，解得或，命题所对应实数的集合或；
已知:，解得或，命题所对应实数的集合或，
因为是的充分不必要条件，是的真子集，
所以，当或时，,故.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）若“，”为假命题，则实数的最小值为______．
【答案】3
【解析】“，”的否定为“，都有”，
因为“，”为假命题，
所以“，都有”为真命题，
所以在上恒成立，
所以，
所以实数的最小值为3，
故答案为：3
24．（2023·全国·高三专题练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.
【答案】
【解析】由，得,
令，，
“”是“”成立的必要不充分条件，.
（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.
故答案为：中任何一个均可.
25．（2023·全国·高三专题练习）设命题，，若为假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题得，为真命题，所以，
又函数在上单调递减，所以当时，.
故只需.
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习）命题“，使得成立”为假命题，则的取值范围______．
【答案】
【解析】命题“，使得成立”为假命题，
则其否定“，使得成立”为真命题．
①当时，恒成立，即满足题意；
②当时，由题意有解得．
综合①②得实数的取值范围是．
故答案为：