九年级上册24.2直角三角形的性质同步测试题

这是一份九年级上册24.2直角三角形的性质同步测试题，共4页。
24.2　直角三角形的性质知识点 1　直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　)A．120°  B．90°  C．60°  D．30°2．如图24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(　　)A．30°  B．60°  C．90°  D．120°图24－2－1知识点 2　勾股定理3．［2019·荆门］如图24－2－2，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)A．5  B．6  C．8  D．10图24－2－24．［2019·绍兴］如图24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(　　)A．0.7米  B．1.5米  C．2.2米  D．2.4米图24－2－3知识点 3　直角三角形斜边上的中线的性质5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．图24－2－46．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________．图24－2－57．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.图24－2－6知识点 4　直角三角形中30 °角的性质8．［2019·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　　)A．6  B．6   C．6   D．12图24－2－79．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm.图24－2－810．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有(　　)A．2对  B．3对  C．4对  D．5对图24－2－911．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝(　　)A．3  B．4  C．6  D．8图24－2－1012．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．图24－2－1113．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1.(1)求CD的长；(2)求△ABC的面积．图24－2－1214．如图24－2－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DN，MN.(1)求证：MN＝CD；(2)若AB＝6，求DN的长．图24－2－1315．如图24－2－14，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.(1)求∠B的度数；(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB.图24－2－1416．如图24－2－15所示，一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．图24－2－151．D　2．C　3.C4．C　5．56．8　7．证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．∵E是BD的中点，∴AE＝BD，BE＝BD，∴AE＝BE，∴∠B＝∠BAE.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠AEC＝∠B＋∠B＝2∠B.又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C.8．A　9.410．C11． C　12．∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，∴∠BDF＝90°，AE＝BE，∴∠ABE＝∠A.∵∠F＝30°，∴∠DBF＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，∴∠ABE＝30°，∴BE＝2DE＝2.13．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠C＝30°，AD＝1，∴AC＝2AD＝2，∴CD＝＝＝.(2)∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝1，∴BC＝BD＋CD＝1＋，∴△ABC的面积＝AD·BC＝.14．解：(1)证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC.∵CD＝BD，∴CD＝BC，∴MN＝CD.(2)连结CM，∵MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MCDN是平行四边形，∴DN＝CM.∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB，∴DN＝AB＝3.15(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，∴∠BCD＝60°.又∵CD为高，∴∠B＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.又由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°，∴∠ACE＝60°＝∠A，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE＝BE＝AB，∴E是AB的中点，∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB.16． (1)不变．理由：由题意得OP＝AB.∵斜边AB的长不变，∴点P到点O的距离OP不变．(2)当△AOB斜边上的中线OP是斜边上的高h时，△AOB的面积最大．理由：如图，过点O作OD⊥AB于点D，则OD＝h.若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形面积公式，知当h与OP相等时，△AOB的面积最大，此时，S△AOB＝AB·h＝·2a·a＝a2.∴△AOB的最大面积为a2.