高三数学一轮同步分层训练第02练 常用逻辑用语

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第02练 常用逻辑用语
【A级】基础训练
一、单选题
1．（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）设，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023春·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·天津·统考高考真题）“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·全国·高一专题练习）命题“”的否定是（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设，则“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）下面命题正确的是（    ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
10．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若，则
D．的最大值为
11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）下列说法正确的是（    ）
A．若直线a不平行于平面，，则内不存在与a平行的直线
B．若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则
C．设l，m，n为直线，m，n在平面内，则“”是“且”的充要条件
D．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补
12．（2023春·全国·高一专题练习）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（    ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则“”是“”的充分不必要条件
D．若，，则“”是“”的必要不充分条件

三、填空题
13．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）若命题“”是假命题，则实数的最大值为 ．
14．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 ．
15．（2023秋·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
16．（2023·全国·高一专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【B级】提升训练
一、单选题
1．（2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023春·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）在数列中，“数列是等比数列”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·全国·高三专题练习）记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①② C．②③ D．③④

二、多选题
5．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（    ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）下列说法中，其中正确的是（     ）
A．命题：“”的否定是“”
B．化简的结果为2
C．…
D．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.

三、填空题
7．（2023·全国·高一专题练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
8．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校考开学考试）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
【C级】能力训练

一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（    ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
3．（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：
①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；
②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．
那么（    ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题

二、多选题
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（    ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
5．（2023·全国·高三专题练习）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（    ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件；
B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数；
D．如果，那么函数存在极值点.

三、填空题
6．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）命题p：实数a满足；命题q：函数的定义域为．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为 .
参考答案
【A级】基础训练
1．A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.

2．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
4．B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B

5．C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C

6．A
【分析】利用定义写出命题的否定即可．
【详解】命题的否定是
故选：A
7．C
【分析】求得在上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题
若在上单调递增，则恒成立，即，
故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件
故选:.
8．A
【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.
【详解】由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
9．AD
【分析】对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误，A，C，D根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断.
【详解】对A，，得到：或，由可以得到，但是，若，显然成立，但不成立，故A正确；
由全称量词命题的否定易知B错误；
对C，由“且”，显然可以得出“”，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD.
10．AD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利用对数函数单调性求出最值判断D作答.
【详解】对于A，“若，则”是假命题，因为，而；“若，则”是假命题，
因为，而，即“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确；
对于B，命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“，”，B错误；
对于C，当时，成立，因此成立，不一定有，C错误；
对于D，函数的定义域为，，
而函数在上单调递增，因此当时，，D正确.
故选：AD
11．AB
【分析】对于选项ABC，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；
对于选项D，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.
【详解】选项A，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线与平面平行，与条件相矛盾，故选项A正确；
选项B，由面面平行的判定定理可知选项B正确；
选项C，当直线不相交时，由线面垂直的判定定理知：且时，得不到，故选项C错误；
选项D，当，时，可满足题设条件，此时平面与平面所成的二面角为,平面与平面所成的二面角为，故选项D错误.
故选：AB
12．ACD
【分析】根据面面垂直的性质定理可判断A,根据线面平行的判断以及性质可判断BD,根据线面垂直的性质可判断C.
【详解】由面面垂直的性质定理可知A正确,
对于B,若，，则,或者异面，故B错误,
对于C,若,则,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正确，
对于D,若，，,不能得到,因为有可能异面，但是，，，则，故D正确，
故选：ACD
13．
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“”是真命题．令，则 解得，故实数的最大值为
故答案为：
14．；
【分析】依题意，不存在整数使不等式成立，设不等式的解集为，分情况讨论大于0且不等于1，等于1，小于0和等于0四种情况讨论，可得答案．
【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题，即不存在整数使不等式成立．
设不等式的解集为，
当时，得，不合题意；
当且时，原不等式化为，
，，要使不存在整数使不等式成立，
须，解得：且；
当时，，合题意，
当时，原不等式化为，，不合题意，
综上所述，．
故答案为：
15．
【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
【详解】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
16．
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.
综上有
故答案为：.
【B级】提升训练
1．B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
2．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C

3．A
【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，
【详解】数列是等比数列，得，
若数列中，则数列不一定是等比数列，如数列，
所以反之不成立，则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
4．A
【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.
【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．

【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．
5．ACD
【分析】根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可.
【详解】对于选项， ，
则有内的一条直线
因为，
所以
又
所以，
即条件“”能够得到,
所以选项是的充分条件；
对于选项，不一定能够得出结论，
也可能相交或平行；因此该选项错误；
对于选项，，，
所以，
又因为
所以，
因此该选项正确；
对于选项，
因为
所以或
又因为，
所以.
故选：ACD.
6．BCD
【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B；根据二项式定理即可判断C；利用线面垂直的判定定理可得平面，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断D.
【详解】A：命题：“”的否定是“”，故A错；
B：，故B正确；
C：…，故C正确；
D：如图所示，

由，，则，得，
由是的中点，，易知：△为等边三角形且，
又，所以，得，
又，平面，所以平面.
设球心为且在过△中心垂直于面的垂线上，点到底面的距离为，
由正弦定理得的外接圆半径，
球的半径，
所以三棱锥的外接球的体积为.故D正确.
故选：BCD.
7．
【分析】分析可知命题“，”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
当时，由可得，不合乎题意；
当时，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
8．
【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【C级】能力训练
1．A
【分析】当为等边三角形时，求出斜率的值，当时，判断的形状，即可选出答案.
【详解】设圆心为，易知，半径，
当为等边三角形时，，而，
因为，所以，
当时，直线为：，而，
所以，所以，所以为等腰三角形，
因为，
圆心到直线的距离为，即，
所以圆心为的重心，同时也是的外心，
所以为等边三角形，
所以“为等边三角形”是“”的充要条件，
故选：A.
2．D
【分析】易于判定①正确，②错误，③错误，④不易判定，可以绕开，利用排除法得到只有答案正确.也可用分离函数法，借助于数形结合思想判定④正确.
【详解】,故①正确；
由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误；
, ,，故③错误，故B错误；
对于，显然不是方程的解，可化为，
考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确.

故选：D
【点睛】选择题中有些问题不易确定时，常常要尝试使用排除方法，本题就是一个典型的例子.
3．D
【分析】举出反例，得到①②错误.
【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误；
对于②，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点，
但在上不是严格增函数.
故选：D
【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果.
4．BC
【分析】A特殊值判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.
【详解】对A：当时，，而，A错误；
对B：对于集合，使，即，必有，
所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；
对C：对于集合，使，则，
而是“封闭”函数，则，即都有，
对于集合，使，则，，
而，，...，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，C正确；
对D，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使，则，
若，则，
由解得，因为，所以，
即使，则，
满足是“封闭”函数，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
5．BCD
【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.
【详解】对于A，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为偶函数；
当函数为偶函数时，，故，
即，又，故，
所以是函数为偶函数的充要条件，故A错误；
对于B，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为奇函数，
当函数为奇函数时，，
因为，，故.
所以是函数为奇函数的充要条件，故B正确；
对于C，，因为，
若，则恒成立，则为单调递增函数，
若则恒成立，则为单调递减函数，
故，函数为单调函数，故C正确；
对于D，，
令得，又，
若，
当，，函数为单调递减.
当，，函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.
若，
当，，函数为单调递增.
当，，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.
所以函数存在极值点，故D正确.
故答案为：BCD.
6．
【分析】分别求出当命题为真命题时的取值范围，由为假，为真可得“真假”或“假真”，分两种情况分别求解即可．
【详解】当命题p为真时，即，解得或；
当命题q为真时，可得对任意恒成立，
若a＝0，则满足题意；
若，则有，解得,
所以，
∵p∧q为假，p∨q为真，∴“p真q假”或“p假q真”，
①当p真q假时，则，∴或；
②当p假q真时，则，∴．
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.