人教版数学八年级下册同步精品讲义第21课 一次函数全章复习与巩固（2份打包，原卷版+教师版）

第21课  一次函数全章复习与巩固

知识点01  函数概念理解

知识点02  正比例函数

知识点03  一次函数

考法01   函数的概念

【典例1】在国内投寄平信应付邮资如表：

（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？

（2）结合表格解答：

①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义．

②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？

【答案】（1）y是x的函数；（2）①3.60，实际意义见解析；②大于20克，且不超过40克

【解析】

【分析】

（1）根据函数的定义判断即可．

（2）①②利用表格求出对应的函数值即可．

【详解】

解：（1）y是x的函数，

理由是：对于x的一个值，函数y有唯一的值和它对应；

（2）①当x=48时，y=3.60，

实际意义：信件质量为48克时，邮资为3.60元；

②邮资为2.40元，信件质量大约为大于20克，且不超过40克．

【点睛】

本题考查了函数的概念，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

考法02   一次函数的解析式

【典例2】某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，当该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下表：

(1)若这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的表达式(不要求写出x的取值范围)．

(2)如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？

【答案】（1）y＝x＋16000；（2）12800

【解析】

【详解】

试题分析：设一次函数的表达式为：把点，代入即可求出一次函数的表达式.

把代入一次函数解析式，计算即可求出.

试题解析：设一次函数的表达式为则

解得：

一次函数的表达式为：

当时，

解得

答：一次函数的表达式为：

出版社投入成本元，能印该读物册

【即学即练】若一条直线与函数y＝3x﹣1的图象平行，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则该直线的函数解析式为_____．

【答案】y＝3x+或y＝3x﹣．

【解析】

【分析】

依题意设所求直线解析式为y＝3x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为（，0），（0，b），由面积公式求b即可．

【详解】

设所求直线解析式为y＝3x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为（，0），（0，b），

由三角形面积公式得×|b|×||＝，即；

解得：±，

∴y＝3x+或y＝3x﹣，

故答案为：y＝3x+或y＝3x﹣．

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式、两条直线平行k相同等知识，正确利用点的坐标表示三角形的面积是解答本题的关键.

考法03   一次函数的图象和性质

【典例3】已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，则s的取值范围是（   ）

A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣

C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：由直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限可得a＜0，b≤0，又因直线y=ax+b（a≠0）经过点（2，﹣3），可得2a+b=—3，所以，b=—2a—3，因此s=a+2b=a+2（—2a—3）=—3a—6，由a＜0可得s＞—6，‚s=a+2b=+2b=，由b≤0可得s≤—，所以s的取值范围是﹣6＜s≤﹣．故答案选B．

考点：一次函数图象与系数的关系．

【即学即练】一次函数y=kx-(k-2)与在同一坐标系内的图象可以为（     ）

A．AB．BC．CD．D

【答案】D

【解析】

【详解】

A.正比例函数的图像过二、四象限，所以k＜0，此时-(k-2)＞0，一次函数的图像应该与y轴正半轴相交，所以该选项错误；

B.正比例函数的图像过二、四象限，所以k＜0，此时一次函数的图像应该过二、四象限，所以该选项错误；

C.正比例函数的图像过一、三象限，所以k＞0，此时一次函数的图像应该过一、三象限，所以该选项错误；

D.正比例函数的图像过一、三象限，所以k＞0，此时若k＜2，则一次函数的图像会过一、二、三象限，所以该选项正确；

故选D.

点睛:对于一次函数y=kx+b,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 当b＞0，图像与y轴的正半轴相交，当b<0，图像与y轴的负半轴相交.

考法04   一次函数与方程（组）、不等式

【典例4】如图，在平面直角坐标系中，直线AB和直线BC相交于点，直线AB与y轴相交于点A，直线BC与x轴、y轴分别交于点，点C．

(1)求直线AB的解析式．

(2)过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标．

(3)在（2）的条件下，点P是直线AB上一个动点，且点P在x轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于三角形ABC的面积．

①求出点P的坐标．

②画出所有情况并直接写出点Q的坐标．

【答案】(1)y=x+4

(2)（2，0）

(3)①P（-2，2）；②画见解析，Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）

【解析】

【分析】

（1）设过点A，B的直线，求得b，k而求得直线解析式；

（2）首先设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，则可求得k的值，所求直线后代入点A，求得c则得到直线；

（3）在（2）的基础上，求得点P的有关坐标，求得△ABC面积，代入点P而求得点P，进而求得点Q．

(1)

解：设直线AB为y=kx+b，

代入点B，A，

则，

解得b=4，k=1，

∴直线AB为y=x+4；

(2)

设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，

根据题意得：k=＝−2，

则直线AE的直线为y=-2x+c，

则代入点A得c=4，

则直线AE为y=-2x+4，

则点E为（2，0）；

(3)

①∵点D（-1，0）、点B（-2，2），

设直线BD的解析式为y=mx+n，

则，解得：，

∴直线BD的解析式为：y=-2x-2，

∴点C（0，-2），

∴AC=6，

∴S△ABC=×6×2=6，

∵DE=2-（-1）=3，

∴以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的高为6÷3=2，

∵点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，

∴点P的纵坐标为4，

∴2=x+4，

∴x=-2，即点P的坐标为（-2，2）；

②若点Q在x轴上方，

则PQ∥DE，且PQ=DE，

此时点Q1（1，2），Q2（-5，2）；

若点Q在x轴下方，

则Q3（3，-2）；

∴Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）．

【点睛】

本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线，直线间的交点，形成四边形而求面积．

【即学即练】已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；

（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．

【答案】（1）y＝﹣x+5；（2）点C（3，2）；（3）x＞3

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；

（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；

（3）根据C点坐标可直接得到答案．

【详解】

解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；

（2）∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，

∴．

解得，

∴点C（3，2）；

（3）根据图象可知，当x＞3时，直线y＝2x﹣4位于直线y＝kx+b的上方，

∴不等式2x﹣4＞kx+b的解集为x＞3．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点问题、解二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式，会运用图象法求解不等式的解集是解答的关键．

考法05   一次函数的应用

【典例5】某医药研究所开发了一种新药，在检验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药时后血液中含药量最高，达微克/毫升，接着逐步衰减，服药时后血液中含药盘达微克/毫升，每毫升血液中含药盘（微克）随着时间（时）的变化如图所示．

（1）当成人按规定剂量服用时，求出时，与之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为微克或微克以上时，治疗疾病是有效的，那么有效时间有多长?

【答案】（1）；（2）6小时

【解析】

【分析】

（1）直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求解即可求得答案，当时与成一次函数关系；

（2）根据图象可知每毫升血液中含药量为4微克是在两个函数图象上都有，所以把，代入，求得开始到有效所用的时间，由图象可知衰减过程中时的时间，求其差即可求得答案．

【详解】

解：（1）当时，设，

把，代入上式，

得：，

解得：，

时，；

（2）当时，设，

把代入上式，得，

时，，

把代入，可得，

把代入；

解得：，

，

这个有效时间是6小时．

【点睛】

本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．

考法06   一次函数综合

【典例6】如图所示，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称，且与x轴交于点C．已知直线的解析式为y=x+4．

（1）求直线的解析式；

（2）D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)由直线的解析式，得到A、B点的坐标，进一步由对称得到C点的坐标，然后由B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．

(2) 作点D关于BC对称点，连结PD′，OD′，则,P的坐标即为直线与直线的交点坐标，据此求解即可．

【详解】

解:(1)由直线可得：A(－4，0)，B(0，4)

∵点A和点C关于轴对称，

∴ C(4，0)．

设直线BC解析式为：，

则：

解得：．

∴直线BC解析式为：．

(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．如下图：

∵，

∴

∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．

∵ OB＝OC，,

∴ ∠BCO＝45°，

∴∠＝90°，

又∵为中点

∴,

∴，

∴．

联立：

 得：

∴当点P坐标为时，OP＋PD的值最小．

【点睛】

本题考查的是待定系数法求一次函数表达式，点在直线上运动时线段和最值问题，根据题意画出相关图形是解题关键点．