浙江省宁波市余姚中学2023-2024学年高二数学上学期第一次质量检测试题（Word版附解析）

这是一份浙江省宁波市余姚中学2023-2024学年高二数学上学期第一次质量检测试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样比即可求解.
【详解】由题意可知：方阵乙被抽取的人数为，
故选：B
2. 已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均数和方差的性质直接求解.
【详解】因为数据平均数为，方差为，
所以，，…，的平均数和方差分别为和
故选：B
3. 将骰子先后抛掷2次，则向上的数之和不小于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用列表法和古典概型结合独立事件概率求法运算求解.
【详解】解：将骰子先后抛掷2次，所有结果的总数如下表：
共36种.
因为向上的数之和小于4的结果有，，共3种，
所以向上的数之和小于4的概率，
从而向上的数的和不小于4的概率，
故选：D.
4. 从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”，命题“①与相互独立；②与相互独立；③与相互独立中真命题”的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出，，，，，，利用相互独立的概率性质逐一判断即可
【详解】从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”，则
，，，
，，，
对于命题①：，与相互独立，故①是真命题；
对于命题②：，与相互独立，故②是真命题；
对于命题③：，与相互独立，故③是真命题；
故选：C
5. 在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.
【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；
对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；
对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；
对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.
于是四个选项都是错的.
故选：A
6. 曲线在点处切线为，则 等于（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的定义结合导数的几何意义，即可得出答案.
【详解】由题意可得
而
故选：C.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及导数的定义，属于基础题.
7. 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意令，进而根据题意得在上单调递减，故，进而得答案.
【详解】解：因为满足，令，
则，所以在上单调递减，
所以，即，所以.
所以.
故选：A
8. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
①是的极大值点，
②函数有且只有1个零点，
③存在正实数，使得成立，
④对任意两个正实数，且，若，则.
A. ①④B. ②③C. ②③④D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；
对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；
对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；
对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.
【详解】对于①，由，求导得，
令，解得，可得下表：
则为函数的极小值点，故错误；
对于②，由，求导得：，
则函数在上单调递减，
当时，，当时，，
由，故函数有且只有1个零点，故正确；
对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，
令，求导得，
令，则，
在上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
，，
在上单调递减，无最小值，
不存在正实数，使得恒成立，故错误；
对于④，令，则，，
令，
则，
在上单调递减，则，即，
令，由，且函数在上单调递增，得，
则，当时，显然成立，故正确.
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（ ）
A. 这组数据的平均数是8
B. 这组数据的极差是4
C. 这组数据中位数是8.5
D. 这组数据的方差是2
【答案】AB
【解析】
【分析】根据平均数，极差，中位数，方差的定义和计算公式分别求得，即可判断各个选项的正误.
【详解】解：对于A，这组数据的平均数是，故A正确；
对于B，这组数据的极差是，故B正确；
对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，
∴这组数据的中位数是8，故C错误；
对于D，这组数据的方差是，故D错误.
故选：AB.
10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断.
【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；
B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；
C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；
D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.
11. 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（ ）（注：；利润可为负数）
A. 利润随着瓶子半径的增大而增大B. 半径为6cm时，利润最大
C. 半径为2cm时，利润最小D. 半径为3cm时，制造商不获利
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶液体材料的利润的解析式，再利用导数的性质即可逐一判断．
【详解】由已知，每个瓶子的利润为，，
则，
所以当时，，此时函数单调递减，故A错误；
又当时，，函数单调递增，
又，则当时，函数取得最大值，故B正确；
当时，函数取得最小值，故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD．
12. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先构造，再根据求导证明，再放缩即可判断A；先构造，再根据求导证明，由，再放缩即可判断B；取特殊值，得到，代入即可判断C；先根据题意得到，令，从而得到，，再构造，，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D．
【详解】由，得，
又，则，解得，
对于A，构造，则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以，即，故A正确；
对于B，构造，则，
所以函数在上单调递增，所以，
又，所以，
所以，即，故B正确；
对于C，当时，，则，
又，则，所以，故C错误；
对于D，由，则，所以，
令，则，，所以，
设，，则，
令，，则，
则函数在上单调递增，则，则，
所以在上单调递增，则，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先计算成绩不低于80的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于80的学生的频率，再乘以3000即可．
【详解】解：由频率分布直方图成绩不低于80的学生的频率为
10×（0.020+0.008）＝0.28，
所以成绩不低于80分的学生数是3000×＝
故答案为：
14. 事件A、B是相互独立事件，若，，，则实数m的值等于______.
【答案】
【解析】
【分析】由概率的性质与相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得.
【详解】已知，则，
由事件A、B相互独立事件，则、也相互独立，
又，
故，
已知，
由概率性质得
，
解得.
故答案为：.
15. 若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围
【详解】，直线：过定点，
令，故在递增，递减，
，则，，
∴不等式有且只有2个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，故．
故答案为：
16. 已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点的切线有两条，从而可得关于的方程有两个不同的根，由此即可得解.
【详解】设切点为，直线的斜率为，又，
则，所以切线方程为，
将代入化简得，
所以方程有两个不同的实数解，
所以，且，所以或，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛.现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率.
【答案】（1）甲；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，即可判断；
（2）设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”， 表示“两人中至少有一个赢得比赛”， 由，即可求出．
【详解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则
“甲赢得比赛”，.
“乙赢得比赛”，.
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
则；.
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
.
18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）0.030
（2）84 （3）两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37
【解析】
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；
（2）利用频率分布直方图及百分位数公式即可求得第75百分位数；
（3）将总体平均数代入总体方差公式即可求得总方差．
【小问1详解】
由每组小矩形的面积之和为1，
则，
解得．
【小问2详解】
结合（1）可得，
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
设第75百分位数为，
则，解得，
故第75百分位数为84．
【小问3详解】
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故两组成绩的总平均数为，
设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；
成绩在中20人的分数分别为，，，…，，
则由题意可得，，，
即，，
所以，
所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37．
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域；
（3）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值.
【答案】（1），；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.
（2）求出相位范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得.
（3）由（1）的信息求出角，再利用余弦定理、结合基本不等式及三角形面积公式求解.
小问1详解】
依题意，，
所以的最小正周期；
由，得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由，得，则，即，
所以函数在区间上的值域为.
【小问3详解】
由（1）知，，而，即有，则，解得，
由余弦定理，得，
于是，当且仅当时等号成立，因此，
所以面积的最大值为.
20. 已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
（3）设，，求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）假设公差和公比，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得，由等差和等比通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果；
（3）由（1）可得，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，
，解得：，
；；
（2）由（1）得：，
，
，
两式作差得：，
.
（3）由（1）得：，
则.
【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间是、单调递增区间是，极小值是1，没有极大值；（2）.
【解析】
【分析】（1）函数的定义域为，
当时，，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值.
（2）由得，令，则，由此利用导数性质能求出的取值范围.
【详解】解：（1）易知，函数的定义域为，
当时，.
当变化时，和的值的变化情况如下表：
由上表可知，
函数的单调递减区间是、单调递增区间是，极小值是，没有极大值.
（2）由，得.
若函数在上的单调增函数，则在上恒成立，
即不等式在上恒成立.
也即在上恒成立.
令，则.
当时，，在上为减函数，
∴.
所以，
∴的取值范围为.
【点睛】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用，属于中档题．
22. 已知函数．
（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；
（2）由题意要证，只要证，涉及到转化的思想令，，求的最小值即可求得结果.
【小问1详解】
依题意，.
①当时，在上，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.
②当时，令，得，解得，，
所以当时，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.
③当时，判别式，所以，
所以在上单调递增，所以.
综上，实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点.
由（1）知，，，则.
综上，要证，只需证，
因为
，
设，.
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以，即得成立．
所以原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，同时考查了利用导数证明不等式的成立，
（1）含参问题的分类讨论，对参数的讨论不重不漏；6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6

极小值
1
－
0
＋
递减
极小值
递增