浙江省宁波市余姚中学2020-2021学年高二上学期10月质量检测数学试题 Word版含答案

余姚中学2020学年第一学期高二数学质量检测试卷

命题：朱丽君审题：刘浩文

一、选择题（本大题共10小题）

1．下列命题是公理的是（    ）

A．平行于同一个平面的两个平面互相平行

B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

2．四个顶点不在同一平面上的四边形中，，，，分别是边，，，上的点，如果直线，交于点，那么（    ）

A．点一定在直线上

B．点一定在直线上

C．点一定在平面外

D．点一定在平面内

3．已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，下列四个命题中错误的为（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，且，则

D．若，，则

4．有下列四个条件：①，，；②，；③，，；④、是异面直线，，，．其中能保证直线平面的条件是（    ）

A．①②  B．①③  C．①④  D．②④

5．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（    ）

A．30°  B．45°  C．60°  D．90°

6．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）．

A．  B．  C．  D．

7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为60°，则四棱锥的外接球的表面积为（    ）

A．  B．  C．  D．

8．已知异面直线，所成的角为50°，过空间一定点最多可作条直线与直线，均成角，则下列判断不正确的是（    ）

A．若时，

B．当时，只能为25°

C．当时，

D．当时，

9．在棱长为2的正方体中，点为中点，点在侧面及其边界上移动，并且总是保持，则动点的轨迹的长度为（    ）

A．2  B．  C．  D．

10．如图，正方体，则下列四个命题：

①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变；

②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；

③点在直线上运动时，二面角的大小不变；

④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变．

其中的真命题是（    ）

A．①③  B．③④  C．①②④  D．①③④

二、填空题（本大题共7小题）

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长的棱长为______，体积为______．

12．如图，在四边形中，，，，，，则四边形绕直线旋转一周所形成的几何体的表面积是______，体积是______．

13．直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______，此时三柱的底面面积为______．

14．如图所示，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

（1）则直线与平面所成角的余弦值为_______；

（2）则点到平面的距离为______．

15．如图，三棱锥中，平面，是棱的中点，已知，，，则异面直线，所成角的余弦值为______．

16．已知内接于球的一个截面圆中，，，，且球面上的点到面的距离的最大值为，则球的表面积为______．

17．如图，四棱锥中，是矩形，平面，，，四棱锥外接球的球心为，点是棱上的一个动点．给出如下命题：①直线与直线所成的角中最小的角为45°；②与一定不垂直；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为．其中正确命题的序号是______．（将你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题（本大题共5大题）

18．如图在三棱锥中，点，，，分别为相应棱的中点，

（1）求证：四边形为平行四边形．

（2）若，，求异面直线与所成的夹角．

19．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，．

求证：

（1）直线平面；

（2）直线平面．

20．如图，中，，中，，现将沿着折起．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角的大小为150°时，，求的中线与平面所成角的正弦值．

21．如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

22．如图，在四棱锥中，平面平面，侧面为等腰直角三角形，，底面为直角梯形，，，．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若为线段上一点，且满足平面，求的值．