2023-2024学年浙江省宁波市余姚重点中学高二（上）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市余姚重点中学高二（上）第一次质检数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为：：现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，其中方阵乙被抽取的人数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.如果数据，，，的平均数是，方差是，则，，，的平均数和方差分别是(    )

A. 与 B.   和
C.   和  D.  和 

3.将骰子先后抛掷次，则向上的数之和不小于的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.从，，，中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是或”，“取出的数字是或”，“取出的数字是或”，命题“与相互独立；与相互独立；与相互独立”中，真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.在下列命题中：
若向量共线，则向量所在的直线平行；
若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
若三个向量两两共面，则向量共面；
已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数，，使得；
其中正确的命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.曲线在点处切线为，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.关于函数，下列判断正确的是(    )
是的极大值点，
函数有且只有个零点，
存在正实数，使得成立，
对任意两个正实数，，且，若，则．

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某士官参加军区射击比赛，打了发子弹，报靶数据如下：，，，，，，单位：环，下列说法正确的有(    )

A. 这组数据的平均数是 B. 这组数据的极差是
C. 这组数据的中位数是 D. 这组数据的方差是

10.已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    )

A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，

11.你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为下面结论正确的有注：；利润可为负数(    )

A. 利润随着瓶子半径的增大而增大 B. 半径为时，利润最大
C. 半径为时，利润最小 D. 半径为时，制造商不获利

12.已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某中学为了解学生的数学学习情况，在名学生中随机抽取名，并统计这名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这名学生在该次数学考试中成绩不低于分的学生人数是______．

14.事件、是相互独立事件，若，，，则实数的值等于______ ．

15.若关于的不等式有且只有个正整数解，则实数的取值范围______．

16.已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响．
Ⅰ在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？
Ⅱ若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率．

18.本小题分

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求频率分布直方图中的值；
Ⅱ求样本成绩的第百分位数；
Ⅲ已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．

19.本小题分
已知函数
求的最小正周期和单调递增区间；
求函数在区间上的值域；
在锐角中，角、、的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．

20.本小题分
已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，．
Ⅰ求数列与的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
Ⅲ设，，求数列的前项和．

21.本小题分

已知函数．

Ⅰ当时，求函数的单调区间和极值；

Ⅱ若在上是单调增函数，求实数的取值范围．

22.本小题分
已知函数．
若，，求实数的取值范围；
设，是函数的两个极值点，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，其中方阵乙被抽取的人数为．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，
所以，，，的平均数为．
，，，的方差为：．
故选：．
直接根据求平均数和方差的计算公式写出后整理成含：和的形式就可求出．
本题考查了平均数和方差，考查了公式的记忆，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数和方差，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．

3.【答案】 

【解析】解：将骰子先后抛掷次，所有结果的总数如下表：

共种．
因为向上的数之和小于的结果有，，共种，
所以向上的数之和小于的概率，
从而向上的数的和不小于的概率．
故选：．
先求出基本事件总数，再利用列举法求出所得的两个点数和小于包含的基本事件个数，由此能求出所得的两个点数和不小于的概率．
本题考查古典概型的概率和对立事件的概率，是基础题．

4.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查相互独立事件、古典概型及其概率计算，属于较难题．
根据古典概型的概率公式分别求出、、、、、，结合相互独立事件的定义即可判断三个命题的真假．

【解答】
解：从，，，中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是或”，“取出的数字是或”，“取出的数字是或”，
，，，
，，，
对于命题，，
所以与相互独立，故是真命题；
对于命题，，
所以与相互独立，故是真命题；
对于，，
所以与相互独立，故是真命题．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：由于向量是可自由平移的，所以向量共线，不一定向量所在的直线平行，故命题不正确；
同样因为向量是可自由平移的，向量所在的直线为异面直线，则向量也可能共面，故命题不正确；
三个向量两两共面，如直角坐标系的三个基向量，它们不共面，故命题不正确；
由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量，不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结论，故命题不正确．
即个命题都不正确．
故选：．
逐个判断：向量是可自由平移的，命题、均不正确；举反例，可证不正确，由空间向量基本定理，可知，命题不正确．
本题为判断命题的真假，涉及向量共线与空间向量基本定理，属基础题．

6.【答案】 

【解析】解：在点处切线为，
可得，
则．
故选：．
由题意可得，再由导数的极限定义，可得所求值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及导数的极限定义，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】解：因为满足，令，
则，所以在上是减函数，
所以，即，
所以．
故选：．
由题令，进而根据题意得在上是增函数，故，进而得答案．
本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，属于中档题．

8.【答案】 

【解析】解：对于，由，求导得，
令，解得，可得下表：

则为函数的极小值点，故错误；
对于，由，求导得：，
则函数在上单调递减，
当时，，
当时，，
由，故函数有且只有个零点，故正确；
对于，由题意，等价于存在正实数，使得，
令，求导得，
令，则，
在上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
，，
在上单调递减，
当时，，没有最大值
不存在正实数，使得成立，故错误；
对于，令，则，，
令，
则，
在上单调递减，则，即，
令，由，且函数在上单调递增，得，
则，当时，显然成立，故正确．
故选：．
对于，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；
对于，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；
对于，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；
对于，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案．
本题主要考查利用导函数求函数的极值，属于中档题．

9.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，平均数、极差、中位数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用平均数、极差、中位数、方差的定义直接判断各选项即可．

【解答】
解：对于，这组数据的平均数是，故A正确；
对于，这组数据的极差是，故B正确；
对于，这组数据从小到大为，，，，，，
这组数据的中位数是，故C错误；
对于，这组数据的方差是，故D错误．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：由事件，，且，，知：
对于，如果，那么，，故A错误；
对于，如果与互斥，那么，，故B正确；
对于，如果与相互独立，
那么，
，故C错误；
对于，如果与相互独立，
那么，
，故D正确．
故选：．
利用对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

11.【答案】 

【解析】解：由已知，每个瓶子的利润，，
，
当时，，函数单调递减，A错误；
又当时，，函数单调递增，
，
当时，函数取得最大值，B正确；
当时，函数取得最小值，C正确；
又，D正确．
故选：．
根据已知条件写出利润关于瓶子半径的函数式，由于是的三次函数，所以可利用导数来分析和处理并回答问题．
本题考查函数模型的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：，，
，，，
构造，则，
函数在上单调递增，
，．
，，故A正确；
令，则，
函数在上单调递增，，
，，，故B正确；
当时，则，，，
，故C错误；
，，，
令，则，，，
设，，则，
令，，则，
可知函数在上单调递增，，则，
在上单调递增，，
，故D正确．
故选：．
易知，构造，利用导数可得，从而可判断；构造函数，利用导数推出可判断；取可得，从而可判断；消去可得，令，则，构造，，利用导数即可判断．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属中档题．

13.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图成绩不低于的学生的频率为
，
所以成绩不低于分的学生人数是，
故答案为：．
首先计算成绩不低于的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于的学生的频率，再乘以即可．
本题考查频率分布直方图，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．

14.【答案】 

【解析】解：

，
即，
解得．
故答案为：．
根据题意可得，代入数值即可得解．
本题考查相互独立事件，互斥事件和对立事件的概率公式，属于基础题目．

15.【答案】 

【解析】解：，
又因为直线：过定点，令，
故在递增，递减，
，
则，，
不等式有且只有个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，
故．
故答案为：
由题意，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出的取值范围．
本题考查了利用导数确定函数的单调性，也考查了转化思想、数形结合，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．

16.【答案】 

【解析】解：设切点为，直线的斜率为，又，
则，所以切线方程为，
将代入化简得，
所以方程有两个不同的实数解，
所以，且，所以或，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点的切线有两条，从而可得关于的方程有两个不同的根，由此即可得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．

17.【答案】解：Ⅰ设事件表示“甲赢得比赛”，事件表示“乙赢得比赛”，
，
，
，
甲、乙二人中选派一人参加比赛，甲赢得比赛的概率更大．
Ⅱ甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的对立事件是两个人都没有赢得比赛，
甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的概率为：


． 

【解析】Ⅰ利用相互独立事件概率计算公式分别求出甲赢得比赛和乙赢得比赛的概率，由此能求出甲赢得比赛的概率更大．
Ⅱ利用相互独立事件概率计算公式能求出甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图可得，
解得；
Ⅱ成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，则落在区间内，
由，得，
即第百分位数为；
Ⅲ由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故两组成绩的总平均数，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
． 

【解析】Ⅰ根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为求解；
Ⅱ根据百分位数的定义求解；
Ⅲ根据平均数和方差的计算公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，以及平均数和方差的计算，属于中档题．

19.【答案】解：
，
的最小正周期．
由，，
可得．
的单调递增区间为．
，
，
，
，
函数在区间上的值域为
由，又因为为锐角，
得．
由余弦定理，可得，
，当且仅当时等号成立，
，
的面积的最大值为． 

【解析】先化简，即可求出周期和递增区间．
求出的范围，根据图像性质即可求出答案．
先求出的大小，再根据余弦定理求出的范围，最后求出结果．
本题主要考查了三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，以及余弦定理、面积公式和不等式的应用，属于中档题．

20.【答案】解：Ⅰ等差数列的公差为正数，，
数列为等比数列，设公比为，
，且，，
可得，，
解得，，
则，，
，；
Ⅱ，
前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得，；
Ⅲ由，
可得，
则数列的前项和
，
则数列的前项和为，． 

【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分组求和、错位相减法求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
Ⅰ等差数列的公差为正数，数列为等比数列，设公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
Ⅱ求得，运用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得；
Ⅲ求得，利用分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得数列的前项和．

21.【答案】解：Ⅰ函数，
函数的定义域为，
当时，，
，
当变化时，和的值的变化情况如下表：

由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是．
Ⅱ 由，得，
因为函数为上的单调增函数，
则在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
也即在上恒成立．
令，则，
当时，，
在上单调递减，
，．
的取值范围为．

【解析】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查导数中的恒成立问题，属于中档题．
Ⅰ函数的定义域为，当时，，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值；
Ⅱ由，得，函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则，由此利用导数性质即可求出的取值范围．

22.【答案】解：由于，
若，，则须有，
又，，解得，
当时，
在上单调递增，，
当时，由于，存在使得在上，，
单调递减，此时，不成立，
综上所述：实数的取值范围为；
证明：由得，
当时，，在上单调递减，不成立，
当时，，
当，即，，单调递增，不成立，
当，即，，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
不妨设，则，
要证明：，
故只需证，
只需证，
需证，
令，
则只需证，
由知，时，，
时，，
则，
又时，，
，
即成立，故原式得证． 

【解析】由已知可得，可得，当时，可得，当时，分析可得不成立；
，分，两种情况，当，即，，解得或，只需证，令，则只需证，由可证结论成立．
本题考查函数的导数的综合应用，考查构造函数法的应用，考查运算求解能力，属难题．