人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性导学案，共7页。

课程标准：1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.2.结合古典概型，利用独立性计算概率．
教学重点：相互独立事件的含义和相互独立事件同时发生的概率公式．
教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题转化为几类基本概率模型.
知识点" 相互独立事件的定义和性质
(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝eq \(□,\s\up3(01))P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立．
1．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
2．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．相互独立事件与互斥事件的区别
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)若事件A，B相互独立，则P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．做一做
(1)一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
(2)一个学生通过一种英语能力测试的概率是eq \f(1,2)，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
(3)在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
答案 (1)A (2)C (3)eq \f(35,192)
题型一 事件独立性的判断
例1 判断下列事件是否为相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq \f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq \f(5,7)，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个节能灯泡能用1000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2000小时”
(2)甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
答案 (1)A (2)A
解析 (1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响，故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件，故选A.
题型二 相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计， 某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙两种保险相互独立， 各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
[解] 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意，得A与B，A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝eq \(A,\s\up6(－))B，所以P(D)＝P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
求相互独立事件同时发生概率的步骤
(1)①首先确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
甲、乙两人独立地破译某密码，他们能破译的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4).求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率．
解 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与eq \(B,\s\up6(－))、eq \(A,\s\up6(－))与B、eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))均相互独立．
(1)“两人都能破译”为事件AB，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12).
(2)“两人都不能破译”为事件eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))，则
P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,2).
(3)“恰有一人能破译”为事件Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B，
又Aeq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))B互斥，
所以P(Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).
(4)“至多一人能破译”为事件Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))，而Aeq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))B，eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))互斥，故P(Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(11,12).
题型三 相互独立事件概率的实际应用
例3 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(3,4)，P(A3)＝eq \f(3,4).
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)＝[1－P(eq \(A,\s\up6(－))2)P(eq \(A,\s\up6(－))3)]P(A1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq \f(1,2)＝eq \f(15,32).
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up6(－)))＝0.1.
(1)由题意，得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A.eq \f(14,25) B.eq \f(12,25) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,5)
答案 A
解析 由题意，知P甲＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)，P乙＝eq \f(7,10)，由于甲、乙中靶是相互独立事件，所以P同时中靶＝P甲P乙＝eq \f(14,25).
2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
答案 D
解析 事件A的结果对事件B有影响．根据相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．
3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为( )
A．0.64 B．0.32
C．0.56 D．0.48
答案 B
解析 设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，则“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(即Aeq \(B,\s\up6(－)))，另一种是甲未击中、乙击中(即eq \(A,\s\up6(－))B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件Aeq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))B是互斥的，所以所求概率为P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.故选B.
4．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq \f(1,70)，eq \f(1,69)，eq \f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
答案 eq \f(3,70)
解析 加工出来的零件的正品率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,70)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,69)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,68)))＝eq \f(67,70)，所以次品率为1－eq \f(67,70)＝eq \f(3,70).
5．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为eq \f(1,2)与eq \f(2,5).
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
解 (1)设“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,5)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(3,5).
∴恰好命中一次的概率为P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P1，则P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(9,100).
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝eq \f(91,100).相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)