2023-2024学年山东省青岛重点中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）-普通用卷

这是一份2023-2024学年山东省青岛重点中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）-普通用卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省青岛重点中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，关于的一元二次方程是(    )A.  B.
C.  D. 2.下列说法错误的是(    )A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 平行四边形的对边相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形3.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(    )A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为4.已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 5.某校办厂生产的某种产品，今年产量为件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到件，若设这个百分数为，则可列方程为(    )A.
B.
C.
D. 6.如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为(    )

 A.  B.  C.  D. 7.如图，在四边形中，点，分别是，的中点，，分别是，的中点，，满足什么条件时，四边形是菱形(    )
 A.  B.  C.  D. 8.方程有两个相等的实数根，且满足，则的值是
(    )A. 或 B.  C.  D. 或二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若关于的一元二次方程是一元二次方程，则______．10.若关于的方程有实数根，则的取值范围为______ ．11.一个正方形的面积为，则它的对角线长为______．12.代数式的最小值是______ ．13.如图，菱形的边长为，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______ ．
14.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.本小题分
解方程：
；
；
；
；
．16.本小题分
一块长方形的草地的长和宽分别为米和米，在它四周外围环绕着宽度相等的小路已知小路的面积为平方米，求小路的宽度．17.本小题分
现将进货为元的商品按元售出时，就能卖出件．已知这批商品每件涨价元，其销售量将减少个．问为了赚取元利润，同时尽量照顾到顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少件？18.本小题分

要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙墙长．
求围栏的长和宽；
能否围成面积为的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．
19.本小题分

如图，为矩形对角线的交点，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2.【答案】 【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
B.平行四边形的对边相等，故本选项正确；
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确；
D.正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，故本选项正确；
故选：．
依据矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的性质，即可得出结论．
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的性质，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．3.【答案】 【解析】解：由得，则，即，此选项正确，不符合题意；
B.由得，则，继而得，即，此选项正确，不符合题意；
C.由得，则，即，此选项错误，符合题意；
D.由得，则，继而得，即，此选项正确，不符合题意；
故选：．
将常数项移到方程的右边，再将一次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤．4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及解一元一次不等式，分别讨论二次项系数和两种情况是解题的关键．
二次项系数分两种情况考虑，当时，解一元一次方程可得出的值，由此得出符合题意；当时，根据根的判别式，即可求得的取值范围．综上即可得出结论．
【解答】
解：当，即时，原方程为，
解得：，方程有实数根，
符合题意；
当，即时，
关于的方程有实数根，
，
解得：且．
综上可知：的取值范围为．
故选A．5.【答案】 【解析】解：已设这个百分数为．
．
故选：．
根据题意：第一年的产量第二年的产量第三年的产量且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数．
本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形是菱形是解此题的关键，难度适中．过作于，于，则，，求出四边形是平行四边形，证出≌，推出，求出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，解直角三角形求出，根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：过作于，于，如图：
，
则，，
，，
四边形是平行四边形，
，
在和中

≌，
，
四边形是菱形，
，
在中，，，，
，
，
重叠部分的面积是，
故选D．7.【答案】 【解析】解：当时，四边形是菱形．理由如下：
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
同理，，，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是菱形．
故选：．
证是的中位线，得，，同理，，，，则，，得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系．根据根与系数的关系有：，，再根据得到的方程，解方程即可，进一步由方程有两个相等的实数根得出，求得的值，由相同的解解决问题．
【解答】
解：，，，
，
解得或，
方程有两个相等的实数根，

解得或
．9.【答案】 【解析】解：因为是关于的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则一定是此二次项．
所以得到，解得．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．
要特别注意二次项系数这一条件，本题容易出现的错误是忽视这一条件．10.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得：．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．11.【答案】 【解析】解：设对角线长是则有
，
即负数舍去．
故答案为：．
根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
此题主要考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．12.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．首先把所求的式子利用配方法转化为的形式，根据一个式子的平方是非负数，即可确定．
【解答】
解：，
，
，
代数式的最小值是．
故答案为．13.【答案】 【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再证明为等腰直角三角形，则，接着根据菱形的性质得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．14.【答案】 【解析】解：是一元二次方程的实数根，
，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．15.【答案】解：，
，
，
，；
，
整理得：，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
；
，；
，
整理得：，
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．16.【答案】解：设小路的宽度为米，
依题意得，
整理得，
解之：，不合题意，舍去．
小路的宽度为米． 【解析】设小路的宽度为米，那么四周外围环绕着宽度相等的小路的长方形的长、宽分别为、，根据长方形的面积公式和已知条件即可列出方程，解方程即可求出小路的宽度．
本题考查一元二次方程的应用．17.【答案】解：设售价元能赚得元的利润，应进货个，
由题意得：，
解得：，舍去，
当时，进货件，
答：售价定为元时应进货件． 【解析】总利润销售量每个利润，设售价元能赚得元的利润，应进货个，根据为了赚得元的利润，可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解．18.【答案】解：设围栏的宽为米，则围栏的长为米，
依题意得：，即，
解得：或，
，
解得：，
，．
答：围栏的长为米，围栏的宽为米．
假设能围成，设围栏的宽为米，则围栏的长为米，
依题意得：，即，
，
该方程没有实数根．
故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【解析】设围栏的宽为米，则围栏的长为米，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再根据长方形的长大于宽以及长方形的长小于墙的长度列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的取值范围，由此即可得出结论；
假设能围成，设围栏的宽为米，则围栏的长为米，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：根据数量关系列出关于的一元二次方程以及一元一次不等式组；由根的判别式的正负得出方程解得情况．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，不仅仅列出方程解出方程，还需要根据隐含的条件列出不等式组，求出的取值范围，此处是失分点，希望在日常练习中多加注意．19.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；

，，
矩形的面积，
，
四边形的面积． 【解析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，
由矩形的性质可知四边形的面积为矩形面积的一半，问题得解．
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键．