江苏省连云港外国语学校2023-2024学年九年级上学期段考数学试卷（10月份）

这是一份江苏省连云港外国语学校2023-2024学年九年级上学期段考数学试卷（10月份），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省连云港外国语学校九年级（上）段考数学试卷（10月份）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，2.是关于的方程的解，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 3.若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是(    )A. 点在外 B. 点在上 C. 点在 内 D. 不能确定4.解方程，较简便的解法是(    )A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法5.如图，在半径为的中，弦，于点，则的长度等于(    )A.
B.
C.
D. 6.下列说法正确的是(    )A. 圆的对称轴是直径 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 等弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的圆心角相等7.如图，在宽为、长为的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要，则修建的路宽应为(    )A.  
B.  
C.  
D.  8.阅读下列材料：求函数的最大值解：将原函数化为关于的一元二次方程因为为实数，所以，所以根据材料给你的启示，则函数的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）9.到点的距离等于的点的集合是______ ．10.如图，在中，，，则______．
 11.若一条弦把圆分成：两部分，则劣弧所对的圆心角为______ ．12.如图，以▱的顶点为圆心，为半径作圆，分别交、于点、，交的延长线于，若，则的度数为______ ．
 13.关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______ ．14.若、是方程的两个实数根，则代数式 ______ ．15.若等腰三角形的一条边长为，另外两条边的长为一元二次方程的两个根，则的值为______ ．16.如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点、，则的最大值为______ ．
 三、解答题（本大题共9小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分

如图，已知是的直径，，，垂足分别为、，且求证：．
18.本小题分
选择适当方法解下列方程：
；
；
；
．19.本小题分
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当为正整数时，求的值．20.本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
求进馆人次的月平均增长率；
因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．21.本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活，小明在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
若日利润保持不变，小明想尽快销售完该款商品，每件小商品应降价多少元？
小强的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件元为提高市场竞争力，促进线下销售，小强决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该商品至少需打几折销售？22.本小题分

如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
23.本小题分
类比和转化是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法回顾旧知，类比求解．
解无理方程根号下含有未知数的方程，可通过方程两边平方把它转化为，解得通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．
解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程即可．
运用上面方法解下列方程：
；
．24.本小题分
阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，且，
当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
求代数式最小值；
填空：代数式当 ______ 时，有最______ 值，是______ ．
若代数式的最小值为，求的值．25.本小题分
如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为，问：
当时，四边形面积是多少？
当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
二次项系数、一次项系数分别是：，．
故选C．
先把方程化成一般形式，再根据定义求解．
一元二次方程的一般形式是：是常数且，其中叫二次项，叫一次项，是常数项．，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．2.【答案】 【解析】解：把代入关于的方程得：
，
，
故选：．
根据方程解的定义，把代入原方程，得到含有关于的一元一次方程，进行解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．3.【答案】 【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：点在圆内，
故选：．
若半径为，点到圆心的距离为当时，点在圆内．
此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．4.【答案】 【解析】解：解方程较简便的解法是因式分解法，
故选D．
根据方程的特点得出即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．5.【答案】 【解析】解：连接，
，过，，
，
在中，由勾股定理得：．
故选：．
连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长度是解此题的关键．6.【答案】 【解析】解：、在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角对应相等，故A错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，故B错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误，不符合题意；
D、相等的弧所对的弦相等，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可．
此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是熟练掌握有关性质和定理．7.【答案】 【解析】【分析】
要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去面积．
【解答】
解：设修建的路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：不合题意，舍去，．
故选A．8.【答案】 【解析】解：将函数化为关于的一元二次方程．
关于的一元二次方程有实数解，
，解得．
函数的最小值是．
故选：．
将原函数化为关于的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式，从而得到关于的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值．
本题考查函数值，将函数化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求原函数的最值是本题的关键．9.【答案】以点为圆心，以为半径的圆 【解析】解：到点的距离等于的点的集合是：以点为圆心，以为半径的圆．
故答案为：以点为圆心，以为半径的圆．
根据圆的定义即可解答．
本题考查了圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合．10.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故答案是：．
根据圆心角、弧、弦的关系求解．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．11.【答案】 【解析】解：一条弦把圆周分成：的两段弧，
劣弧所对圆心角的度数，
故答案为：．
先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数，再根据圆周角定理得出该弦所对圆周角的度数即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．12.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的度数为．
故答案为：．
求出圆心角的度数，可得结论．
本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，圆心角，弧，弦的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．根据方程没有实数根，得到根的判别式小于，求出的范围即可．
【解答】
解：方程没有实数根，
，
解得：，
故答案为14.【答案】 【解析】解：、是方程的两个实数根，
十，，，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求出，和的值，然后把所求代数式写成含有和的形式，再整体代入计算算即可．
本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的一元二次方程的解法．15.【答案】或 【解析】解：当为等腰三角形的腰时，将代入原方程得，
解得：，
此时原方程为，即，
解得：，，
，
、、可以围成等腰三角形；
当为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
此时方程为，
此时，
，
、、可以围成等腰三角形，
．
故答案为：或．
分为等腰三角形的腰与为等腰三角形的底两种情况考虑，当为等腰三角形的腰时，将代入原方程可求出的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出，解之即可得出值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分为等腰三角形的腰与为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．16.【答案】 【解析】解：连接，

为的半径长度为定值，，
，
要使最大，必须最小，
是弦上一点，
当时，最短垂线段最短，
即此时与或重合，
即的最大值是，
则的最大值为：．
故答案为：．
连接，根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出当时，最短，的值最大，再根据垂径定理求出即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理和垂线段最短等知识点，能理解当时，最短，最长是解此题的关键．17.【答案】证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 【解析】证明≌，推出，可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．18.【答案】解：，
，
所以，；
，
，
，
，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 【解析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先计算出根的判别式，然后根据求根公式得到方程的解；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．19.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
且，
正整数的值为，
根据题意得，，
． 【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分得到的范围；
利用的范围可确定正整数的值为，根据根与系数的关系得到，，再利用完全平分公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．20.【答案】解：设进馆人次的月平均增长率是，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：进馆人次的月平均增长率是．
能，理由如下：
人次，，
能够接纳．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】设进馆人次的月平均增长率是，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据第四个月的进馆人次数第三个月的进馆人次数增长率，可求出第四个月的进馆人次数，再与进行比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，舍去．
答：售价应定为元；
该商品需要打折销售，
由题意，得，，
解得：，
答：该商品至少需打折销售． 【解析】根据日利润每件利润日销售量，可求出售价为元时的原利润，设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，根据日利润每件利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
设该商品需要打折销售，根据销售价格不超过元，列出不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用和由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，
可以得出平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，．
当时，舍去，
当时，．
答：当所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为． 【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．23.【答案】解：，
，
即：，
，
或，
由解得：，
由解得：，，
原方程的解为：，，；
将两边平方得：，
即：，
解得：，，
当时，左边，右边，
不是原方程的根，
当时，左边，右边，
是原方程的根．
原方程的根为． 【解析】首先利用因式分解将转化为，然后再解方程和即可；
首先将两边平方得，然后再解这个一元二次方程即可得出原方程的解，注意：解无理方程必须要验根．
此题主要考查了解高次方程和解无理方程，熟练掌握因式分解是解答的关键，通过平方把无理方程转化为有理方程是解答得关键，解无理方程必须要验根，这也是解无理方程的易错点之一．24.【答案】  大   【解析】解：
，
最小值为；
，
，
时，有最大值，最大值为．
故答案为：，大，；
解：
，
，
，
代数式的最小值为，
，
，
．
利用配方法解决问题即可；
利用配方法解决问题即可；
利用配方法可得，从而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了配方法是应用，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．25.【答案】解：如图，四边形是矩形，

，，．
，，
．

答：四边形面积是；
如图，当时，作于，

，
，
四边形是矩形，
，．
，
．
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：．
如图，当时，作于，

，．
，
四边形是矩形，
，
，
．
，
解得：；
综上所述：或或． 【解析】当时，可以得出，，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积；
分情况讨论，如图，当时，如图，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．