2023-2024学年江苏省连云港市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市九年级（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知点在半径为的圆内，则点到圆心的距离可以是
A．B．C．D．
2．（3分）在市长杯足球比赛中，五支球队的进球数分别为3，5，8，4，8，这组数据的中位数是
A．3B．4C．5D．8
3．（3分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的1个红球和11个黄球，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是
A．B．C．D．
4．（3分）实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）把二次函数的图像向左平移2个单位，所得函数图像的表达式是
A．B．C．D．
6．（3分）抛物线与轴的交点个数是
A．0B．1C．2D．3
7．（3分）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形；
第二步：分别取、的中点、，连接；
第三步：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
第四步：过点作，交的延长线于．
则所作图形中是黄金矩形的是
A．矩形B．矩形
C．矩形D．矩形和
8．（3分）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点，是关于的“美好函数” 上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程）
9．（3分）已知，的三条边分别为6、8、10，若 的最短边为3，则最长边为 ．
10．（3分）如图，，是的半径，是上一点，， .
11．（3分）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长
为 米．
12．（3分）二次函数的图像经过点，则的值为 ．
13．（3分）如图，在正方形网格中，点，，都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将的三边，，按照从小到大排列为 （用“”连接）．
14．（3分）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是，可列方程为 ．
15．（3分）若，则代数式的值为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，则它的外接圆心的坐标是 ．
17．（3分）如图，矩形纸片中，，，将纸片裁成如图所示的扇形，若将此扇形围成圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为 ．
18．（3分）如图，是半的直径，点在半上，，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）；
（2）．
20．（8分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学习雷锋精神，争做时代好少年”活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．九（1）班决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙两名同学都被选为宣传员”是 事件；（填“必然”“不可能”“随机”
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙同学都被选为宣传员的概率．
21．（10分）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：
小聪：8，8，7，8，9
小明：10，9，7，5，9
（1）填写下表：
（2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
（3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”
22．（10分）已知关于的方程．
（1）若此方程的一个根为1，求的值；
（2）求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
23．（10分）元旦节期间，两位同学一同去商场调查某种服装的销售情况，下面是两位同学的对话：
求这种服装每件售价是多少元？
24．（10分）（1）如图1，中，，平分交于点，点在边上，且经过，两点，分别交，于点，．求证：是的切线.
（2）如图2，中，，用直尺和圆规作，使它满足以下条件：圆心在边上，经过点，且与边相切．（保留作图痕迹，不用写出作法）
图1 图2
25．（10分）学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度．
26．（12分）如图，抛物线经过点、，与轴交于点，点是抛物线上一动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当点在直线上方时，过点作垂直于轴于点，交直线于点．若，求此时点的坐标；
（3）抛物线在第一象限的部分记为，现将绕点逆时针旋转度，使得上每一点始终在第一象限，求点所经过的路径长．
27．（14分）问题探究：如图1，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．
小江同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转 到处，点，分别落在点，处，易证点，，在同一条直线上，并且 是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
图1 图2 图3 图4
简单应用：（1）在图1中，若，，则 ；
（2）在图2中，是的直径，点，在上，是弧的中点．若，，则 ；
拓展延伸：（3）如图3，，，．探究线段，，之间的数量关系；若图3中，设的长为， 的面积为，求与之间的函数关系式，并求出面积的最大值；
问题解决：（4）如图4，公园里有一个四边形的人工湖，米，米，已经修建一座观光桥，恰巧满足，米，现在再修建一座观光桥，其中，分别是，的中点，则的长度为 米．
2023-2024学年江苏省连云港市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
19．解：（1），
，
则或，
解得，.
（2），
，
则或，
解得，．
20.解：（1）随机
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、丙同学都被选为宣传员的结果有2种，
甲、丙同学都被选为宣传员的概率为．
21.解：（1）8 0.4 8 8 （从左到右，从上到下）
（2）老师选择小聪代表班级参赛，理由是两人的平均数相同，但小聪的方差较小，成绩较稳定.
（3）变小
22．解：（1）根据题意，将代入方程，
得，解得.
（2），
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
23．解：设这种服装每件售价是元，则销售量为件，
由题意，得，
整理，得，
解得，.
答：这种服装每件售价是70元或80元．
24．（1）证明：连接，如图1.
平分，.
，.
，，
，.
为的半径，是的切线.
（2）解：如图2，为所作．
图1 图2
25．解：由题意，以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
抛物线的顶点为，可设抛物线为．
又过点，，．
抛物线的表达式为．
延长左边第一根立柱交轴于点，
的横坐标为．
当时，．
（米．
结合对称性，与之对称的立柱长也为0.625米．
又中间立柱长为0.5米，
所需三根不锈钢管立柱的总长度为（米．
答：所需三根不锈钢管立柱的总长度为1.75米．
26．解：（1）将点、代入，
解得
抛物线的表达式为.
（2）当时，，.
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为.
设，则，，
，，
，，
解得或（舍，.
（3）设经过点的直线为，
当时，整理得，
当时，抛物线与直线有唯一交点，
解得，
直线表达式为，
当绕点旋转时，抛物线与轴有唯一交点.
，，，
点所经过的路径为．
27.解：（1）
（2）
（3）设，，
以为直径作，连接并延长交于点，
连接，，，如图.
，.
为的直径，.
由（2）的证明过程，知，
.
又是的直径，
，.
，，，
，
，
，.
过作交的延长线于，
．，
，.
，.
，，
.
，有最大值；
当时，面积的最大值为.
（4）
如图，连接，，延长，过作于，过作于，，为的中点，，，.，，，.，，
，四边形为矩形，.在中，根据勾股定理，得.在中，根据勾股定理，得
，
，负值舍掉，，分别是，的中点，．
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众数
中位数
方差
小聪
8

8

小明

9

3.2
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
C
D
A
D
A
9.5 10.21 11.300 12.2 13. 14. 15.29
16.， 17.4 18.