【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第8章 概率与统计初步（知识考点）讲义

知识点一：随机事件

1．随机试验

(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．

(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

2．样本点和样本空间

(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．

(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．

3．事件的分类

(1)随机事件：

①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．

②随机事件一般用大写字母，，，…表示．

③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．

(2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．

(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．

4．频率与概率

(1)随机事件的频率

在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.

由概率的定义可知：

(1)对于任意事件，都有；

(2)必然事件的概率为1，即；

(3)不可能事件的概率为0，即.

知识点二：古典概型

1．古典概型的定义

如果一个试验具有如下性质：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

称这样的为古典概率模型，简称古典概型．

2．古典概型的概率计算公式

一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．

知识点三：概率的简单性质

1．互斥事件

一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：，图示：.

2．对立事件

一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且，图示：.

3．互斥事件与相互独立事件的区别与联系

知识点四：抽样方法

1．简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

最常用的简单随机抽样方法是抽签法.

抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．

简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．

2．系统抽样

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；

③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；

④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样．

3．分层抽样

(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．

知识点五：统计图表

频率直方图的制作步骤：

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)

(2)决定组距与组数

组距是指每个小组的两个端点之间的距离.为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”.极差、组距、组数有如下关系：

若为整数，则=组数；若不为整数，则[]+1=组数。

(3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。

(4)列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。

(5)画频率直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。

在频率分布直方图中，纵轴表示  ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．

知识点六：样本的均值和标准差

1．众数，中位数，平均数

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)　．

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．

2．样本方差，样本标准差

标准差

s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．

考点一 随机试验

1．连续掷一颗筛子两次，以下是必然事件的是（    ）

A．点数和为偶数 B．至少出现一次点数为偶数

C．点数和不小于2 D．点数和为奇数

【答案】C

【详解】连续掷一颗筛子两次，两次事件相互独立，各自的可能都为1,2,3,4,5,6，

对于A：若两次点数分别为1，2，则和为奇数，故A错误；

对于B：若两次点数分别为1，3，则都为奇数，故B错误；

对于C：两次点数最小都为1，则和不小于2，故C正确；

对于D：若两次点数分别为1，3，则和为偶数，故D错误；故选：C.

2．将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间__________.

【答案】

【解析】将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间，故答案为：

3．写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间．

【答案】

【解析】从集合任取两个元素，则构成子集的样本空间.

4． 下列四个命题中真命题的个数为（    ）个

①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；

②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；

③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；

④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题，综上所述，真命题个数为个，故选：A.

考点二 古典概型

5．下列试验是古典概型的为             ．

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

【答案】①②④

【解析】因为古典概型需要满足基本事件是有限个，且每个基本事件的概率相等，据此①②④均符合要求，③不满足等可能的要求，因为降雨受多方面因素影响，故答案为：①②④.

6．天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设三张卡片“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”依次记为 , 若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则基本事件为：共9种，则其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的基本事件为：共2种，所有所求概率为，故选：C.

7．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.

8．从至的个整数中随机取个不同的数，写出所有不同的取法.

【答案】答案见解析

【解析】从至的个整数中随机取个不同的数，共有以下种不同的取法，

,,,,.

9．已知集合，在集合A中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是              .

【答案】

【解析】集合，在中可重复的依次取出三个数，，，基本事件有共有8个，“以，，为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数，分别为：，所以 “以，，为边长恰好构成三角形”的概率：，故答案为：.

10．同时骰两枚骰子，求：

（1）至少有一个点数为6的概率；

（2）点数和为6的倍数的概率．

【答案】(1)；(2)

【解析】解：（1）同时骰两枚骰子,所有的基本事件有

共有36个，至少有一个点数为6有共11个，故概率为

（2）点数和为6的倍数的包含的基本事件有共有6个，故概率为

考点三 概率的性质

11．已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（   ）

A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品

C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品

【答案】D

【解析】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件，故选：D.

12．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（    ）

A．“至少有1本数学书”和“都是语文书”      B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”

C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”    D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”

【答案】C

【解析】对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意；对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意；对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” 互斥但不对立，满足题意；对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意，故选：C.

13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，记事件两人下成和棋，事件乙获胜，事件甲获胜，则事件和事件为互斥事件，且事件与事件互为对立事件，所以，甲获胜的概率为，故选：C.

14．有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.

【答案】，，

【解析】解：设，则，，由题意知，解得，所以，，.

15．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因随机事件，互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数的取值范围是，故选：C.

16．已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则            .

【答案】

【解析】因为事件A、B互斥，，所以，又它们都不发生的概率为，所以，解得，所以，故答案为：.

考点四 抽样方法

17．关于简单随机抽样的特点,有以下几种说法,其中不正确的是　(　　)

A．要求总体中的个体数有限

B．从总体中逐个抽取

C．这是一种不放回抽样

D．每个个体被抽到的机会不一样,与先后顺序有关

【答案】D

【解析】简单随机抽样，除具有A、B、C三个特点外，还具有的特点：是等可能抽样，各个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关，选：D.

18．某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（    ）

A．简单随机抽样 B．系统抽样

C．分层抽样 D．其他抽样

【答案】C

【解析】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适，故选：C．

19．某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（    ）

A．2600 B．2580 C．2540 D．2500

【答案】C

【解析】设高三有人，高二学生860人，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，根据分层抽样的特点可得： ，得，所以该高中的学生总人数应为，故选：C

20．现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查（　　）

A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样

B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样

C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样

D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样

【答案】A

【解析】对于①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；②总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，选32人刚好32排，每排选一人，宜用系统抽样；③总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样，故选：A．

21．从编号1，2，3，…，99的99个零件中，抽取一个样本容量为11的样本，按系统抽样的方法分为11组，若第一组中抽取的零件编号为3，则第三组中抽取的零件编号为            ．

【答案】21

【解析】因为有99个零件，分11组，所以每组有9个，因为第一组中抽取的零件编号为3，所以第三组抽取的零件编号为，故答案为：21.

考点五 统计图表

22．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取

             人．

【答案】40

【解析】月收入在[1 500，2 000)内的频率为1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)，故答案为：.

23．采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：

已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（    ）

A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20

【答案】D

【解析】由题意得，=0.35，解得x=4，则y=20-2-3-4-5-2=4，故所求频率为=0.20.

24．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：

（1）求图2中A的值；

（2）补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；

（3）为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？

【答案】（1）；（2）频率分布直方图答案见解析，阴影部分的面积为；（3）

【解析】（1）由题意可知，所以.

（2）

补全后的频率分布直方图如图所示，

阴影部分的面积为.

（3）由分层抽样的性质，知在内应抽取.

考点六 样本的均值和标准差

25．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（    ）

A．众数是82         B．中位数是82         C．极差是30          D．平均数是82

【答案】D

【解析】A中，82出现的次数最多，所以众数是82，A正确；B中，把数据按大小排列为：65，76，82，82，86，95，中间两个数为82，82，所以中位数是82，B正确；C中，极差是95－65=30，C正确；D中，平均数，D错误，故选D．

26．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数为（       ）

A．83 B．85 C．87 D．89

【答案】C

【解析】平均数是，∴平均数是87，故选：C.

27．已知：，，…，的平均数为a．则，，…，的平均数是          . 

【答案】

【解析】由题,所以，则，，…，的平均数:

，故答案为：．

28．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（       ）

A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016

【答案】D

【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，剩余分数如下：9.4、9.4、9.6、9.4、9.7，平均值为；方差为，故选：D.