2023-2024学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点M(1,−2)与点N关于原点对称，则点N的坐标为( )
A. (−2,1)B. (1,−2)C. (2,−1)D. (−1,2)
3.用配方法解一元二次方程x2+2x−1=0，可将方程配方为( )
A. (x+1)2=2B. (x+1)2=0C. (x−1)2=2D. (x−1)2=0
4.如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B=55°，则∠ADE等于( )
A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
5.如图，点A、B、P为⊙O上的点，若∠PBO=15°，且PA//OB，则∠AOB=( )
A. 15°
B. 20°
C. 30°
D. 45°
6.下列抛物线的顶点坐标为(4,−3)的是( )
A. y=(x+4)2−3B. y=(x+4)2+3C. y=(x−4)2−3D. y=(x−4)2+3
7.下列语句中不正确的有( )
①平分弦的直径垂直于弦；
②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
③长度相等的两条弧是等弧．
A. 3个B. 2个C. 1个D. 以上都不对
8.已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
9.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧BC上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
10.平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−3ax+c(a≠0)与直线y=2x+1上有三个不同的点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,m)，如果n=x1+x2+x3，那么m和n的关系是( )
A. m=2n−3B. m=n2−3C. m=2n−5D. m=n2−5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.若(m+1)x|m|+1+6mx−2=0是关于x的一元二次方程，则m=________．
12.一个圆锥的母线长为5cm，底面圆半径为3cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2(结果保留π)．
13.如图，在△ABC中，∠CAB=72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′/​/AB，则∠BAB′的度数为______．
14.若关于x的一元二次方程x2+(k−2)x−1=0的两实数根互为相反数，则k的值为______ ．
15.如图，在△ABC中，AC=BC，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C，若BC=2 3，则半径OA为______ ．
16.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=4，∠BAC=60°，D是边AC上的一个动点，连接BD，作CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.已知关于x的方程 kx2+(k+3)x+3=0(k≠0)．
(1)求证：方程一定有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
解方程：
(1)x2+2x=0
(2)3x2+2x−1=0
19.(本小题8.0分)
我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．
(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；
(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？
20.(本小题8.0分)
如图所示，在⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若BE=2cm，CD=6cm.求⊙O的半径．
21.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD=AB.请用尺规作图法作△ABC绕点A旋转后得到的△ADE，使旋转后的AB边与AD边重合．(保留作图痕迹，不写作法)
22.(本小题10.0分)
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)的关系符合一次函数y=−x+140．
(1)直接写出销售单价x的取值范围．
(2)若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3)若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．
23.(本小题10.0分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=2 3，求图中阴影部分的面积．
24.(本小题12.0分)
在正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．
(1)如图1，若点P在线段CB的延长线上，过点E作EF⊥BC交BC于点H，交对角线AC于点F，连接AE
①请根据题意补全图形(不需要用尺规作图)；
②若∠PAB=20°，求∠CAE的度数；
③求证：EH=FH
(2)若点P在射线BC上，直接写出CE、CP、CD三条线段的数量关系______．
25.(本小题14.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A，点B，(点A在点B的左侧)，点D是抛物线上一点．
(1)若c=32，D(2,−12)时，用含a的式子表示b；
(2)若a=12，c=−2，D(5,3)，△ABD的外接圆为⊙E，求点E的坐标和弧AB的长；
(3)在(1)的条件下，若AB2有最小值，求此时的抛物线解析式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：∵点M(1,−2)与点N关于原点对称，
点N的坐标为(−1,2)，
故选：D．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的规律．
3.【答案】A
【解析】解：x2+2x−1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+12=1+12，
(x+1)2=2，
故选：A．
移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
此题考查了解一元二次方程−配方法．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4.【答案】B
【解析】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，∠CED=∠B=55°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠ADE=∠CED−∠CAD=55°−45°=10°，
故选：B．
根据旋转的性质可得AC=CD，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵PA//OB，
∴∠P=∠PBO=15°；
∴∠AOB=2∠P=30°；
故选：C．
由平行线的内错角相等，易求得∠P的度数，然后可根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出∠AOB的度数．
此题主要考查了平行线的性质及圆周角定理的应用．
6.【答案】C
【解析】解：A、抛物线y=(x+4)2−3的顶点坐标为(−4,−3)，此选项不符合题意；
B、抛物线y=(x+4)2+3的顶点坐标为(−4,3)，此选项不符合题意；
C、抛物线y=(x−4)2−3的顶点坐标为(4,−3)，此选项符合题意；
D、抛物线y=(x−4)2+3的顶点坐标为(4,3)，此选项不符合题意；
故选：C．
根据抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)逐一判断可得．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
7.【答案】A
【解析】解：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以①的说法错误；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以②的说法错误；
能完全重合的两条弧是等弧，所以③的说法错误．
故选：A．
根据垂径定理对①进行判断；根据圆的对称性对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
8.【答案】A
【解析】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32−3k−6=0成立，解得k=1．
故选：A．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
9.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=40°，
∵BD=BD，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=100°，
故选：D．
根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，根据圆周角定理得到∠BCD=∠BAD=40°，进而可求出∠ACD的度数．
本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵y=ax2−3ax+c，
∴对称轴为直线x=−−3a2a=32，
如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x=32对称，则C点在反直线y=2x+1上，
∴x1+x2=3，
∵n=x1+x2+x3，
∴n=3+x3，
∴x3=n−3，
∴m=2(n−3)+1，
∴m=2n−5，
故选：C．
根据题意设在抛物线上的两点A和B，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得x3=n−3，则C(n−3,m)，代入解析式，即可求得m=2n−5．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
11.【答案】1
【解析】解：由(m+1)x|m|+1+6mx−2=0是关于x的一元二次方程，得
|m|+1=2m+1≠0,
解得m=±1且m≠−1，
∴m=1
故答案为：1．
本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由一元二次方程的定义，可得|m|+1=2，m+1≠0，解之即可．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，二次项系数不为0．
12.【答案】15π
【解析】【分析】
本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】
解：圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm2，
故答案为15π．
13.【答案】36°
【解析】解：∵C′C/​/AB，
∴∠C′CA=∠CAB=72°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=72°，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°−72°×2=36°，
故答案为：36°．
由旋转的性质可得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，由等腰三角形的性质可求∠ACC′=∠AC′C=72°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+(k−2)x−1=0的两实数根互为相反数，
∴−(k−2)=0，
解得：k=2．
故答案为：2．
由一元二次方程根与系数得−(k−2)=0，据此解出k即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：连接CO，
∵OA为半径的圆与BC相切于点C
∴∠BCO=90°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∵OA=CO，
∴∠A=∠OCA，
∴∠B=∠A=∠OCA，
∵∠B+∠A+∠OCA=90°，
∴∠B=∠A=∠OCA=30°，
∴BO=2CO，
设CO=x，则BO=2x，
故x2+(2 3)2=(2x)2，
解得：x=2，
则⊙O的半径为：2．
故答案为：2．
直接利用切线的性质得出∠BCO=90°，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出⊙O的半径．
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确得出∠B的度数是解题关键．
16.【答案】 7− 3
【解析】解：如图，取BC中点F，连接AE、EF．
∵CE⊥BD，∠BEC=90°，
∴点E在以BC长为直径的圆周上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=4，∠BAC=60°，
∴BC=AB⋅sin∠BAC=4× 32=2 3，AC=AB⋅cs∠BAC=4×12=2，
∴BF=FC=EF=12BC= 3，
∴AF= 22+( 3)2= 7，
∴AE=AF−EF= 7− 3，
即AE的最小值为 7− 3．
故答案为： 7− 3．
取BC中点F，连接AE、EF.易得点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．据此计算即可．
本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵k≠0，
Δ=(k+3)2−4⋅k×3=k2−6k+9=(k−3)2≥0，
∴方程一定有两个实数根；
(2)解：∵kx2+(k+3)x+3=0
(x+1)(kx+3)=0
∴x1=−1，x2=−3k，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴正整数k=1或3．
【解析】(1)先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程一定有两个实数根；
(2)利用因式分解法求出x1=−1，x2=−3k，然后利用整除性确定k的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ