人教版六年级数学上册【课本】六年级（上）第14讲 工程问题综合提高

第十四讲 工程问题综合提高

本讲知识点汇总：

1. 工程问题基本公式：
   工作量=工作效率×工作时间；
   工作时间=工作量÷工作效率；
   工作效率=工作量÷工作时间．
2. 理解“单位1”的概念并灵活应用；
3. 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系；

工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．

典型题型

1. 基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效率的分析计算时间．

（1） 基本工程问题：关键在于效率的计算；

（2） 中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；

（3） 来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总时间算每个人具体的工作安排；

2. 具有周期性的工程问题

（1） 轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的工作量；

（2） 间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理；

3. 工程问题中的比例

（1） 正反比的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；

（2） 效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算；

4. 水管问题和牛吃草问题

（1） 牛吃草问题型：设效率，比较总量；

（2） 水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管．
 

例1． 生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个240？

「分析」题中已知甲、乙的工效和，那么就应想办法让甲、乙同时工作，不妨采用假设的工作方式分析题目．
 

练习1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作，期间甲队休息了2天，乙队休息了8天．开始到完工共用了多少天时间？
 

例2． A仓库货物是B仓库的2倍，甲搬运A仓库需要32小时，乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时．甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两仓库货物同时搬完．丙帮助甲搬了多少小时12？
「分析」总的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整个工作的过程中没有人休息，那么，我们可以求出工作时间．

练习2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫只需要18个小时就行．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地．墨莫先帮助阿瓜，一会去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时2？
 

例3． 小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．
（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？
（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？
「分析」（1）直接计算即可；（2）分析可得每3个小时可以作为一个周期，那么在完成工作的过程中需要多少个整周期哪？


练习3、一个水池有两根进水管，单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满，现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？
 

例4． 甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息），如果两队合作，从2012年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？
「分析」分析可得两个工程队都是每7天为一个周期，那么一个周期内它们完成的工作量分别是多少呢？

练习4、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2012年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？
 

例5． 一批蜘蛛侠模型，做了后，提速25%，提前3小时完成任务；如果做了400个模型后，提速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个1000？
「分析」不妨画出一个类似行程问题的线段图来分段分析本题．

 

例6． 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？
「分析」在解决某些工程问题时列方程是个不错的选择．

 

智慧的结晶——《梦溪笔谈》

宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一．北宋大科学家沈括的名著《梦溪笔谈》中，有10多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝．

沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术．隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域．

所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像．但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式．沈括经过思考后，发现了正确的计算方法．他以堆积的酒坛为例说明这一问题：设最上层为纵横各2个坛子，最下层为纵横各12个坛子，相邻两层纵横各差1坛，显然这堆酒坛共11层；每个酒坛的体积不妨设为1，用刍童体积公式计算，总体积为，酒坛总数也应是这个数．显然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项“”即为，酒坛实际数应为．加上去的这一项正是一个体积上的修正项．在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想．

会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代曲．沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公式．沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于45°时，相对误差小于2%，所以该公式有较强的实用性．这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的一个重要佐证，很有理论意义．后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术．

在《梦溪笔谈》中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3361种，并提出用数量级概念来表示大数3361的方法．沈括还在书中记载了一些运筹思想，如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等．沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真数．”显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系．他还指出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也．”

作业

1. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用了14天，那么乙队休息了多少天？5
    
2. 一项工作由甲先做6小时，再由乙做12小时即可完成，如果甲先做8小时，乙再做6小时也可完成．如果甲先做3小时，则乙还需要做几小时？21
    
3. 某工程可由若干台机器在规定的时间内完成．如果增加2台机器，则需要用规定时间的就可完成；如果减少2台机器，那么就要推迟小时完成．问由一台机器完成这项工程需要多少小时？56
    
4. 草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着，如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃几天？3
    
5. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．现有两个相同的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲几小时，帮助乙几小时？3，5