湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题

腾·云联盟2023-2024学年度上学期高三年级十月联考

数学试卷

命题学校：武汉市第十二中学 命题教师：段玉慧 审题教师：徐肇梅

考试时间：2023年10月18日 试卷满分：150分

祝考试顺利

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．在中，，则（    ）

A． B． C． D．2

4．将函数的图象向右平移个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为（    ）

A． B． C． D．

5．在正项等比数列中，，则的最小值是（    ）

A．12 B．18 C．24 D．36

6．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度是声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压．声压级的单位为分贝，声压的单位为帕．若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ）

A． B． C． D．

8．在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（    ）

A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变

B．

C．剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数

D．

10．某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为．在某次数学考试中，（1）班的及格率为80%，（2）班的及格率为70%，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生．记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（    ）

A．

B．与均不相互独立

C．

D．若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大

11．已知函数定义域为，且的图像关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数 B．

C． D．

12．在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则面积的最大值为

B．若，则面积的最大值为

C．若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3

D．若为的中点，且，则面积的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．写出一个满足条件“函数的图象与坐标轴没有交点，且关于轴对称”的幂函数：________．

14．的展开式中含项的系数为________．

15．在等比数列中，，则________．

16．已知是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）数列的满足

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．

18．（12分）在中，内角的对边分别为

（1）求角的大小；

（2）为边上一点，，求边的长．

19．（12分）如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2．

     图1                         图2

（1）设平面与平面的交线为，证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括 31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，（1）根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否推断该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关？

（2）将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解亚运会项目的学生的人数为，求使得取得最大值时的值．

附：，

21．（12分）已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

22．（12分）设抛物线的焦点为上点满足．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知正方形有三个顶点在抛物线上，求该正方形面积的最小值．

数学参考答案

一、单选题

1．D  2．A  3．C  4．B  5．C  6．A  7．D  8．B

二、多选题

9．ABD  10．AC  11．BC  12．BCD

三、填空题

13．等等  14．  15．  （或）  16．

四、解答题

17．解：（1），

又

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

故

（2）由得，，

，

所以中要去掉数列的项有5项，

18．解：（1），

由正弦定理可得，

即，

，

又．

又．

（2）

即，解得

19．解：（1）如图，延长交于点，连接

分别为的中点

分别是以为斜边的直角三角形，

即，又

平面平面平面，

而平面平面平面

（2）取的中点，连接交于点，则为中点，连接

为等边三角形，，

为二面角所成角．

，

在中，

平面

又

在中，

二面角所成角的余弦值为．

20．解：（1）列联表为：

零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，

根据列联表中的数据，

依据的独立性检验，可以推断成立，

即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关．

（2）由（1）知，了解亚运会项目的频率，所以随机变量，

令,

解得，

因为，所以当时，取得最大值．

21．解：（1）函数定义域为，求导得

令，得．

①当时，，当或时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，

②当时，在上单调递增

③当时，，当或时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）在区间上恒成立，在区间上的最大值小于等于1，

①当时在上单调递增，所以，

解得

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在区间上单调递减，

所以，满足题意．

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在区间上的最大值为或，

此时

所以当时，不等式在区间上恒成立．

综上可得．

22．解：（1）因为点在上，所以①，

因为，所以由焦半径公式得②，

由①②解得，故抛物线的方程为．

（2）依题意，不妨令正方形的顶点在抛物线上，且，

设抛物线上的三点为，

显然直线的斜率均存在且不为0，

又由抛物线的对称性不妨设直线的斜率大于0，且点都不在轴下方，结合图形知，设直线的斜率为

直线的斜率，①

同理由得，，即，②

由得：

即，化简得，③

由①②③得，

则正方形面积

令，则，

函数在上单调递增，

所以当，即时，该正方形的面积的最小值为32．