湖北省腾云联盟2025届高三上学期10月一模联考数学试题（Word版附解析）

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命题学校：汉阳一中 命题教师：吴正阳 审题教师：袁芳､朱辉
考试时间：2024年10月8日下午 试卷满分150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指、对数不等式化简集合,再由交集运算即可.
【详解】，
，
所以
故选:C
2. 若复数满足，则复平面内表示的点在（ ）
A 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，先求，再求，根据复数的几何意义进行判断.
【详解】由，
所以.对应的点在第一象限..
故选：A
3. 函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】当时，在上单调递减，满足题意；
当时，的对称轴为直线，由在上单调递减，
知，解得．
综上，a的取值范围为．
故选：D
4. 函数图像的一条对称轴为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出.
【详解】由的图象关于对称，
可知：，即，则．
故选：A．
5. 四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系，设Px,y，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值.
【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设，
则，
故，
，
即；
故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，
所以的最大值为.
故选：D.
6. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积.
【详解】如图：
在中，，
由余弦定理：,
所以，所以外接圆半径为，即.
在直角三角形中，，，所以.
设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，，
解得：.
所以球的表面积为：.
故选：A
7. 已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设可得，利用导数可得，再根据等积法可，故可求圆的面积的最小值.
【详解】由题设有，设，则，
设，则，
因为为上的增函数，故为上的增函数，
而，故当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故，

由等积法可得，
故，
故，
故圆的面积的最小值为，
故选：B.
8. 不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（ ）
A. 560B. 455C. 91D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决.
【详解】设，，，
则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数.
因为方程：的解的组数为：；
的解的组数为：；
…
的解的组数为：.
所以原不等式解的组数为：.
故选：B
【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A.
B.
C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据平均数的计算方法判断A；根据方差的计算方法判断B；根据中位数的概念判断C，根据百分位数的计算方法判断D.
【详解】对A：因为，且，所以，故A正确；
对B：设20个数据按从小到大的顺序排列为：，则
，，
因为，
所以
.故B正确；
对C：剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为，是相等的，故C错误；
对D:因为，则剩下18个数据的分位数为；又，所以原样本数据的分位数也是，故D错误.
故选：AB
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的值域为
C. 关于对称
D. 在上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性和单调性，求出函数的值域，可判断BD，求出函数的周期，可判断A，利用特殊点的函数值，可判断C.
【详解】对，
因为，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称.
又，
所以函数为周期函数，且最小正周期为.故A正确；
当时，，
易得在上单调递增，在上单调递减，
且，，，所以；
当时，根据函数为偶函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且.
根据函数的周期性，所以函数的值域为1,2，故B正确.
因为，，
所以，
所以的图象并不关于对称，故C错误；
因为函数在上单调递减，且周期为，
所以函数在上也是单调递减，故D正确.
故选：ABD
11. 已知定义域为函数和，且是奇函数，对任意满足且，下列说法正确的（ ）
A.
B. 或1
C. 在上单调递增，在单调递减
D. 时，
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，利用导数的运算规则及导数关系可判断其正确，对于B，利用赋值法可求，故可判断其正误，利用反证法可判断C的正误，对于D，令，利用导数可证明恒成立，故可判断其正误.
【详解】对于A，因为，故，
所以，故A正确；
对于B，因为是奇函数，故，
因为，故，故，故B错误；
对于C，由A的分析可得 ，故即，
若在上单调递增，则当时，有，
故，矛盾，故C错误；
对于D，因为，
故即，故为上的增函数，
设，
则，
设，则，
设，则，
若恒成立，则，故，此时，
矛盾，故且不恒为零，故在上为增函数，
故，故为上为增函数，
故，故为上为增函数，
故即，故D成立，
故选：AD
【点睛】关键点点睛：不同抽象函数的性质讨论，注意抽象函数之间性质的转化，而与抽象函数有关的不等式恒成立问题，可利用导数讨论导数的符号后得到相应函数的单调性，必要时需多次求导.
三､填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先对函数求导，根据曲线切线的几何意义列式即可求.
【详解】由得，
因为曲线在点处的切线的倾斜角为，
所以，
所以，故.
故答案为：
13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.
【详解】
如图，由可知，
设，由定义
，
的面积为.
故答案为：3
14. 有一直角转弯的走廊（墙面与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米.
【答案】
【解析】
【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.
【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度.
设,则.
过作垂直内侧墙壁于，作垂直内侧墙壁于，
则.
在直角三角形中，，所以.
同理可得.
所以.
因为（当且仅当且时等号成立）.
所以.
因为走廊的宽度与高度都是米，
所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为.
故答案为：
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动．
（1）当时，试确定点的位置并证明；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）为线段的中点，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理、面面垂直的性质证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用垂直关系的向量表示求解即得.
（2）求出平面的法向量，再用面面角的向量求列式计算即得.
【小问1详解】
在中，，
由余弦定理得，则，
有，又平面平面，平面平面，
平面，则平面，直线两两垂直，
以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
由，得，解得，即，
所以当时，点为线段的中点．
【小问2详解】
由（1）可得，
设平面的法向量为，则，取，得，
平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
16. 已知函数，其中为自然对数底数.
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，不等式在区间上恒成立时，求的取值范围.
【答案】（1）当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
（2）实数的取值范围是.
【解析】
【分析】（1）由题得，分，，讨论单调性求解即可；
（2）参数分离得在上恒成立，令，讨论的单调性，求得的最大值即可求得的取值范围.
【小问1详解】
易知函数的定义域为.所以，
当时，由，得，由，得.
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当时，由，得，由，得.
所以的单调增区间为，单调减区间为；
综上所述：当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
【小问2详解】
将代入，得，因为不等式在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知函数的定义域为.
所以.
当时，，故；
当时，，故；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，在上取得最大值.
所以，所以实数的取值范围是.
17. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，中点为且，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据向量平行得到：，利用正弦定理，角化边可得，再用余弦定理求，进而可得角.
（2）先用正弦定理表示出边，，明确角的关系及角的取值范围，借助平面向量表示出，利用三角恒等变换化简，借助三角函数的性质求取值范围.
【小问1详解】
因为，所以，
由正弦定理可得：，即.
由余弦定理得：，
所以.
【小问2详解】
由正弦定理得：，
所以，，其中，.
又CD=12CA+CB.
所以
因为：，所以，所以.
所以.
所以中线的取值范围为：.
18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若，直线与的斜率分别为与，求的值.
（3）求证：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求出，可得椭圆的标准方程.
（2）设过点的切线方程的点斜式，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得的值.
（3）设（），再设过点的切线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，的表达式.再把和用，表示，化简整理即可.
【小问1详解】
由题意：.
所以椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
设过点的切线方程为：，即，
由，消去，整理得：，
由，
整理得：，
所以.
【小问3详解】
设（），的延长线交轴于点，如图：
、两点处切线斜率分别为，则.
设点的椭圆的切线方程为：，即，
由消去，
化简整理得：，
由得：
化简整理得：，
由韦达定理，得：，，
所以，，
所以要证明，只需证明：，
即
，
因为，所以上式成立，
即成立.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 如图：一张的棋盘，横行编号：竖排编号.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为.

（1）①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置.
②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得分，设得分为，求的分布列和数学期望.
（2）现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式.
【答案】（1）①，，；②分布列见解析；.
（2）
【解析】
【分析】（1）列出所有两次移动的路径，求出其概率，根据得分规则，可得的分布列，并求期望.
（2）先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求.
【小问1详解】
①两次移动的所有路径可能如下：
；；；.
所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：，，.
②棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：；
棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：；
棋子两次移动后，最终停留在时，得3分，对应概率为：.
所以，.
所以最终得分的分布列为：
所以.
【小问2详解】
将棋盘按如图所示编号：

将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做；从8可以连接3或1，记做；然后将它们串联起来：.依次类推，可以串联处环状回路：，如下图所示：

则棋子等价于在这个环状回路中运动.
问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为.
为了转化问题，现规定：“两棋子之间的最短节点数”，例如：

特别规定两棋子重合时，.并统计四种运动模式下会如何变化.
假设3号棋子顺时针走过个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合
为了简化问题，不妨假设，于是有下表：
设“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
则有：，
所以，
显然：，，所以，
所以.
【点睛】方法点睛：在第（2）问中，先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求.
1
3
（顺，顺）
（顺，逆）
（逆，顺）
（逆，逆）