中职数学第1章 充要条件1.2 充要条件精品课时作业

专题02 充要条件

   高频考点题型归纳

【题型1充要条件】

一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.

例题

1．“”是“”的（   ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可

【详解】或

，反之不成立

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

2．已知，若集合，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.

【详解】若，则，所以，故充分性满足；

若，则或，显然必要性不满足；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出“方程至多有一个实数解”的充要条件，即可判断.

【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件

为即，

又是的充分不必要条件，

故选：

4．“”是“且”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；

反之：若且，可得成立，所以必要性成立，

所以“”是“且”必要不充分条件.

故选：B.

练习

一、选择题

1．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．充要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用不等式的性质、特例法，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.

【详解】因为，所以，即由，

当时，显然成立，但是不成立，

因此“”是“”的必要而不充分条件，

故选：C

2．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由，可得，

所以当时，不一定成立，所以充分性不成立；

当时，一定成立，所以必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：C.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】由得，

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

4．下面四个条件中，使成立的充要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据充要条件的概念进行判断即可得解.

【详解】当时，满足，不满足；当时，满足，不满足，故是的既不充分也不必要条件，所以A不正确；

因为，所以是成立的充要条件，所以B正确；

当时，，，；当时，满足，但不满足，所以是的必要不充分条件，所以C不正确；

当时，；当时，满足，但不满足，所以是的充分不必要条件，所以D不正确.

故选：B

5．等式成立的充要条件是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别在和的情况下讨论即可得到结果.

【详解】当时，；当时，；

则成立的充要条件为：.

故选：C.

6．命题“”的一个充要条件是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】解出的范围，再根据充要条件的定义即可得出答案.

【详解】，

，

解得：，

则为的充要条件，

故选：A.

二、填空题

7．“一元二次方程有实数根”的充要条件是   ．

【答案】

【分析】利用判别式即可求出实数的取值范围．

【详解】一元二次方程有实数根，应满足，

解得或，

所以实数的取值范围是

故答案为：

8．设，一元二次方程有实数根的充要条件是  ．

【答案】或或或

【分析】由一元二次方程有实数根可得，解得，结合，即可求出.

【详解】一元二次方程有实数根,

，解得，

又，.

故答案为：或或或．

9．在下列各题中，用符号“⇒”､“⇐”或“⇔”填空：

（1）           ；

（2）x是能被4整除的自然数           x是偶数；

（3）已知p，，是偶数           是偶数；

（4）甲是上海人           甲是中国人；

（5）           .

【答案】     ⇒     ⇒     ⇔     ⇒    

【分析】根据命题之间的关系逐一分析判断即可得出答案.

【详解】解：（1）当时，，

当，或或，

故；

（2）当x是能被4整除的自然数，则x是偶数，

当x是偶数，当x不一定是能被4整除的自然数，

故当x是能被4整除的自然数 x是偶数；

（3）若是偶数，则都是奇数或都是偶数，

当都是奇数时，都是奇数，则是偶数，

当都是偶数时，都是偶数，则是偶数，

所以是偶数，则是偶数，

若是偶数，则都是奇数或都是偶数，

当都是奇数时，都是奇数，则是偶数，

当都是偶数时，都是偶数，则是偶数，

所以是偶数，则是偶数，

所以是偶数是偶数；

（4）若甲是上海人，则甲是中国人，

若甲是中国人，则甲不一定是上海人，

所以甲是上海人甲是中国人；

（5）若，当时，等式成立，

则，不一定成立，

若，则或，

则，

所以.

故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.

10．“”是“或”的      条件（填“充分”“必要”或“充要”）．

【答案】充要

【分析】化简命题“”即得解.

【详解】解：“”即：“或”.

所以“”是“或”的充要条件.

故答案为：充要

11．“”可作为下列结论      的充要条件．

①；②；③或；④或．

【答案】③

【分析】根据率要条件的定义判断即可

【详解】由“”可推得或，反之也成立．

所以“”是③的充要条件．

故答案为：③

三、解答题

12．下列各题中，是的什么条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件）?

(1)四边形对角线互相平分，四边形是矩形；

(2)或，；

(3)，方程有实根．

【答案】(1)必要不充分条件

(2)充要条件

(3)充分不必要条件

【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断可出结论；

（2）解方程，结合充分条件、必要条件的定义判断可出结论；

（3）根据方程有实根，结合判别式求出的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义判断可出结论.

【详解】（1）解：因为，四边形对角线互相平分四边形是矩形，

四边形是矩形四边形对角线互相平分，所以，是的必要不充分条件．

（2）解：解方程，可得或，

所以，是的充要条件.

（3）解：若方程有实根，则，解得，

因为，，

所以，是的充分不必要条件.

13．指出下列命题中，是的什么条件：

（l），；

（2）两直线平行，同位角相等；

（3）点在角的平分线上，点到角的两边所在直线的距离相等；

（4）斜边相等，两直角三角形全等.

【答案】（1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件.

【分析】（1）利用集合的包含关系判断可得出结论；

（2）利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论；

（3）利用角平分线的性质和定义判断可得出结论；

（4）利用全等三角形可判断可得出结论.

【详解】（1）由可得，因为，因此，是的充分不必要条件；

（2）两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行，

因此，是的充要条件；

（3）若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，

反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的角平分线或该角的补角的平分线上，

故是的充分不必要条件；

（4）若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为、、的直角三角形和三边边长分别为、、的直角三角形，这两个三角形不全等，

另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相等.

因此，是的必要不充分条件.