中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册2.3 向量的内积精品当堂检测题

专题04 平面向量的内积

一、   向量的夹角

对于非零向量和 , 作,称射线成的夹角为向量和 的夹角，记作

当和同向时，当和反向时，，因此平面向量夹角的范围为

二、   向量的内积

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的内积（或数量积），

记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

二、内积的运算律

已知向量、、和实数，则：

①；②；③．

三、内积的性质

设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则

①．②．

③当与同向时，；当与反向时，．

特别地，或．

④．⑤．

【题型1 平面向量的内积概念】

【题型2 平面向量的内积的运算】

【题型一】 平面向量的数量积的运算

【典例1】已知向量，且两向量夹角为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用数量积的定义即可得到答案.

【详解】，

故选：A.

【典例2】已知向量的夹角为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.

【详解】.

故选：D.

题型二 平面向量的模长

【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】先求，再利用模长公式可得答案.

【详解】因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；

因为，所以.

故选：D.

【典例2】已知向量，的夹角为，，，则（    ）

A．2 B．3 C．6 D．12

【答案】B

【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解．

【详解】依题意，

.

故选：B.

题型三 平面向量的夹角

【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（    ）

A．45° B．60° C．135° D．150°

【答案】C

【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.

【详解】∵，，

∴.∵，

∴，，则，

设向量与的夹角为，与反向,则.

故选：C.

【典例2】已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A．45° B．135° C．60° D．120°

【答案】B

【分析】根据得到，结合即可得到，然后求即可得到与的夹角.

【详解】根据题意，设与的夹角为θ，

因为，，

所以，变形可得．

则．

又由，所以θ＝135°．

故选：B．

一、单选题

1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ）

A．6 B．8 C．10 D．14

【答案】B

【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.

【详解】`

由，且与的夹角为，

所以

.

故选：B.

2．已知向量和的夹角为，且，则（   ）

A．-10 B．-7 C．-4 D．-1

【答案】D

【解析】根据平面向量的数量积公式，代入条件，计算即可.

【详解】＝＝

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算化简的能力，属基础题.

3．有4个式子：①；②；③；④；

其中正确的个数为(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④.

【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误；

由，所以，即③正确；

由，得不一定成立，故④错误.

故选C

【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型.

4．设为向量, 则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】为向量, ,向量的夹角为或则“”是 ”的充分必要条件.此类问题解答要注意掌握好命题条件和向量共线的基本知识.

【考点定位】本题考查向量的数量积、向量夹角、向量模长和充要条件等知识. 属于容易题.

5．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量数量积公式，结合运算律，即可求解.

【详解】，

因为为单位向量，

所以，

因为，

所以.

故选：D

6．已知，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，得到，即可求解.

【详解】由且，可得，所以.

故选：D.

7．平面向量与的夹角为，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.

【详解】因为，所以，

.

故选：B

8．在中，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦定理求出，再运用定义法求数量积.

【详解】在中，根据余弦定理得，，

所以.

故选：C

9．已知，，且与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】因为，，且与的夹角为，

由平面向量数量积的定义可得，

因此，.

故选：A.

10．已知，，与的夹角为60°，则（    ）

A． B．7 C．3 D．

【答案】A

【分析】运用平面向量数量积、模的运算公式求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

11．已知平面向量，，且，则（    ）

A．10 B．14 C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得，根据已知可得，然后根据数量积的运算律，即可得出答案.

【详解】由已知可得，

，

所以有，

所以，

所以，.

故选：B.

12．在中，，且，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】由，

故.

故选：A

13．在四边形中，若，且，则该四边形是（    ）

A．正方形 B．菱形

C．矩形 D．等腰梯形

【答案】C

【分析】由结合平面向量数量积可得出，再结合可得出结论.

【详解】因为，则，

即，整理可得，

易知、均为非零向量，则，

因为，则且，

所以，四边形为矩形.

故选：C.

14．已知向量满足，则（    ）

A．8 B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据模长平方可得.

【详解】因为，

所以，

又因为

所以，

所以.

故选：D.

15．已知平面向量的夹角为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，展开计算即可.

【详解】

.

故选：C.

16．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.

【详解】因为，

所以，即，

即，又，

结合已知条件可知，

故.

故选：C.