2021-2022学年北京市五十七中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年北京市五十七中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市第五十七中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】根据复数的除法运算，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限.故选：D.2．已知向量，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的坐标运算，结合模长的坐标运算求解即可.【详解】由题意，解得，故.故选：A3．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（    ）A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为1 D．偶函数，最大值为1【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义可判断奇偶性；利用二倍角公式结合三角函数的性质可判断最大值．【详解】解：函数，又，所以，所以该函数为偶函数，又所以当即时，取最大值1．故选：D．4．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】因为,所以点P在第二象限.5．已知，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.【详解】因为，所以，所以，故选：D7．在中，，点P是的中点，则（    ）A． B．4 C． D．6【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以故选：C8．在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】推出的等价式子，即可判断出结论.【详解】为钝角三角形.∴在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9．已知函数.Q是的图象上一点，若在的图象上存在不同的两点M，N，使得成立，其中O是坐标原点，则这样的点Q（    ）A．有且仅有1个B．有且仅有2个C．有且仅有3个D．可以有无数个【答案】A【分析】先由已知可得为M，N的中点，然后根据函数的对称性即可作出判断.【详解】因为，则，所以为M，N的中点，因为关于点成中心对称，所以当的坐标为时，取关于点对称的点M，N符合题意，M，N在两侧时，中心也要在函数上，只能是，M，N在同侧时，相当于M，，N所在的直线与在一侧有个交点， 不可能成立，故满足条件的有且仅有1个.故选：A 二、多选题10．设函数（，是常数，）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（    ）A．的周期为B．的单调递减区间为C．的对称轴为D．的图象可由的图象向左平移个单位得到【答案】BD【分析】由于函数（，是常数，）若在区间上具有单调性，可得，由可得函数的一个对称中心和相邻和对称轴，即可得与的值，即可得函数的解析式，结合余弦型函数的周期性、单调性、对称性、图象变换逐项判断即可.【详解】解：函数，是常数，，，若在区间上具有单调性，则，．，则的图象关于点对称，的图象关于直线对称，，①，且，．两式相减，可得，故 或（舍去）．当时，则由①可得，．综上，．故它的周期为，故A错误；令，求得，可得函数的减区间为，故B正确．令，求得，，故的对称轴为直线，，故C错误；由的图象向左平移个单位得到函数 的图象，故D正确，故选：BD．11．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（    ）A． B． C． D．1【答案】BCD【解析】逐项代入验证是否满足即可.【详解】解：对A，当时， ，故，A错误；对B，当时， ，故，B正确；对C，当时， 故，C正确；对D，显然时，满足，故D正确.故选：BCD.12．已知函数给出下列四个说法，以下正确的是：（    ）A．B．若，则；C．在区间上单调递增；D．的图象关于点成中心对称.【答案】AC【分析】对于A项，求周期奇偶性，然后根据周期奇偶性化简求值；对于B项，求对称轴，然后根据对称轴求解；对于C项，根据给定，把的绝对值去掉化简再用复合函数的单调性解决.对于D项,关于对称中心，只需验证是否成立.【详解】对于A项，的周期为，又因为为奇函数.,所以A正确.对于B项，，所以的周期为，若，则 .又关于对称并且的周期为,所以的对称轴为：若，则,所以B不正确.对于C项，当，，根据复合函数的单调性在单调递增, 所以C正确.对于D项，若 的图像关于点成中心对称则验证所以D项不正确.故选：A C 三、填空题13．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点所处位置的坐标是____________.【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点所处位置的坐标．【详解】解：由题意可得图：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为；点的初始位置坐标为，若角的始边为轴的非负半轴，此时角终边所在直线为，则运动到3分钟时，形成的角度为，所以动点所处位置的坐标是．故答案为：．14．已知i是虚数单位，设复数z满足则的最大值为_____________.【答案】7【分析】用代数形式表示出复数z，然后采用三角代换可得最大值.【详解】设代入得，设，则，其中，当时取等.故答案为：715．函数单调递增的区间是__________.【答案】【分析】把已知函数解析式变形，再由正弦型函数的单调性求解即可．【详解】解：函数，则函数在上的单增区间满足：，，解得，．函数单调递增的区间是．故答案为：．16．在中，已知，，，则角的度数为______．【答案】30°【解析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：由正弦定理，得，又因为，故．故答案为：30°．【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.17．函数在区间内的零点个数为__________.【答案】3【分析】将函数在区间内的零点个数转化为函数的交点个数，利用数形结合法求解.【详解】函数，即，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知，在区间内的零点个数为3，故函数在区间内的零点个数为3.故答案为：318．若实数，满足方程组，则的一个值是_______.【答案】（满足或的值均可）【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：实数，满足方程组，则，由于，所以，则；所以，整理得，所以或，即得或.故可以取时，．故答案为：（满足或的值均可）19．已知f（n）＝cos（n∈N*），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）＝_____.【答案】【分析】探究函数f（n）＝cos的周期再求解.【详解】因为f（n）＝cos（n∈N*），所以，而f（1）+f（2）+f（3）+…+ f（8）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）＝f（1）+f（2）+f（3）+ f（4）=1故答案为：1【点睛】本题主要考查了函数的周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.20．函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为____________________【答案】【分析】根据上，求解的范围，结合三角函数的图象，即可求解的取值范围．【详解】解：由题意上，那么上，则当时，；当时，；当时，；且如下为函数在上的图象：直线在与有三个交点，则，不妨设，根据三角函数的图象及性质，可得，关于直线对称，而，那么，的取值范围．故选答案为：． 四、双空题21．欧拉公式：（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式，可得：___________；__________．【答案】          【解析】由已知可知，，运用诱导公式化简即可求得， 再计算即可得得值.【详解】解：根据（i是虚数单位）得：，，根据诱导公式得，所以，.故答案为：；22．在△ABC中，，点D在边BC上，CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____.【答案】          【解析】在中用正弦定理求解，在用面积公式可得.【详解】在中由正弦定理得：，.在中，，故答案为： ;.【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 五、解答题23．已知向量，.（1）求；     （2）求向量与的夹角.【答案】（1）2；（2）.【分析】（1）根据向量的加法运算求出，根据利用坐标即可计算出向量的模长；（2）利用向量的夹角公式即可求出结果.【详解】（1）因为向量，，所以；.（2）因为，所以，所以向量与的夹角为.24．已知函数.(1)求的值；(2)若，，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期.【答案】(1)(2)函数在上的最小值为，函数的一个周期为 【分析】（1）根据函数解析式直接代入求解的值即可；（2）若，，可化简函数得    ，根据，结合正弦型三角函数的性质即可求解函数在上的最小值以及函数的一个周期.【详解】（1）解：因为，所以；（2）解：若，，则，当时，，则此时，则，且当，即时，函数在上的最小值为，且函数函数的一个周期为.25．已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：①②③④（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求的面积.【答案】（1）同时满足①，②，③，理由见解析.（2）【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.（2）利用余弦定理求出，利用面积公式求解的面积.【详解】（1）同时满足①，②，③. 理由如下：若同时满足①，④，则在锐角中，，所以又因为，所以所以，这与是锐角三角形矛盾，所以不能同时满足①，④， 所以同时满足②，③.因为所以若满足④.则，则 ，这与是锐角三角形矛盾.故不满足④.故满足①，②，③.（2）因为， 所以.解得或. 当时，所以为钝角，与题意不符合，所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.26．在中,内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，点为的中点，求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理，边角互化求解即可；（2）在和中分别利用余弦定理求得，再在中利用余弦定理和基本不等式即可求解.【详解】（1）根据正弦定理可得，因为，，所以，解得，所以.（2）设，，则，在中由余弦定理得①，在中由余弦定理得②，由①+②可得，在中由余弦定理得，当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为.27．定义向量 的“伴随函数”为； 函数 的“伴随向量”为.（1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；（2）写出函数的“伴随向量”为，并求；（3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为，①若，，求的值；②求证：向量的充要条件是.【答案】（1）；最大值为；（2）,；（3）①；②证明见解析.【分析】（1）根据伴随函数的定义写出函数结合辅助角公式化简整理，即可求出最值；（2）结合两角和的余弦公式可化简得，进而表示出向量，即可求出模长；（3）①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式即可求出结果；②由两角和的正弦公式，可推出，充分性：找出时，满足的条件，可得证；必要性：当时，,带入的解析式中，即可知.【详解】（1）,因为，所以最大值为.（2）所以所以 （3）设，① 设，根据定义得出，其中 ，由知. ②充分性：，等号成立当且仅当存在使得，其中，所以，，即得.必要性：当时，，，当且仅当时，取得最大值.