2023-2024学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)

这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
3．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　）

A．30 B．27 C．35 D．40
4．已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
5．如图，AB∥DE，AB＝DE，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AC＝DF B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．AC∥DF
6．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
7．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（　　）

A．110° B．115° C．125° D．130°
8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．90° B．120° C．150° D．180°
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：　 　，使得△ABC≌△DEC．

12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 　 　．

13．如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB＝8cm，则阴影部分的面积是　 　cm2．

14．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为　 　．
15．已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3、5、7，另一个三角形三边的长分别为3、3a﹣2b、a+2b，则a+b＝　 　．
16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为 　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE．求证：BC＝EF．

18．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数．

20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标（直接写答案）：C1　 　；
（3）求△A1B1C1的面积．

21．如图，点B、C、E、F在同一直线上，AB⊥BC于点B，△DEF≌△ABC，且BC＝6，CE＝2．
（1）求CF的长；
（2）判断DE与EF的位置关系，并说明理由．

22．如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD．
（2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长．

23．已知：AB⊥AC，AD⊥AE，且AB＝AC，AD＝AE，求证：
（1）BE＝DC；
（2）BE⊥DC．

24．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．

25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义．
2．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　）

A．30 B．27 C．35 D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
4．已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【分析】作图过程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．
解：由作图得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠O′＝∠O．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
5．如图，AB∥DE，AB＝DE，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AC＝DF B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．AC∥DF
【分析】运用全等三角形的判定可求解．
解：∵AB＝DE，
∵AB∥DE
∴∠B＝∠E，
当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，
当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，
当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可证△ABC≌△DEF，
当AC∥DF时，∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
6．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．
解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
7．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（　　）

A．110° B．115° C．125° D．130°
【分析】根据O到三角形三边距离相等，即可得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是△ABC的内心，即三条角平分线交点，
∴AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ﹣MQ求出OM的长即可．
解：过P作PQ⊥MN，
∵PM＝PN，
∴MQ＝NQ＝1，
在Rt△OPQ中，OP＝12，∠AOB＝60°，
∴∠OPQ＝30°，
∴OQ＝6，
则OM＝OQ﹣QM＝6﹣1＝5．
故选：B．

【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
9．如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．90° B．120° C．150° D．180°
【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，
∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
故选：D．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；

∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；

法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四点共圆，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四点共圆，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正确；

假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：　AB＝DE　，使得△ABC≌△DEC．

【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC＝DC，BC＝EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
解：添加条件是：AB＝DE，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：AB＝DE．本题答案不唯一．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 　（﹣2，0）　．

【分析】根据全等三角形对应边相等可得OD＝OB，然后写出点D的坐标即可．
解：∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB，
∴点D的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，是基础题．
13．如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB＝8cm，则阴影部分的面积是　8　cm2．

【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝8cm，
∴AC＝4cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝4cm．
故S△ACF＝×4×4＝8（cm2）．
故答案为8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
14．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为　40°或100°　．
【分析】分40°角为底角和顶角两种情况求解即可．
解：
当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：40°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
15．已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3、5、7，另一个三角形三边的长分别为3、3a﹣2b、a+2b，则a+b＝　5或4　．
【分析】根据全等三角形的性质列方程组即可得到结论．
解：∵两个三角形全等，
∴3a﹣2b＝5，a+2b＝7或3a﹣2b＝7，a+2b＝5，
∴a＝3，b＝2或a＝3，b＝1，
∴a+b＝5或4，
故答案为：5或4．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解二元一次方程组，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为 　2n﹣1　．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE．求证：BC＝EF．

【分析】先证明AC＝DF，再根据SAS推出△ABC≌△DEF，便可得结论．
解：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF
∴AC＝DF
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，证明三角形的边相等，往往转化证明三角形的全等．
18．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

【分析】（1）AD是△ABC的角平分线，则AD将∠BAC分成两个度数相等的角；
（2）AD是△ABC的角平分线，则点D到∠BAC两边的距离相等．
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于点F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．
【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等、三角形内角和等于180度是解决此题的关键．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，∠ADB＝90°，计算即可．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝20°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标（直接写答案）：C1　（1，﹣1）　；
（3）求△A1B1C1的面积．

【分析】（1）（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）利用割补法求三角形面及即可得答案．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）C1（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积＝3×5﹣﹣×2×3﹣×2×3＝6.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
21．如图，点B、C、E、F在同一直线上，AB⊥BC于点B，△DEF≌△ABC，且BC＝6，CE＝2．
（1）求CF的长；
（2）判断DE与EF的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）由全等三角形的性质得到EF＝BC＝6，即可求出CF＝CE+EF＝8；
（2）由垂直的定义得到∠ABC＝90°，由全等三角形的性质推出∠DEF＝∠ABC＝90°，即可证明DE⊥EF．
解：（1）∵△DEF≌△ABC，
∴EF＝BC＝6，
∵CE＝2，
∴CF＝CE+EF＝2+6＝8；
（2）DE⊥EF，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°
∵△DEF≌△ABC，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴DE⊥EF．
【点评】本题考查全等三角形的性质，垂线，关键是由△DEF≌△ABC，得到EF＝BC，∠DEF＝∠ABC．
22．如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD．
（2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）求出BC+AB＝18，AC＝8，可得结论．
解：（1）如图，直线DE即为所求．

（2）DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝4，
∴AC＝8，
∵△BDC的周长＝BC+BD+DC＝BC+BD+DA＝BC+AB＝18．
∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18+8＝26．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的周长，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23．已知：AB⊥AC，AD⊥AE，且AB＝AC，AD＝AE，求证：
（1）BE＝DC；
（2）BE⊥DC．

【分析】（1）由DA⊥BA，CA⊥EA，且AD＝AB，AE＝AC，利用SAS可判定△DAC≌△BAE，继而可证得BE＝DC；
（2）由△DAC≌△BAE，可得∠ACD＝∠AEB，继而可证得BE⊥DC．
【解答】证明：（1）∵DA⊥BA，CA⊥EA，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠AEB，
∵∠ADC+∠APD＝90°，
∴∠AEB+∠ADP＝90°，
∵∠ADP＝∠EPQ，
∴∠ADP+∠EPQ＝90°，
∴∠PQE＝90°，
即BE⊥DC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．

【分析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，可得∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，由此得出CM＝MF＝BF＝BC，最后根据AB＝12即可求得BF的长．
解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠MDF＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM＝BE，
∴CD＝BE；

（2）∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，
∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，
∴BE＝BF，DM＝FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF＝BF，
∴CM＝MF＝BF，
又∵AB＝BC＝12，
∴CM＝MF＝BF＝4．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．
25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）作CH⊥y轴于H，如图1，易得OA＝3，OB＝1根据等腰直角三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，则可根据“AAS”证明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；
（2）与（1）一样的方法可证明△ABO≌△BCD，得到OB＝CD，OA＝BD，易得OA＝CD+OD；
（3）如图3，CF和AB的延长线相交于点D，先证明△ABE≌△CBD得到AE＝CD，再利用对称性质得CF＝DF，所以CF＝AE．
解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，
∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBH＝∠BAO，
在△ABO和△BCH中
，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，
∴C（﹣1，4）；
（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中
，
∴△ABO≌△BCD，
∴OB＝CD，OA＝BD，
而BD＝OB+OD＝CD+OD，
∴OA＝CD+OD；
（3）CF＝AE．理由如下：
如图3，CF和AB的延长线相交于点D，
∴∠CBD＝90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D＝90°，
而∠DAF+∠D＝90°，
∴∠BCD＝∠DAF，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD，
∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，
∴CF＝DF，
∴CF＝CD＝AE．


【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形．