高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数导学案及答案，共7页。学案主要包含了幂函数的概念，五个幂函数的图象与性质，幂函数性质的应用等内容，欢迎下载使用。


教学目标
1.了解幂函数的概念，会求幂丽数的解析式.
2.结合幂函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x−1 ，y=x12 的图象，掌握它们的性质.
教材原句
要点一 幂函数的概念
一般地，函数① y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α 是 常数 .
要点二 五个幂函数的图象与性质
在同一坐标系中画出函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x−1 ，y=x12 和y=x−1 的图象.
我们得到：
（1）函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x12 和y=x−1 的图象都通过点（1，1）；
（2）函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x−1 是② 奇函数 ，函数y=x2 是③ 偶函数 ；
（3）在区间(0,+∞) 上，函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x12 ④ 单调递增 ，函数y=x−1 ⑤ 单调递减 ；
（4）在第一象限内，函数y=x−1 的图象向上与⑥ y轴 无限接近，向右⑦ x轴 无限接近.
自主思考
1.函数y=2x ，y=2x2 是幂函数吗？
答案：提示函数y=2x ，y=2x2 都不是幂函数.
2.已知x≠0 ，则函数y=1x2 ，y=x0 是幂函数吗？
答案：提示函数y=1x2 ，y=x0(x≠0) 都是幂函数.
3.当0答案：提示ℎ(x)>g(x)>f(x) .
名师点睛
1.幂函数的特征
（1）xα 的系数是1；
（2）xα 的底数x 是自变量；
（3）xα 的指数α 为常数．
只有同时满足这三个条件，才是幂函数．形如y=(2x)α ，y=2x5 ，y=xα+6 的函数都不是幂函数．2.幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0,+∞) 上都有定义，并且图象都过点（1，1）.
（2）如果α＞0 ，那么幂函数的图象过原点，并且在区间(0,+∞) 上单调递增；如果α＜0 ，那么幂函数的图象在区间(0,+∞) 上单调递减.
（3）在(1,+∞) 上，随着指数的逐渐增大，函数图象越来越靠近y 轴．
互动探究·关键能力
探究点一 幂函数的概念
精讲精练
例 已知函数f(x)=(m2−m−1)x−5 m−3 ，m 为何值时，f(x) 是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？
答案：①若f(x) 是幂函数，
则m2−m−1=1 ，即m2−m−2=0 ，
解得m=2 或m=−1 .
②若f(x) 是正比例函数，则−5 m−3=1 ，
解得m=−45 ，
此时m2−m−1≠0 ，故m=−45 .
③若f(x) 是反比例函数，则−5 m−3=−1 ，
解得m=−25 ，
此时m2−m−1≠0 ，故m=−25 .
④若f(x) 是二次函数，则−5 m−3=2 ，解得m=−1 .此时m2−m−1≠0 ，
故m=−1 .
解题感悟
将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区分它们之间的不同点：①正比例函数y=kx(k≠0) ；②反比例函数y=kx(k≠0) ；③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) ；④幂函数y=xα(α∈R) .
迁移应用
1.有以下函数：①y=x3 ；②y=4x2 ；③y=x5+1 ；④y=(x−1)2 ；⑤y=x .其中幂函数的个数为( )
答案：B
解析：幂函数有①⑤两个.
2.若f(x)=(m2−4 m−4)xm 是幂函数，则m= .
答案：5或-1
解析：若f(x) 是幂函数，则m2−4 m−4=1, 即m2−4 m−5=0 ，解得m=5 或m=−1 .
探究点二 幂函数的图象及应用
例 若四个幂函数y=xa ，y=xb ，y=xc ，y=xd 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )
A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d
C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c
答案：B
解析：依据图象的高低判断幂指数的大小，在（0，1）上，指数越大，幂函数的图象越靠近x 轴；在(1,+∞) 上，指数越大，幂函数图象越远离x轴.故选B.
解题感悟
1.在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定.当α＞0 时，函数单调递增；当α＜0 时，函数单调递减.
2.曲线在第一象限的凹凸性：α＞1 时，曲线下凸;0＜α＜1 时，曲线上凸；α<0 时，曲线下凸.
迁移应用
1.已知点(3,3) 与点(−2,−12) 分别在幂函数f(x) ，g(x) 的图象上，当x 分别为何值时，有f(x)>g(x) ；f(x)=g(x) ；f(x)答案：设f(x)=xα ，g(x)=xβ .
因为(3)α=3 ，(−2)β=−12 ，
所以α=2 ，β=−1 ，
所以f(x)=x2 ，g(x)=x−1 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示.
由图象知，当x∈(−∞,0)∪(1,+∞) 时，f(x)＞g(x) ；
当x=1 时，f(x)=g(x) ；
当x∈(0,1) 时，f(x)＜g(x) .
探究点三 幂函数性质的应用
例 比较下列各题中两个值的大小：
（1）(−23)−1 与(−35)−1 ；
（2）(a+1)3 与a3 ；
（3）1.212 ，0.9−12 ，1.1 .
答案：（1）函数y=x−1 在(−∞,0) 上为减函数，
∵−23＜−35 ，
∴(−23)−1＞(−35)−1 .
（2）函数y=x3 在R 上为增函数，
∵a+1＞a ，
∴(a+1)3＞a3 .
（3）0.9−12=(109)12 ，1.1=1.112 .
∵1.2＞109＞1.1 ，
且y=x12 在[0,+∞ ）上单调递增，
∴1.212>(109)12>1.112 ，
即1.212＞0.9−12＞1.1 .
解题感悟
利用幂函数的性质比较大小的方法
1.直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较两个数的大小；
2.转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性比较两个数的大小.
迁移应用
1.比较下列各组中两个值的大小：
（1）(23)0.5 与(45)0.5 ；
（2）−3.143 与−π3 ；
（3）245 ，335 ，2515 .
答案：（1）∵y=x0.5 在[0,+∞) 上是增函数，且23＜45 ，
∴(23)0.5＜(45)0.5 .
（2）∵y=x3 是R 上的增函数，且3.14<π ，∴3.143<π3 ，
∴−3.143＞−π3 .
（3）245=1615 ，335=2715 .
∵y=x15 为[0,+∞ ）上的增函数，且16＜25＜27，
∴245＜2515＜335 .
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知幂函数f(x)=xα 的图象经过点（4，2），则f(2)= ( )
A.2B.2 C.22 D.12
答案：B
解析：因为幂函数f(x)=xα 的图象经过点（4，2），所以f(4)=4α=2 ，解得α=12, 所以f(x)=x12, 所以f(2)=2 .故选B.
2.设M=(x2+1)3 ，N=8x3 ，则M 与N 的大小关系是( )
A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N
答案：B
解析：易知函数y=x3 是R 上的增函数，且x2+1≥2x ，所以(x2+1)3≥(2x)3=8x3 ，即M≥N .故选B.
3.已知y=(2a+b)xa+b+(a−2b) 是幂函数，则a= ，b= .
答案：25 ; 15
4.比较下列各组数的大小．
（1）−8−1 和−9−1 ；
（2）(15)3 和(12)3 ；
（3）(−0.31)65 ，0.3565 .
答案：（1）函数f(x)=x−1 在(0,+∞) 上是减函数，∵8<9 ，∴8−1>9−1 ，∴−8−1<−9−1 .
（2）函数y=x3 在R 上是增函数，且12＞15, 则(12)3＞(15)3 .
（3）∵y=x65 为R 上的偶函数，∴(−0.31)65=0.3165 .又函数y=x65 为[0,+∞) 上的增函数，且0.31<0.35 ，∴0.3165<0.3565 ，即(−0.31)65＜0.3565 .
素养演练
数学抽象——幂函数的综合应用
1.已知幂函数y=f(x)=x−2 m2−m+3 ，其中m∈{m|−2＜m＜2,m∈Z} ，若：
①f(x) 是区间(0,+∞) 上的增函数；
②对任意的x∈R ，都有f(−x)+f(x)=0 .
求同时满足①②的幂函数f(x) 的解析式，并求当x∈[0,3] 时，f(x) 的值域.
答案：因为m∈{m|−2＜m＜2,m∈Z} ，所以m=−1,0,1 .因为对任意的x∈R ，都有f(−x)+f(x)=0 ，即f(−x)=−f(x) ，所以f(x) 是奇函数.
当m=−1 时，f(x)=x2 ，只满足条件①而不满足条件②；
当m=1 时，f(x)=x0 ，条件①②都不满足；
当m=0 时，f(x)=x3 ，条件①②都满足，且在区间[0 ，3] 上是增函数.f(0)=0 ，f(3)=33=27 ，所以当x∈[0,3] 时，函数f(x) 的值域为[0，27].
素养探究：解决幂函数的综合问题时应注意：（1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象过定点、单调性、奇偶性等；（2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.通过解题培养学生数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.已知幂函数f(x)=(a2−a+1)x9+a5(a∈Z) 是偶函数，且在(0,+∞) 上为增函数，试求实数a 的值.
答案：由幂函数的定义可知，a2−a+1=1 ，即a2−a=0 ，解得a=0 或a=1 ，
则f(x)=x95 或f(x)=x2 .
若f(x)=x95 ，则其定义域为(−∞,+∞) ，关于原点对称，
又f(−x)=(−x)95=−x95=−f(x) ，
∴f(x) 为奇函数，不符合题意；
若f(x)=x2 ，则其定义域为(−∞,+∞) ，关于原点对称，
又f(−x)=(−x)2=x2=f(x) ，
∴f(x) 为偶函数，且在(0,+∞) 上单调递增，符合题意，
∴ 实数a 的值为1.