中考题数学圆综合练习题

这是一份中考题数学圆综合练习题，共67页。

中考题圆综合练习
一．选择题（共22小题）
1．如图，在矩形中，点从点开始，沿矩形的边运动，，，与对角线相交于点，是线段的中点，连接，则长度的最大值是　　

A．1 B． C．2 D．
2．如图，是的内接三角形，，，作，并与相交于点，连接，则的大小为　　

A． B． C． D．
3．如图，是的直径，为上一点，过上一点作的切线，且于点．若，求的度数是　　

A． B． C． D．
4．如图，，分别是的直径和弦，于点，连接，，且，，则的长为　　

A． B．4 C． D．4.8
5．如图，矩形中，，，以为圆心，1为半径画，是圆上一动点，是上一动点，则最小值是　　

A． B．2.5 C．4 D．3
6．如图，四边形内接于，，，则的半径为　　

A．4 B． C． D．
7．如图，内接于，垂直于过点的切线，垂足为．已知的半径为，，那么　　

A． B． C． D．

8．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是　　

A． B． C． D．
9．如图，矩形中，，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为　　

A．5 B．1 C．2 D．3
10．如图，在中，为的直径，，，，则弦　　

A． B． C． D．
11．如图，点、、、、均在以为直径的上，其中，，则　　
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交于，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
13．如图，，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作，过点作的平行线交两弧于点、，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
14．如图，点，，，都在上，交于点，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．5
15．如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则等于　　
A． B． C． D．
16．如图，经过、两点的与的边相切，与边交于点，若，．则的半径为　　

A． B． C．3 D．
17．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是　　

A． B． C． D．
18．如图，四边形为的内接四边形，的半径为3，，垂足为点，若，则的长等于　　

A． B． C． D．
19．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为　　
A．3 B．4 C．6 D．8
20．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为，弧长是，那么这个的圆锥的高是　　

A． B． C． D．
21．如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为　　

A． B． C． D．
22．如图，在中，弦，，，是上一点，弦与所夹的锐角度数是，则劣弧的长为　　

A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
23．如图，在中，，过点、，与交于点，与相切于点，若，则　　．

24．如图，内接于，，点在直径的延长线上，切于点，且，，阴影部分的面积是 　　．

25．如图，扇形中，，点为的中点，过点作的平行线，则阴影部分的面积为　　．

26．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 　　．

27．如图，、是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则　　．

28．如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是 　　．

29．如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为 　　．（结果不取近似值）

30．如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若，则阴影部分的面积为 　　．

31．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积　　．

32．在正方形中，以为直径作半圆，过点作切圆于点，交于点，正方形的边长为2，则阴影面积为 　　．






33．如图，矩形的边长，．把绕逆时针旋转，使恰好落在上的点处，线段扫过部分为扇形，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 　　．

34．如图，放置在直线上的扇形，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径，，则点的路径长为　　．

三．解答题（共9小题）
35．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．










36．如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．
求证：（1）；
（2）．






37．如图所示，为的直径，点为圆上一点，于点．
（1）如图1，当点是的中点时，求的度数；
（2）如图2，连接，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，请证明直线是的切线．







38．问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图1，试证明；
②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图3，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．






39．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．
（1）证明：；
（2）若，证明：与相切；
（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．




40．已知内接于，的平分线交于点，连接，．
（1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式：　　；
（2）如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若，，求的值．




















41．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点，，在上，的平分线交于点，连接，．
求证：四边形是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．

















42．如图1，已知是的直径，是的弦，过点作交于点，交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）如图2，当，时，求的长．






43．如图，在中，，平交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．


中考题圆综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．如图，在矩形中，点从点开始，沿矩形的边运动，，，与对角线相交于点，是线段的中点，连接，则长度的最大值是　　

A．1 B． C．2 D．
【分析】由矩形的性质和三角形的中位线定理可求的最大值．
【解答】解：由题意可知，当点与点重合时，的值最大，

、是、的中点，
，
，
长度的最大值是2．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2．如图，是的内接三角形，，，作，并与相交于点，连接，则的大小为　　

A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形性质知，，由平行线的性质及圆周角定理得，从而得出答案．
【解答】解：、，
，，
，
，
又，
，
故选：．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．
3．如图，是的直径，为上一点，过上一点作的切线，且于点．若，求的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，根据切线的性质可得，结合已知条件即可求出的度数．
【解答】解：如图，连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选．

【点评】本题考查了切线的性质，根据切线的性质结合已知条件证得是解决问题的关键．
4．如图，，分别是的直径和弦，于点，连接，，且，，则的长为　　

A． B．4 C． D．4.8
【分析】先根据圆周角定理得，则利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算的长．
【解答】解：为直径，
，
，
，
，
在中，．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
5．如图，矩形中，，，以为圆心，1为半径画，是圆上一动点，是上一动点，则最小值是　　

A． B．2.5 C．4 D．3
【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值．
【解答】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于，则就是最小值；

矩形中，，，圆的半径为1，
，，，
，

，
故选：．

【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关键．
6．如图，四边形内接于，，，则的半径为　　

A．4 B． C． D．
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案．
【解答】解：连接，，

四边形内接于，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
的半径为：．
故选：．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
7．如图，内接于，垂直于过点的切线，垂足为．已知的半径为，，那么　　

A． B． C． D．
【分析】作的直径，连接，求出，求出，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：如图，作的直径，连接，
垂直于过点的切线，垂足为，
，，
，
，
，
，
的半径为，，
，
即，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．
8．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是　　

A． B． C． D．
【分析】由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项成立；
由平行线的性质得出，选项成立；
由垂径定理得出，选项成立；
和中，没有相等的边，与不全等，选项不成立，即可得出答案．
【解答】解：是的直径，平分，
，，
，
，
，
，
，选项成立；
，选项成立；
，选项成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，选项不成立；
故选：．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
9．如图，矩形中，，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为　　

A．5 B．1 C．2 D．3
【分析】先证明，则利用圆周角定理可判断点在以为直径的上，连接交于，连接、，如图，由于（当且仅当、、共线时，取等号），然后求出即可．
【解答】解：四边形为矩形，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
连接交于，连接、，如图，
（当且仅当、、共线时，取等号），
即点运动到位置时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，
，
线段的最小值为1．
故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
10．如图，在中，为的直径，，，，则弦　　

A． B． C． D．
【分析】连接，由圆周角定理得出，进而证明是等边三角形，由及勾股定理，可求出的长度，再由垂径定理即可得出的长度．
【解答】解：连接，

为的直径，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂径定理，理解垂径定理是解题的关键．
11．如图，点、、、、均在以为直径的上，其中，，则　　

A． B． C． D．
【分析】连接、，如图，根据圆周角定理得到，，则，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
【解答】解：连接、，如图，
为直径，
，
，，
，
四边形为的内接四边形，
，
．
故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
12．如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交于，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．
【解答】解：在矩形中，，，，
，，
图中阴影部分的面积，
故选：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图，，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作，过点作的平行线交两弧于点、，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
【分析】如图，连接．图中．根据已知条件易求得，．，，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
【解答】解：如图，连接．
，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作弧，
，，，
又，
．
在中，，，
，，，
的面积

，
故选：．

【点评】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
14．如图，点，，，都在上，交于点，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得，然后利用两角分别相等的两个三角形相似证明，再利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理求出，得出，由弦切角定理得出，由三角形的外角性质得出，即可求出的度数．
【解答】解：圆内接四边形的边过圆心，
，，
，，
过点的切线与边所在直线垂直于点，
，，
，
，
；
故选：．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
16．如图，经过、两点的与的边相切，与边交于点，若，．则的半径为　　

A． B． C．3 D．
【分析】连接，，过点作于点，则，，由切线的性质得出，求出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出．
【解答】解：连接，，过点作于点，则，，
，，
，
，
与圆相切，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的半径为3，
故选：．

【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
17．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，由圆心角、弧、弦的关系推出，而，得到，即可求出的度数，由圆周角定理求出的度数．
【解答】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是弧的中点，
．
故选：．

【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
18．如图，四边形为的内接四边形，的半径为3，，垂足为点，若，则的长等于　　

A． B． C． D．
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接、，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
的长，
故选：．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
19．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为　　

A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，

则、，
，
又，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
20．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为，弧长是，那么这个的圆锥的高是　　

A． B． C． D．
【分析】一只扇形的弧长是，则底面的半径即可求得，底面的半径，圆锥的高以及母线正好构成直角三角的三边，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：设圆锥的底面半径是，则，
解得：，
则圆锥的高是：．
故选：．
【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面展开图扇形弧长的计算，用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长．
21．如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为　　

A． B． C． D．
【分析】如图，取的中点，连接，．证明，推出，点在以为圆心，2为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，2为半径的上，
，
，
的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22．如图，在中，弦，，，是上一点，弦与所夹的锐角度数是，则劣弧的长为　　

A． B． C． D．
【分析】连接、、，根据勾股定理求出，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接、、，
，，，
，
，
为直径，
，
弦与所夹的锐角度数是，
，
，
劣弧的长，
故选：．

【点评】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握弧长公式：是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
23．如图，在中，，过点、，与交于点，与相切于点，若，则　　．

【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：连接，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
故答案为：．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．如图，内接于，，点在直径的延长线上，切于点，且，，阴影部分的面积是 　　．

【分析】连接、，可求得，可证明为等边三角形，由直角三角形的性质可得到，，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．
【解答】解：连接、，如图，

为的直径，
，
又，
，
又，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、扇形面积的计算等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
25．如图，扇形中，，点为的中点，过点作的平行线，则阴影部分的面积为　　．

【分析】连接、，求出垂直平分，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，求出和是等腰直角三角形，求出长，再分别求出扇形、和的面积，再求出答案即可．
【解答】解：连接、，
点为的中点，，
为的中位线，
为线段的垂直平分线，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积和三角形的面积计算，三角形的中位线，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
26．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 　　．

【分析】根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：点，分别是，的中点，

，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候的值最大，难度不大．
27．如图，、是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则　35　．

【分析】连接并延长交于点，连接，根据切线的性质可得，从而求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：连接并延长交于点，连接，

与相切于点，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
故答案为：35．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是 　　．

【分析】连接，，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出△是等边三角形，得到，得到，根据图形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接，，
将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，
，
是等边三角形，
，，
当中上，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为 　　．（结果不取近似值）

【分析】根据特殊角求出和，再算出的面积，根据扇形面积公式求出扇形的面积，再用三角形的面积减去扇形面积即可．
【解答】解：是直径，
，
，
，
，，
，
，
扇形的面积，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，关键在于利用圆周角的性质找到直角三角形并结合扇形面积公式解出．
30．如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】根据为直径可知，在等腰直角三角形中，垂直平分，，点为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差．
【解答】解：如图，连接，

在中，
，
，
是半圆的直径，
，
在等腰中，
垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
31．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积　　．

【分析】连接，．首先证明，推出，再证明是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：连接，．
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．

【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
32．在正方形中，以为直径作半圆，过点作切圆于点，交于点，正方形的边长为2，则阴影面积为 　　．

【分析】连接，，，根据切线的性质可得，根据正方形的性质可得，，从而可证，，然后利用全等三角形的性质可得，，再设，从而表示出，的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：连接，，，
与半相切于点，
，
四边形是正方形，
，，
，，，
，
，
，，，
，
，
设，
，，
在中，，
，
，
，
阴影面积的面积


，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，三角形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
33．如图，矩形的边长，．把绕逆时针旋转，使恰好落在上的点处，线段扫过部分为扇形，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 　　．

【分析】根据正弦的定义求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径是，
由旋转的性质可知：，
在中，，
则，
，
，
的长为：，
则，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
34．如图，放置在直线上的扇形，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径，，则点的路径长为　　．

【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，

点的运动路径的长的长的长

，
故答案为：．
【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题）
35．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．

【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，再由为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
（2）由与平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（3）由三角形为直角三角形，利用勾股定理求出的长，再由垂直平分，得到，根据（2）的相似，得比例，求出所求即可．
【解答】（1）证明：圆心在上，
是圆的直径，
，
连接，
平分，
，
，
，即，
，
，
为圆的半径，
是圆的切线；

（2）证明：，
，
，
，
，，
，
；

（3）解：为直角三角形，
，
，
垂直平分，
，
为圆的直径，
，
在中，，即，
，
，
，
则．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
36．如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．
求证：（1）；
（2）．

【分析】（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；
（2）证明，可得，即可证明．
【解答】证明：（1）连接，如图：

为的直径，为的切线，
，
，
，．
又，
，
．
在和中，
，
，
，
为的直径，
，即，
，
，
，
，即，
，
；
（2）由（1）知：，
又，
，
，

，
．
【点评】本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．
37．如图所示，为的直径，点为圆上一点，于点．
（1）如图1，当点是的中点时，求的度数；
（2）如图2，连接，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，请证明直线是的切线．

【分析】（1）证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出答案；
（2）连接，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出，证出为的中位线，得出，设，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
（3）延长交的延长线于点，证明，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论．
【解答】（1）解：是的中点，，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）解：连接，

是直径，
，
，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
又，，
为的中位线，
，
设，
，
，
，
，
；
（3）证明：延长交的延长线于点，

将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
由（2）得，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【点评】本题是圆的综合题，考查切线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理以及切线的判定和性质是解题的关键．
38．问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图1，试证明；
②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图3，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．


【分析】（1）①证明是等边三角形，可得结论；
②结论成立．如图2中，设交于点，在上取一点，使得，连接．证明，推出，再证明，推出，可得结论；
（2）结论：．如图3中，作点关于的对称点，连接，．证明满足②条件，利用②中结论解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，

，，
是等边三角形，
，
，分别平分，，
点，分别是，的中点，
，，
；

②解：结论成立．
理由：如图2中，设交于点，在上取一点，使得，连接．

，
，
，分别平分，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
；

（2）解：结论：．
理由：如图3中，作点关于的对称点，连接，．

四边形是圆内接四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
由②可知，
，
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
39．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．
（1）证明：；
（2）若，证明：与相切；
（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．

【分析】（1）连接，证得，由知，再由为直径知，从而得；
（2）根据可设、则、，证为中位线知、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得；
（3）先证得①，再证得②，由①②得，即，结合知，据此可得，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．
【解答】解：（1）连接，

在和中，
，
，
，
又，
，
为的直径，
，即，
；

（2），
设、则，
，
，且，
，，
在中，，
在中，，，
，
，
则与相切；

（3）连接，
是的直径，
，
，
，
，即①，
又，，
，
，即②，
由①②可得，即，
又，
，
，
、、、、，
，即，
解得：．
方法二：连接、，

由（2）得，
，
，
，
，
为的切线，
，
又，
为等腰直角三角形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
40．已知内接于，的平分线交于点，连接，．
（1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式：　　；
（2）如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若，，求的值．

【分析】（1）在上截取，连接，由条件可知和都是等边三角形，可证明，可得，则；
（2）延长至点，使，连接，证明，可得，证得；
（3）延长至点，使，连接，证明，可得，，证，可得，可由，求出的值．
【解答】解：（1）如图①在上截取，连接，
，的平分线交于点，
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
；
故答案为：．
（2）．理由如下：
如图②，延长至点，使，连接，
四边形内接于，
，
，
，
，
，，
．
，即，
；
（3）如图③，延长至点，使，连接，
四边形内接于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
又，，，
．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．
41．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点，，在上，的平分线交于点，连接，．
求证：四边形是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．

【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知，，再证，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点分别作于点，垂直的延长线于点，证，得到，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接，先证，推出，再证，利用相似三角形对应边的比相等可求出的长．
【解答】解：（1）证明：四边形为圆内接四边形，
，，
平分，
，
，
，
四边形是等补四边形；

（2）平分，理由如下：
如图2，过点分别作于点，垂直的延长线于点，
则，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
，
，
，
是的平分线，即平分；

（3）如图3，连接，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
平分，
，
由（2）知，平分，
，
，
又，
，
，
即，
．



【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．
42．如图1，已知是的直径，是的弦，过点作交于点，交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）如图2，当，时，求的长．

【分析】（1）连接，由是直径知是直角三角形，结合为中点知，再由知，根据可得，即，据此即可得证；
（2）证得，结合即可得；
（3）证为等腰直角三角形得，由得，求出的长度，再由，结合可得答案．
【解答】解：（1）与相切，理由如下：
如图1，连接，

是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
是圆的半径，
与相切；

（2）证明：，，
，
又，
，
，
即，
，
；

（3）由（1）知，
，
，
又，
，
，
，
又，
为等腰直角三角形，
，，
，即，
解得，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
43．如图，在中，，平交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．

【分析】（1）先判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出．再判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论；
（3）先利用三角函数求出的半径，进而求出，，再判断出，进而利用三角函数求出，最后借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接，则，

，
是的平分线，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；

（2）证明：如图2，

连接，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
；

（3）解：如图3，

连接，由（1）知，，
，
设的半径为，则，
，
，
在中，，
，
，
，，
连接，
由（2）知，，，
，
在中，，
，
由（2）知，，
．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键．