2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型九 圆的综合题 （含答案）

这是一份2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型九 圆的综合题 （含答案），共12页。试卷主要包含了圆的综合题等内容，欢迎下载使用。
类型一 与圆的性质有关的证明与计算
典例精讲
例 (一题多设问) 如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.
(1)EM与BE的数量关系是________；
(2)求证：eq \(EB,\s\up8(︵))＝eq \(CN,\s\up8(︵))；
(3)若AM＝eq \r(3)，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
例题图
拓展设问
(4)若∠BAC＝15°，AM＝3，求⊙O的半径及EN的长．
针对演练
1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，连接AD，OE，若M为CD的中点．
(1)求证：DE∥AB；
(2)若OE∥AD，
①连接AC，求证：AC＝DE；
②若CD＝2eq \r(3)，求图中阴影部分的面积．
第1题图
类型二 与切线有关的证明与计算
典例精讲
例 (一题多设问) 如图①，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线DF，与AC交于点F.
求证：CF＝EF；
【思维教练】要证CF＝EF，可连接OD、DE，利用切线的性质及AB＝AC可证明DF⊥AC，则只需证明△CDE是等腰三角形，利用三线合一的性质即可求证．
例题图①
如图②，连接BE，求证：DF∥BE；
【思维教练】根据AB是⊙O的直径，可以得到BE⊥AC，要证DF∥BE，只需证明DF⊥AC即可，由(1)即可得知．
例题图②
如图③，若⊙O的半径为4，∠CDF＝30°，求CF的长；
【思维教练】要求CF的长，可将其放在Rt△CDF中，利用三角函数求解，连接AD，由⊙O的半径可得CD的长，即可求解．
例题图③
如图④，若tanC＝2，CE＝4，求⊙O的半径；
【思维教练】要求⊙O的半径，只需求出AB的长，连接BE，构造出Rt△ABE，在直角三角形中求解即可．
例题图④
(5)如图⑤，若∠A＝45°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【思维教练】要求阴影部分的面积，可将其分为△AOE、△BOD及扇形DOE三部分，利用和差法求解即可．
例题图⑤
针对演练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP，交AC于点F.点O是斜边AB上一点，以点O为圆心，OB的长为半径的圆恰好与AC相切于点F.
第1题图
(1)若∠A＝30°，求证：△ABF是等腰三角形；
(2)若BC＝6，tan A＝eq \f(3,4)，求⊙O的半径．
参考答案
类型一 与圆的性质有关的证明与计算
典例精讲
例 (1)解：BE＝eq \r(2)EM；(2分)
【解法提示】∵AC为⊙O的直径，E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，∴∠ABE＝45°.∵AB⊥EN，∴△EMB为等腰直角三角形，∴BE＝eq \r(2)EM.
(2)证明：如解图①，连接EO，
∵AC是⊙O的直径，点E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝eq \f(1,2)∠AOE＝45°.
∵EN⊥AB，垂足为M，
∴∠EMB＝90°，
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(BN,\s\up8(︵)).
∵点E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，
∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(EC,\s\up8(︵))，
∴eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BN,\s\up8(︵))，
∴eq \(EC,\s\up8(︵))－eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(BN,\s\up8(︵))－eq \(BC,\s\up8(︵))，
∴eq \(EB,\s\up8(︵))＝eq \(CN,\s\up8(︵))；(7分)
例题解图①
(3)解：如解图①，连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°.
∵BM＝1，由(2)得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝1，BE＝eq \r(2).
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝eq \r(3)，
∴tan∠EAB＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠EAB＝30°.
∵∠EAB＝eq \f(1,2)∠EOB，
∴∠EOB＝60°.
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝eq \r(2).
又∵eq \(EB,\s\up8(︵))＝eq \(CN,\s\up8(︵))，
∴CN＝BE＝eq \r(2)，∠CON＝∠BOE＝60°.
又∵S扇形CON＝eq \f(60π×（\r(2)）2,360)＝eq \f(π,3)，S△OCN＝eq \f(1,2)CN·eq \f(\r(3),2)CN＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(3),2)，
∴S阴影＝S扇形CON－S△OCN＝eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2).(12分)
拓展设问
(4)解：如解图②，连接AE，AN，OE，
∵点E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，
∴∠AOE＝90°.
∵OA＝OE，
∴∠EAC＝45°.
∵∠BAC＝15°，
∴∠EAB＝45°－15°＝30°.
∵EM⊥AB，
∴在Rt△AEM中，EM＝AM·tan30°＝eq \r(3)，AE＝eq \f(AM,cs30°)＝2eq \r(3)，
∴在Rt△AOE中，OA＝AE·cs45°＝eq \r(6).
∵∠BAN＝∠BEN＝45°，EM⊥AB，
∴在Rt△AMN中，MN＝AM＝3，
∴EN＝EM＋MN＝eq \r(3)＋3，
∴⊙O的半径为eq \r(6)，EN的长为eq \r(3)＋3.
例题解图②
针对演练
1. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，CM＝DM，
∴AB⊥CD.
∵DE⊥CD，
∴∠CMB＝∠CDE＝90°，
∴DE∥AB；
(2)①证明：∵OE∥AD，OA∥DE，
∴四边形AOED是平行四边形．
∵OA＝OE，
∴四边形AOED是菱形，
∴AD＝DE.
∵AB⊥CD，
∴AD＝AC，
∴AC＝DE；
②解：如解图，连接OC，
∵DE⊥CD，
∴CE为⊙O的直径，即点O在CE上．
∵M为CD的中点，
∴CM＝eq \f(1,2)CD＝eq \r(3)，AC＝AD＝OE＝OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝eq \f(CM,sin∠AOC)＝2.
∵AD∥OE，
∴∠OAD＝∠AOC，∠ADC＝∠DCE.
∵AD＝OC，
∴△ADM≌△OCM，
∴S阴影＝S扇形AOC＝eq \f(60π×22,360)＝eq \f(2π,3).
第1题解图
类型二 与切线有关的证明与计算
典例精讲
例 (1)证明：如解图①，连接OD，DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC.
∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠DEC＝∠ACB，
∴DE＝CD，
∴CF＝EF；
例题解图①
(2)证明：由(1)知DF⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AC，
∴DF∥BE；
(3)解：如解图②，连接AD，
∵∠CDF＝30°，DF⊥AC，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝CD.
在Rt△ABD中，∵AB＝2AO＝8，
∴BD＝AB·cs∠ABC＝4，
∴CD＝4，
在Rt△CDF中，∵∠CDF＝30°，
∴CF＝eq \f(1,2)CD＝2；
例题解图②
(4)解：如解图③，连接BE，
∵CE＝4，点F是CE的中点，
∴CF＝2，
∵tanC＝eq \f(DF,CF)＝2，
∴DF＝4，
∴BE＝2DF＝8，
设AE＝x，则AB＝AC＝x＋4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＝AE2＋BE2，即(x＋4)2＝x2＋82，
解得x＝6，
∴AB＝x＋4＝10，
即⊙O的半径为5；
例题解图③
(5)解：如解图④，连接OE、OD，过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠A＝45°，OA＝OE，AB＝AC，
∴∠AEO＝∠A＝45°，∠AOE＝90°.
∵AC∥OD，
∴∠DOE＝∠AEO＝45°，∠BOD＝∠A＝45°，
∴DH＝eq \f(\r(2),2)OD＝eq \r(2)，
∴S阴影＝S△AOE＋S扇形DOE＋S△BOD＝eq \f(1,2)OA2＋eq \f(45π×22,360)＋eq \f(1,2)OB·DH＝2＋eq \f(π,2)＋eq \r(2)，
∴阴影部分的面积为2＋eq \f(π,2)＋eq \r(2).
例题解图④
针对演练
1. (1)证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，
由作图步骤可知，BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，
∴∠A＝∠ABF，即AF＝BF，
∴△ABF是等腰三角形；
(2)解：∵BC＝6，tanA＝eq \f(3,4)，
∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，即AC＝8，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝10，
如解图，连接OF，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠AFO＝90°，
∴△AOF∽△ABC，
∴eq \f(OF,BC)＝eq \f(AO,AB)，即eq \f(OF,6)＝eq \f(10－OF,10)，
解得OF＝eq \f(15,4)，
∴⊙O的半径为eq \f(15,4).
第1题解图