山西省吕梁市2023届九年级下学期中考一模数学试卷（含解析）

2023年山西省吕梁市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  笛卡尔是法国著名数学家，他于年发明了现代数学的基础工具平面直角坐标系平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是(    )

A. 方程思想 B. 数形结合思想 C. 公理化思想 D. 分类思想

5.  年月日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果，科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年数据亿年用科学记数法表示为(    )

A. 年
B. 年
C. 年
D. 年

6.  将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的函数关系表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下：

根据上述培育结果，下列说法正确的是(    )

A. 只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于：
B. 随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于：
C. 培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为
D. 培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为

8.  如图，在中，，则下列比例中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，用形状大小相同的菱形组成一组有规律的图案，其中第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，按此规律排下去，若相邻的两个图案中菱形的个数共有个，则这两个图案分别是(    )

 

A. 第个，第个 B. 第个，第个 C. 第个，第个 D. 第个，第个

10.  小明在化简分式时，计算得正确的结果为，则字母所代表整式是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度单位：随着温度单位：的变化关系图象，请写出当温度在到变化时，函数的一条性质：______ ．

13.  图形的密铺或称图形的镶嵌指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖图所示的是一种五边形密铺的结构图，图是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数是______ ．

14.  近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面图所示是一款智能送货机器人，图是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为______ 参考数据：，，

15.  如图，在正方形中，点在对角线上，点，分别在边和上，且，若，，则的长度为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

17.  本小题分
如图，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，垂足为，为的中点，．
求出反比例函数的关系表达式；
若是该反比例函数图象上一点，且请直接写出的取值范围．

18.  本小题分
操作计算：用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：
如图，已知为的直径．
步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于，两点，垂足为．
步骤二：以为半径，在上依次截取．
步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形．
动手操作：请用上面方法，用直尺没有刻度和圆规在已知中作出正七边形要求：不写作法，但保留作图痕迹．
推理计算：若的半径为，则的长度为______ ，所作出的正七边形的周长为______ ．

19.  本小题分
随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程汽车所能行驶的路程比采用技术提高了，若采用充电技术，续航里程公里的充电时间，比采用充电技术续航里程公里的充电时间节省分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？

20.  本小题分
山西省文化和旅游厅发布关于年全省景区首道门票优惠活动参与景区名单的公告，公布了我省个地市的优惠景区数量，具体情况见下表所示：

根据上面信息，解答下列问题：
我省个地市中，参加首道门票优惠活动的景区数量的平均数是______ 家精确到，中位数是______ 家，众数是______ 家
小明在网上搜到平遥古城、介休绵山、五台山、云冈石窟四张图片，并把这四张图片制成形状大小相同的四张卡片，分别编号为，，，将这四张卡片背面朝上洗匀，并从中随机抽取其中的两张，请用画树状图或列表的方法，求出小明恰好抽中平遥古城和介休绵山的概率是多少？
“五一长假”期间，小明去“平遥古城”和“介休绵山”风景区游玩，两个景区首道门票的标价共元，打折后两个景区的首道门票共花费了元，已知“五一长假”期间平遥古城首道门票按标价的折销售，介休绵山首道门票按标价的折销售，请求出平遥古城和介休绵山首道门票的标价各为多少元？

21.  本小题分
阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：
对角线互相垂直的四边形的性质探究
在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知：
对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下：
如图，在四边形中，对角线，垂足为．
求证：．

证明：于点，
依据
若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的倍，证明过程如下不完整：
如图，已知的半径为，四边形内接于，且．
求证：．
证明：过点作直径，分别连接，，，，．

是的直径，依据
，
，
．
学习任务：
小宇同学的论文中，画横线部分的“依据”和“依据”分别是：
依据：______ ；
依据：______ ．
请完成图的剩余证明过程；
如图，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为，，请直接写出的长度．

22.  本小题分
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在菱形纸片中，为的中点将该菱形纸片沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在的延长线上，试猜想与的位置关系，并加以证明．

数学思考：请解答老师提出的问题；
拓展再探：如图，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线折叠，点的对应点，连接并延长与交于点，他们认为四边形是平行四边形“兴趣小组”得出的结论是否正确，请说明理由．
问题解决：如图，“智慧小组”突发奇想，将菱形纸片沿直线折叠，使点的对应点与点重合，得到的折痕为他们提出了一个新问题：若菱形纸片的边长为，，求的长度请你思考该问题，并直接写出结果．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，为抛物线的顶点，点在抛物线上．

求出直线的函数关系表达式，并直接写出顶点的坐标；
点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，并且与直线交于点．
分别连接，，当时，求出的值；
连接，过点作直线，直线与直线交于点，当时，直接写出此时的长．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：．
故选：．
根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
本题考查了有理数的减法，熟记运算是解题的关键，运算时要注意符号的处理．
 

2.【答案】 

解析：解：，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质，得，再根据对顶角相等即可得出答案．
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，对顶角相等．
 

3.【答案】 

解析：

解：选项，俯视图为长方形和正方形组合图形，非圆形，排除
选项，三视图符合题干图形，符合题意
选项，圆柱体高度和半径显然和题干主视图，俯视图中相应尺寸不符合，排除
选项，俯视图大致是两个同心圆，和题干俯视图不一致，排除．
故选：．  

4.【答案】 

解析：解：平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是数形结合思想，
故选：．
平面直角坐标系体现了数形结合的思想．
本题考查了平面直角坐标系的概念，是数形结合思想的体现．
 

5.【答案】 

解析：解：亿年年年，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

6.【答案】 

解析：解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：．
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
 

7.【答案】 

解析：解：、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于：，原说法错误，不符合题意；
B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于：，原说法正确，符合题意；
C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为，原说法错误，不符合题意；
D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为，原说法错误，不符合题意；
故选：．
A、根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断；
B、根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断；
C、根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断；
D、根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断．
本题主要考查了用频率估计概率，频率的意义，掌握用频率估计概率的方法，频率的意义是解题的关键．
 

8.【答案】 

解析：解：，
，，
，
，
∽，
，
选项错误，
故选：．
由平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，即可得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

9.【答案】 

解析：解：第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，
按此规律排下去，
第个图案中有个菱形，
由第个图案和个图案中菱形的个数共有个，得，

解得：，
．
故选：．
根据图形规律求得第个图案中有个菱形，根据题意列出方程，解方程即可求解．
本题考查了图形类规律，一元一次方程的应用，找到规律是解题的关键．
 

10.【答案】 

解析：解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由题意可得，根据分式的加减法法则以及等式的性质求解即可．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

11.【答案】 

解析：解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】当温度等于时，水的密度的值最大答案不唯一 

解析：解：当时，水体积就是逐渐变小的，
根据公式可知水的密度随的增大而增大，
所以是热缩冷胀，
当时，水的体积就是逐渐增大的，水的密度随的增大减小
故答案为：当温度等于时，水的密度的值最大答案不唯一．
当时，水体积就是逐渐变小的，当时，水的体积就是逐渐增大的，根据公式即可得出结论．
本题主要考查了函数的图象，掌握物体热胀冷缩现象以及我们对于图象的分析能力是解题的关键．
 

13.【答案】 

解析：解：，，，
，
则．
故答案为：．
根据边形内角和公式求解即可．
本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形的内角和公式是解答的关键．
 

14.【答案】 

解析：解：过点，分别 作，，垂足为，，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，，，
在中，，
，
，，
，
，
，
点到的高度为，
矩形底座的高为，
点到底面的高度约为．
故答案为：．
过点，分别 作，，垂足为，，过点作，垂足为，分别解，，求出，的长，进而求出最高点距地面的高度即可．
本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
 

15.【答案】 

解析：解：过点作交于点，交于点；过点作交于点，交于点，

四边形是正方形，是对角线，
，，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作交于点，设，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：．
过点作交于点，交于点；过点作交于点，交于点；根据四边形是正方形，是对角线，则，；根据，由勾股定理得，则，；过点作交于点，设，根据勾股定理，，根据相似三角形的判定和性质，得∽，得，求出，根据解答即可．
本题考查正方形的性质，相似三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．
 

16.【答案】解：

．
，
解不等式得：；
解不等式得：得，
原不等式组的解集为：． 

解析：根据，单项式乘多项式，合并同类项，即可；
根据解一元一次不等式方程组，即可．
本题考查整式的乘除，一元一次不等式方程组的知识，解题的关键是掌握整式的乘除，解一元一次不等式方程组．
 

17.【答案】解：轴，为的中点，
，
，
，
，
，
点的坐标为：，
，
，
反比例函数的表达式为．
是该反比例函数图象上一点，
，
，
，
，
，
． 

解析：根据轴，为的中点，得，根据勾股定理，等腰三角形的性质，求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数，即可；
根据是该反比例函数图象上一点，得，根据，即可求出．
本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质．
 

18.【答案】  

解析：解：如图所示，七边形为所要作的正七边形；

连接，，
垂直平分，的半径为，
，
，
，
，
，
，
，
的弧长；
，
正七边形的周长：，
故答案为：；．
根据题干中的步骤作图即可；
连接，，由垂直平分，求得，由勾股定理求得，再解直角三角形求得，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，利用弧长公式即可求得，由即可求得正七边形的周长．
本题考查了作图应用与设计，垂直平分线的定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
 

19.【答案】解：设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
当时，，
答：采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里． 

解析：设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可．
本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】    和 

解析：解：家，
从小到大排列：，，，，，，，，，，，
中位数：，众数：和．
列树状图如图所示：

由树状图可知，所有等可能结果有种，其中正好抽中“平遥古城”和“介休绵山”的结果有种．
小明恰好抽中“平遥古城”和“介休绵山”的概率为．
设平遥古城首道门票的标价为元，根据题意
得，
，
当时，．
答：平遥古城首道门票的标价为元，介休绵山首道门票的标价为元．
根据表中数据利用平均数的计算公式列式计算即可求得平均数，将数据从小到大排列后第个数据即为中位数，从表中得出出现次数最多的数即为众数．
画出树状图，根据概率公式即可求出．
设平遥古城首道门票的标价为元，根据题意列出方程，解出即可求解．
本题主要考查了统计图综合题，涉及到求平均数，中位数，众数和求概率，熟练掌握公式是解此题的关键．
 

21.【答案】勾股定理或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方  直径所对的圆周角等于 

解析：解：勾股定理或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
直径所对的圆周角等于．
过点作直径，分别连接，，，，．
是的直径，
，
，
，
．

，
，
，；
，
，
，
；
连接交于，如图，

，，
，
，，
由得：，
，
解得：，
．
根据勾股定理与圆周角定理可得答案；
过点作直径，分别连接，，，，证明，可得，可得，再利用勾股定理可得答案；
连接交于，如图，证明，，由得：，再建立方程组，从而可得答案．
本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键．
 

22.【答案】解：，
证明：由折叠可知，，
，
，
，
，
，

，
；
“兴趣小组”得到的结论是正确的．
理由如下：

连接，延长交于点，
由折叠可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，关于对称，
，
，
，
，
四边形是菱形，，
四边形是平行四边形；
过点作，交的延长线于点，

菱形纸片的边长为，
，
，
，
，
设，，
则：，
，
，，
设，
则：，，
折叠，
，
在中，，
即：，
解得：；
． 

解析：由折叠推出，等边对等角得到，，利用三角形的内角和定理，推出，即可得出结论；
连接，延长交于点，同法得到，对称得到，推出，再根据，即可得出结论；
过点作，交的延长线于点，利用菱形的性质，得到，求出，的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解直角三角形．熟练掌握菱形的性质，折叠的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，，
解得，，
点坐标为，，
把代入，得，
点坐标为，
设直线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
直线的函数关系表达式为，
，
顶点的坐标为．
如图，

设，，
，
点的纵坐标为，
当，
解得，
点的坐标为，
分两种情况讨论：
当时，
，
四边形是平行四边形．
此时，
，
解得或，
当与不平行时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则≌，
，
，
解得或舍去，
当时，的值为，，或．
，，
设直线的解析式为，
代入解得，
，
的解析式为：，
点在直线上，
，
，
解析式：，
与两直线联立，解得交点的坐标为：
，
，
，
，
整理得：
，
，
，
，
即． 

解析：令抛物线，求出的坐标，把点的横坐标代入到抛物线中，求出的值，把点和点的坐标代入到直线的关系式中，即可求出．
结合已知条件，用表示出点的坐标，分两种情况讨论求解，一种当时求出解，另一种当与不平行时，过点，作的垂线，判定≌，再进行求解即可．
根据已知求出的解析式，结合，表示出的解析式，两个解析式联立表示出点的坐标，利用面积公式代入求解，即可得出．
本题为二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，顶点坐标，图象上点的坐标特征，三角形面积等知识点，掌握二次函数的性质，图象上点的坐标特征，二次函数与三角形面积相结合的应用并利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．