2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院等四校八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院等四校八年级（下）期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了下列运算结果正确的是，下列方程中，已知a，b是实数，定义等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院等四校八年级（下）期末数学试卷1.下列数学图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A. 毕达哥拉斯树 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 卡西尼卵形线2.下列运算结果正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.用反证法证明““时，首先应假设(    )A.  B.  C.  D. 4.下列方程中：
①
②
③；
④，是一元二次方程的有(    )A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个5.下列说法不正确的是(    )A. 矩形的对角相等，邻角互补
B. 一组对边相等且一组对角也相等的四边形是平行四边形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形6.一元二次方程的一根为3，则另一根为(    )A.  B. 1 C.  D. 7.如图，在▱ABCD内部取一点E，连结AE、BE、CE、若时，恰有，则的度数为(    )A.
B.
C.
D.
 8.已知a，b是实数，定义：若m是常数，则关于x的方程：，下列说法正确的是(    )A. 方程一定有实数根 B. 当m取某些值时，方程没有实数根
C. 方程一定有两个实数根 D. 方程一定有两个不相等的实数根9.如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，作，交对角线BD于点O，连结取OB中点P，取CE中点Q，连结若，，则PQ的长度为(    )A.
B.
C.
D.
 10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且保持，在CD上取一点G，连结GF，使EF恰好平分，连结若要求正方形ABCD的面积，则只需要知道(    )A. 的面积
B. 的面积
C. 的周长
D. 的周长11.二次根式有意义，则x的取值范围是______ .12.已知的整数部分为a，小数部分为b，则______13.已知m，n是方程的两根，则的值为______ .14.若实数x满足则______ .15.如图，将▱ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，A点落在线段BF上的处，C点落在E处，连结，若恰有，则______ .
 16.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在线段AD上，以DE为边构造正方形DEFG，使G在CD的延长线上，连结CF，取CF中点H，连结当E为AD中点时，的面积为______ ，当点E在AD边上运动不含A，时，DH的最小值为______ .
 17.计算
；
 18.解方程
；
 19.仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可.
在图1中，标出格点P，连结BP，使BP平分
在图2中，标出格点Q，连结AQ，使

 20.定义：若一元二次方程满足则称此方程为“蛟龙”方程.
当时，判断此时“蛟龙”方程解的情况，并说明理由.
若“蛟龙”方程有两个相等的实数根，请解出此方程.21.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点E，，
当BC平分时，求证：▱ABCD为矩形.

在以下命题中：
①当时，▱ABCD为正方形.
②当时，▱ABCD为正方形.
③当时，四边形EBFC为菱形.
④当时，四边形EBFC为菱形.
正确的有：______ ，请选择一个正确的命题进行证明.22.某商场1月份的销售额为125万元，2月份的销售额下降了，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了121万元.
求3、4月份销售额的平均增长率.
商场计划第一季度月总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明.23.【问题背景】
小张在预习课本时发现了如下表述：
“关于线段的垂直平分线，有如下的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.”小张百思不得其解，对于垂直平分线的性质产生了浓厚的兴趣.
【定理证明】
你能帮助小张证明垂直平分线的性质定理吗？已知：如图，直线于点且，C是直线l上的任意一点.
求证：证明：①当点C与点O重合时，


②当点C与点O不重合时，
直线

在与中，
______
______
______
≌
______
 【定理应用】
小张在课后折纸活动中惊喜地发现：
如图1、图2，将正方形纸片ABCD沿GH折叠，H分别在线段BC，AD上，恰好使B点落在线段CD上的点E处，连结BE，交GH于点O，由折叠的性质，直线GH恰为线段BE的垂直平分线.
①如图1，若正方形纸片的边长为9cm，AH的长度为2cm，则CG的长度为______
②如图2，连结对角线AC，与GH交于点F，连结EF，求证：

【深入探究】
如图3，在菱形ABCD中，点E为边CD上的动点，连结BE，AC，作线段BE的垂直平分线分别交AC，BC，BE于点F，G，O，求证：

 24.如图，在菱形ABCD中，，点P在边BC上由C向B运动，点Q在边CD上由D向C运动，速度均为，连结AP、AQ，以AP，AQ为邻边构造▱APMQ，连结AM过点B作，交折线于点G，分别交AP、AQ于点E、
求证：▱APMQ为菱形.
连结CE，CF，求周长的最小值，并说明理由.
当点G在线段AD上时，若某时刻满足，
①证明：E为AP中点.
②请直接写出此时P点的运动时间.


答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．2.【答案】C 【解析】解：3与不能合并，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：
根据合并同类二次根式法则，二次根式的乘法法则等逐项判断．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．3.【答案】B 【解析】解：a，b的大小关系有，，三种情况，因而的反面是
因此用反证法证明“”时，应先假设
故选：
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是的反面有多种情况，应一一否定．
此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4.【答案】C 【解析】解：①是一元二次方程；
②是一元一次方程；
③是分式方程；
④是一元二次方程；
所以是一元二次方程的有2个．
故选：
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．5.【答案】B 【解析】解：矩形的四个角都是，
对角相等，邻角互补，故本选项不符合题意；
B.如图，，，，由两边和一边所对的角对应相等，不能判定和全等，即不能判定，
不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：
根据矩形的性质即可判断A；根据图形和已知不能推出另一组对边也相等，即可判断B；根据菱形的判定判断C即可；根据平行四边形的判定判断D即可．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边和菱形形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．6.【答案】A 【解析】解：设方程的另一根为t，
根据题意得，解得，
即方程的另一根为
故选：
设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：设，为一元二次方程的两根，则有如下关系：，7.【答案】C 【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，，
，
，

故选：
由平行四边形的性质得出，，证出四边形ABCD是矩形，得出，可求出答案．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．8.【答案】A 【解析】解：由题意得，，
当时，方程是一元一次方程，有实数根；
当时，，
方程有实数根．
故选：
先根据题意得出关于x的方程，再分和两种情况进行讨论即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，在解答此题时要注意进行分类讨论．9.【答案】B 【解析】解：四边形ABCD是矩形，，，E为AD中点，
，，，，，
，
四边形ABFE是平行四边形，，
，
四边形ABFE是矩形，
，，
，，
在和中，
，
和≌，
，
，
连结OC，取OC的中点G，连结PG、QG，
，
，
，
、Q分别是OB、CE的中点，
，，，，
，
，，
，
，
故选：
由矩形的性质得，，，，则，而，，则四边形ABFE是矩形，所以，，可证明和≌，得，所以，连结OC，取OC的中点G，连结PG、QG，由勾股定理得，则，由P、Q分别是OB、CE的中点，得，，，，再证明，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．10.【答案】D 【解析】解：在CD上截取，
四边形ABCD为正方形，
，，
，
即，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，
平分，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
即，
，
，
，
，
即要求正方形ABCD的面积，则只需要知道的周长，
故选：
在CD上截取，先证和全等，得出，，再证，于是得出，从而得出CD的长，即可进行判断．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，综合性较强，需熟练掌握这些知识．11.【答案】 【解析】解：要使二次根式有意义，需要，
解得：
故答案是：
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12.【答案】5 【解析】解：

，
，
，
，，



，
故答案为：
先将分母有理化，然后估算其结果在哪两个整数之间，从而确定a，b的值，然后代入则中计算即可．
本题考查无理数的估算和二次根式的运算，将分母有理化，然后估算其结果在哪两个整数之间是解题的关键．13.【答案】4 【解析】解：根据题意得，，
所以



故答案为：
先根据根与系数的关系得到，，再把展开整理得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，14.【答案】3 【解析】解：假设，则原方程可化为：，
，
，，
即或
当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去；
当时，，
故答案为：
首先假设，得出方程等于，进而求出y即可．
此题主要考查了换元法解一元二次方程，正确利用因式分解法解方程大大降低了计算量．15.【答案】 【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
由折叠得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
由平行四边形的性质得，，由折叠得，，，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．16.【答案】 【解析】解：当E为AD中点时，过点H作于点N，如图1，

正方形ABCD的边长为4，
，
，
四边形DEFG是正方形，
，，
，
点H是CF的中点，
点N是GC的中点，
是的中位线，
，
；
如图2，连接GH，EH，AC，BD，AC与BD交于点O，延长FE到点M，使，连接DM，CM，

四边形DEFG是正方形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
四边形ABCD是正方形，
，，
点D、O、M、B在一条直线上，
点E是FM的中点，点H是CF的中点，
是的中位线，
，
当CM最小时，EH最小，
即当时，CM最小，
，
点与O点重合时，CM最小，
正方形ABCD的边长为4，
，，，
由勾股定理得，
，
，
四边形DEFG是正方形，
，
点H是CF的中点，
，
点H在FG的垂直平分线上，
四边形DEFG是正方形，
点H也在ED的垂直平分线上，
，
，
即DH的最小值为；
故答案为：2，
当E为AD中点时，过点H作于点N，先证HN是的中位线，求出其长度，再根据三角形面积公式计算即可；连接GH，EH，AC，BD，AC与BD交于点O，延长FE到点M，使，连接DM，CM，根据正方形的性质先证点D、O、M、B在一条直线上，再证EH是的中位线，并推出当时，CM最小，根据正方形的性质得出，故点M与点O重合，求出对角线AC的长，即可得出CO的长，于是得出EH的长，再根据正方形的性质证，即可得出DH的最小值．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质及三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键，此题有点难度，需认真思考．17.【答案】解：原式


     原式

 【解析】依据题意，由二次根式的混合运算法则进行计算可以得解；
依据题意，由二次根式的混合运算法则进行计算可以得解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题时需要熟练掌握并理解．18.【答案】解：方程整理得：，
开方得：或，
解得：，；
方程整理得：，即，
这里，，，
，
，
解得：， 【解析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程整理为一般形式，利用求根公式求出解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．19.【答案】解：如图1中，线段BP即为所求；
如图2中，线段AQ即为所求．
 【解析】构造腰为5的等腰三角形，利用三线合一的射线解决问题；
取格点Q，连接AQ即可．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．20.【答案】解：“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，理由如下：
一元二次方程为“蛟龙”方程，
，
，
，
“蛟龙”方程有两个不相等的实数根；
方程为“蛟龙”方程，
，
方程有两个相等的实数根，
，
或2，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得
故此方程的解为0或 【解析】根据“蛟龙”方程的定义得，故，当时，，根据判别式的意义即可得出结论；
根据“蛟龙”方程的定义得，根据判别式的意义得，求出n，进而得到方程的解．
此题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大．21.【答案】②④ 【解析】证明：，，
四边形BECF为平行四边形，
，，
又平分，
，
，
是等腰三角形，即：，
又，BD是对角线，
，
即，
▱ABCD为矩形．
求证命题②，
证明：，，
四边形BECF为平行四边形，
，
又，
，
即为直角三角形，
，
，BD是▱ABCD对角线，
，
即，
又，
▱ABCD为正方形．
先根据题目已知条件求证四边形BECF为平行四边形，然后在根据BC平分，进而求证：▱ABCD为矩形；
将所给命题的已知条件代入原图，看是否能成立．
本题考查正方形判定与性质，矩形判定与性质，等腰三角形性质，菱形的判定与性质，需熟练掌握这些判定方法与性质才能更快的解决本题．22.【答案】解设三、四月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去
答：三、四月份销售额的平均增长率为；
按照中的月平均增长率，第一季度月总销售额为万元，
，
商场不能实现销售计划． 【解析】设三、四月份销售额的平均增长率为x，利用四月份的销售额=二月份的销售额平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
按照中的月平均增长率，计算第一季度月总销售额即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】 【解析】证明：①当点C与点O重合时，


②当点C与点O不重合时，
直线

在与中，
，
≌，
，
故答案为：，，，SAS；
①解：如图1，过点A作，交BC于N，

四边形ABCD是正方形，
，，，
四边形AHGN是平行四边形，
，
直线GH恰为线段BE的垂直平分线，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：4；
②证明：如图2，过点F作于Q，交CD于点P，

，
四边形BCPQ是矩形，
，，
，
，
，
直线GH恰为线段BE的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
证明：如图3，连接DF，BF，BD，

四边形ABCD是菱形，
垂直平分BD，，，
，
，，，
≌，
，
垂直平分BE，
，
，
，，
，
，
，
，

由“SAS”可证≌，可得结论；
①先证四边形AHGN是平行四边形，可得，由“ASA”可证≌，由勾股定理可求解；
②由“HL”可证，可得，由余角的性质可求，即可求解；
由菱形的性质可得AC垂直平分BD，，，由“SAS”可证≌，可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．24.【答案】证明：如图1，连接AC，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
、Q点的运动速度相同，
，
，
≌，
，
四边形APMQ是平行四边形，
四边形APMQ是菱形；
解：如图2，连接FD，BD，
四边形APMQ是菱形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
的周长，
，，
，
的周长的最小值为；
①证明：≌，
，
，
，
，
，
≌，
，
是AP的中点；
②解：连接AC交GB于点H，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
≌，
，，
设，，
，
，
，
，
 【解析】连接AC，证明≌，得到，即可证明平行四边形APMQ为菱形；
连接FD，BD，证明≌，≌，可得的周长，求出BD的长即为所求；
①证明≌，可得，则E是AP的中点；
②连接AC交GB于点H，证明≌，可得，，设，，所以，再由，求出，再求
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握菱形的判定及性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质是解题的关键．