专题7.帕德逼近及应用（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题7.帕德逼近

我们通常遇到的极值点或极值点偏移问题多以二元为主，其实已经很复杂了，但近来我遇到了几道三元的极值点问题，特别是最近的金华十校联考压轴题.此处想简要的总结一下三极值点问题中的一点处理技巧.

一．基本原理

1.1帕德逼近

给定两个正整数，函数在处的阶帕德逼近定义为：

且满足：；. 实际上，由定义可知，若令，即的阶帕德逼近便是在处的泰勒逼近.这便是两个展开之间的基本关系，换句话说，帕德逼近是比泰勒逼近使用范围更广的一种逼近.

1.2 一些重要的帕德不等式

1.3 两个重要的三变量命题函数

先介绍两个函数：，.

这两个函数的零点要注意，首先，一定是一个零点，其次，当满足一定条件时，还会再有两个零点出现，并且，这两个函数有一个很重要的特点，若，则有

，这就意味着剩下的两个零点会有隐含关系：，这个关系在解决相关多极值点问题时至关重要！

要注意特殊的零点，比如上面两个函数中的特殊点，换句话说，有的多元极值点问题就是个纸老虎，会有个别极值点（零点是可求）.

注意一些可能的极值点偏移情形：如果上述可得：

，当时，会有两个零点且（下面例1会证明）.

二．典例分析

例1.已知函数

（1）若有三个零点，求的取值范围；

（2）设的三个零点分别为，求证：.

（3）设的三个零点分别为，求证：.

解析：（1）若有三个零点，则.

（2）依题.同时，需注意

于是，由可得：，

同除，且注意到，可得：.

（3）依题.同时，需注意

于是，由可得：，同除，且注意到，可得：.

我们把上面函数包装一下，让它做导函数，这样可以命制一点看起来难度更大的题目：

例4.设函数.

（1）当时，证明：；

（2）已知恰好有个极值点.

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）证明：.

解析：（ⅰ）由于 故

（ⅱ）证明：此时有，设，则只需证明

，求导得，所以在上单调递增，注意得到，所以，所以只需证明，实际上，上式等价于成立，所以原不等式得证.

例3.已知函数，其中．

（1）求的极值；

（2）设函数有三个不同的极值点．

（i）求实数a的取值范围；

（ii）证明：．

解析：（1）由题可得， ∴在单调递增，∵，∴时，时，

∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值；

（2）（ⅰ），

由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，∴有两个不同的正实根，∴∴，

设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，又∵，∵，且，

∴有三个不同的正实根，满足题意，∴a的取值范围是；

（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，

令，则，∴在单调递减，在单调递增，

令，则

∵，∴，令，，

∴在单调递增，∴，∴在单调递减，

∵，∴，∵，∴，

∵在单调递增，∴，∴.

例4.（金华十校）已知函数，记.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若函数有三个零点，且.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）证明：.

解析：注意到，故只需证明，剩下的就是例1第三问.