专题20. 圆锥曲线中的双切线三大应用情境（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题20.解析几何中双切线问题的三大应用情境

情境1.圆的双切线模型及应用

圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 对于圆的双切线，我的建议就是多推导，遇到最值就往切线长上转化！

如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：

1.；.

2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.

3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.

4.平分.

5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.

6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：

.对使用均值不等式可得最小值.

        图1

7.假设，圆的方程为（）

则切点弦的方程为：.

例1.已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

解析：综合考察性质3，5,7.

圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

例2.（2022深圳二模）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（       ）

A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得

C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上

解析：依题意，即，设，则为的中点，且，

所以，所以，，又，

所以，，所以，，故A正确，B不正确；

设，则，所以以为直径的圆的方程为，

则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；

又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；

故选：ACD

情境2.圆锥曲线的双切线

1.知识要点.如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设.

第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；

第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③；

第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.

常见案例1.彭赛列闭合

例3．已知抛物线C：，点.

（1）设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程；

（2）是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.

解析：（1）直线的方程．

（2）假设存在．取，圆，设切线为，由，解得，①，将直线代入抛物线方程，解得，，

直线的方程为，若直线和圆相切，可得②

由①得,由①②解得，．下证时，对任意的动点，直线和圆相切．

理由如下：设，当时,上面假设已经说明成立;当,一条切线与轴平行,不能与抛物线交于另一点,故,以下就且情况下证明.过的直线为， ，由，可得，

，，

又直线与曲线相交于 ，，由，代入抛物线方程可得，可得，，则，是方程的两根，即有，即，同理．

则有，，

直线，

即为，则圆心到直线的距离为

，由，

代入上式，化简可得，则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．

常见案例2：蒙日圆

曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆.

证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.

当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是

. 由，得

由其判别式的值为0，得

因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以

由此，得

例4．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.

（i）求证：；

（ii）求的面积的取值范围.

解析：（1）椭圆的标准方程为.

（2）（i）设点.

①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程.

由，消去，得.

.令，整理得.设直线，的斜率分别为，.∴.

又，∴.∴，即为圆的直径，∴.

②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为.

∴，，也满足.综上，有.

（ii）设点，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由，消去，得.

.

令，整理得.则

∴直线的方程为.

化简可得，即.经验证，当直线的斜率不存在时，

直线的方程为或，也满足.同理，可得直线的方程为. ∵在直线，上，∴，.

∴直线的方程为.由，消去，得.∴，.

∴

.又点到直线的距离.∴.

令，.则.

又，∴的面积的取值范围为.

情境3：抛物线阿基米德三角形

1. 知识要点：如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:

结论1.直线过抛物线的焦点.

证明：参见下面的例1.                                     

结论2.直线的方程为.进一步，还有

（1）过抛物线上一点的切线方程为：；

（2）过抛物线上一点的切线方程为：；

（3）过抛物线上一点的切线方程为：；

（4）过抛物线上一点的切线方程为：．

结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.

证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.

结论4..

证明：由结论3，，.那么.

结论5..

证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.

结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.

证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.

例5．（2021高考全国乙卷理21）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的距离的最小值．

（1）求；

（2）若点在圆上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

解析：（1）抛物线的焦点为，，

∴与圆上点的距离的最小值为，解得．

（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，

设点，，，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，

由于点为这两条直线公共点，则，

∴点的坐标满足方程，∴直线的方程为，

联立可得，由韦达定理可得，，

，

点到直线的距离为，

∴，

，

由已知可得，∴当时，的面积取最大值．

注：对于抛物线，设，是的两条切线，，是切点，则阿基米德三角形的面积为：．

例6.已知抛物线的焦点为,是热线上的两动点，且

过两点分别作抛物线的切线，设其交点为．

（1）证明为定值；

（2）设的面积为，写出的表达式，并求S的最小值．

解：（1）点的坐标为 设点的坐标为   点的坐标为

由可得，因此

过点的切线方程为 (1)  

过点的切线方程为 (2)

解（1）（2）构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0  即为定值.

（2）=0可得三角形面积

所以当且仅当时取等号