四川省蓬溪中学2023-2024学年高三理科数学上学期第一次月考试题(Word版附解析)
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高2021级第五学期第一次月考数学试卷理科
一、单选题(每小题5分,共60分)
1. 已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,由交集的运算,即可得到结果.
【详解】∵,,
∴.
故选:C
2. 下列函数中,与函数表示同一个函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过分析函数的定义域、值域和对应关系,由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域和值域都为R .
对于A选项,函数的定义域为 ,故与不相同.
对于B选项, ,定义域、值域都为 R,对应关系为,故与相同.
对于C选项,函数的值域为 ,故与不相同.
对于D选项,函数定义域为 ,故与不相同.
故选:B.
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质结合必要不充分条件的判定方法求解即可.
【详解】当时,或或,所以“”推不出“”,
但是当时,,所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
4. 函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点存在定理判断.
【详解】,,,
∴零点在区间上.
故选:C.
【点睛】本题考查零点存在定理,掌握零点存在定理是解题基础.
5. 已知命题 若幂函数过点,则;命题 在中,是的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是( )
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数的性质判断,由正弦定理判断,再由逻辑联结词的概念判断.
【详解】命题,设,∵,∴,则,
∴,所以是真命题.
命题,在三角形中,若,由正弦定理得,所以;
若,则,由正弦定理得.
所以是的充要条件,所以命题是假命题.
所以、、是假命题,ABC选项错误.是真命题,
故选:D
6. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数排除C、D,再计算,可排除B,从而可得到答案.
【详解】的定义域为,
因为,
所以在上为偶函数,可排除C、D;
又,可排除B.
故选:A.
7. 若函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,将问题转化恒成立问题,然后求导得最值即可.
【详解】由,可得,记,
则,所以在单调递增,所以.
故选:C
8. 若,则下列各式的值等于1的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将指数化为对数,然后利用对数运算性质及换底公式求解即可.
【详解】因为,所以,所以,,
所以.
故选:B.
9. 已知函数在处有极大值,则的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,列出方程求得的值,然后检验即可得到结果.
【详解】,,
∴或,
当时,,
令,得或;令,得;
从而在单调递增,在单调递减,在单调递增,
所以在处有极小值,不合题意,
当时,经检验,满足题意;
综上,.
故选:C
10. 已知定义在上的奇函数满足:的图象是连续不断的且为偶函数.若有,则下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期,然后利用函数的单调性即可求解.
【详解】∵为偶函数,
∴且的图象关于对称,
∵为奇函数,∴的图象关于对称,
∴为周期函数,,
∵有,∴在上单调性递减,
∴由的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示:
∵,,,
∴,
故选:D.
11. 已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数,其中,利用导数分析函数的单调性,可得出,然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】构造函数,其中,
则,所以,函数在上单调递增,
所以,,即,
因为,则,所以,,
又因为,则,故,故.
故选:A.
12. 已知函数,若关于x的方程有四个不同的根(),则的最大值是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】数形结合,把四个不同的根用表示,借助导数讨论函数的最值解决问题.
【详解】图,
由图可知当且仅当时,方程有四个不同的根,
且,由题:,,
设则
,令,
故在递增,在递减,.
故选:A.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13. 曲线在点处的切线方程是__________
【答案】
【解析】
【分析】求得导函数,即可求得切线的斜率,进而将代入函数解析式可知点在曲线上,即可由点斜式得切线方程.
【详解】曲线,
则,
所以,
将代入函数解析式可得,即点在曲线上,
所以该函数在点处的切线方程是,
即切线方程为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了导数的集合意义,切线方程的求法,属于基础题.
14. 若,为假命题,则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得,为真命题,结合判别式即可求得答案.
【详解】因为,为假命题,
故,为真命题,
故,解得,
即的取值范围为
故答案为:
15. 设,则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数图象,由指数函数与对数函数的性质求解.
【详解】作出函数图象如图所示,
令得:;令得:,
由图可得:不等式的解集为,
故答案为:.
16. 已知符号表示不超过x的最大整数,若函数,则给出以下四个结论:
①的值域为;
②为偶函数;
③在上是减函数;
④若方程有且仅有3个根,则的取值范围是.
其中正确的序号为_________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据新定义分析得到的图象,即可判断①②③;将方程有且仅有3个根转化为与的图像有个交点,然后结合图象即可判断④.
【详解】因为符号表示不超过x的最大整数,若函数,
所以当时,,则;当时,,则;
当时,,则,当时,,则;
当时,,则;当时,,则;当时,,则;当时,,则;
∴函数的图像如图所示:
对于①,由上面的图像可知,①是正确的,
对于②,由上面的图像可知,②是错的,
对于③,由上面的图像可知,③是正确的,
对于④,由上面的图像可知,,,,
因为方程有且仅有3个根,等价于与的图像有个交点,
结合图像可知,当或,
故答案为:①③④.
三、解答题(共70分)
17. 已知集合,,.
(1)设,,若为真,求的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】(1)由或命题的概念求解.
(2)转化为集合间的关系列式求解.
【小问1详解】
由题意得真或真,即或,
∴的取值范围.
【小问2详解】
因为,所以,
当时,由得:,满足题意;
当时,由,有,解得;
综上:的取值范围为.
18. 等差数列的前项和为,满足.
(1)求的通项公式;
(2)设,求证数列为等比数列,并求其前项和.
【答案】(1);
(2)证明见解析,
【解析】
【分析】(1)根据题意,由等差数列的通项公式以及前项和公式,列出方程,即可得到结果;
(2)根据题意,由等比数列的定义即可证明,再结合等比数列的前项和公式,即可得到结果.
【小问1详解】
设等差数列公差为,
∴,解得,
∴.
【小问2详解】
由(1)可得,∴,
∴数列为等比数列,首项为,公比为
∴
19. 已知.
(1)求的单调递增区间;
(2)求在上的最大值和最小值.
【答案】(1);
(2),
【解析】
【分析】(1)(2)由三角恒等变换公式化简,结合三角函数性质求解,
【小问1详解】
令,得
∴的单调递增区间为.
【小问2详解】
当时,,,
∴, .
20. 设.
(1)求在上的最值;
(2)若过点可作曲线的三条切线,求的取值范围.
【答案】(1)最大值2,最小值
(2).
【解析】
【分析】(1)求导得到的单调性,然后求最值即可;
(2)分在曲线上和不在曲线上两种情况讨论,当不在曲线上时,将过点可作曲线的三条切线转化为的图像与轴有三个不同交点,然后根据的单调性列不等式即可.
【小问1详解】
由题:,,
令得,
列表得:
0 | 1 | 2 | |||
|
| ||||
0 | 2 |
∴,.
【小问2详解】
若在曲线上,则,,
当切点为时有一条,
设切点为,则,整理得,解得,所以过点可作曲线的两条切线,不合题意,舍.
若不在曲线上,则不是切点,设切点为,
∵过点可作曲线的三条切线,
∴方程有三个不等实根,
即方程有三个不等实根,
∴的图像与轴有三个不同交点,
∵,
∴在,上单调递增,上单调递减,
∴且,
∴,
∴的取值范围为.
21. 设,.
(1)当时,求的极值;
(2)若有恒成立,求的取值范围;
(3)当时,若,求证:.
【答案】(1),;
(2);
(3)证明见解析
【解析】
【分析】(1)求导得到的单调性,然后根据单调性求极值即可;
(2)将恒成立转化为,然后分和两种情况讨论最大值即可求解;
(3)将证明转化为证明,然后构造函数,求导得到,即可得证.
【小问1详解】
的定义域为
由题:,,
令,解得或,令,解得,
∴在,上单调递增,上单调递减,
,.
【小问2详解】
由题:,
欲使恒成立,只需,
当时:∵,时,,时,,
∴在上单调递增,上单调递减,
∴,得,
此时,;
当时:
若即,令,解得或,令,解得,
则在,上单调递增,上单调递减,
若即,,则在上单调递增,
若即,令,解得或,令,解得,
则在,上单调递,上单调递减,
不论上述哪种情况,均有,因此,不可能有恒成立,舍.
综上:的取值范围为.
【小问3详解】
由(2)的结论可知:当时:在上单调递增,上单调递减,
∵,
∴由图,不妨设,
欲证①,
只需证,即证,即证,即证,
即证②,
设,
,
,,,
又∵,,
,,,
在上单调递减,
,
∴②成立,
∴①成立.
【点睛】方法点睛:处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下:
①求导确定的单调性,得到的范围;
②构造函数,求导可得恒正或恒负;
③得到与的大小关系后,将置换为;
④根据与的范围,结合的单调性,可得与的大小关系,由此证得结论.
四、选做题(共10分)
22. 已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程;
(2)若直线交曲线于两点,交轴于点,求的值.
【答案】(1)曲线:,直线:
(2)
【解析】
【分析】(1)将直线l的参数方程消去参数可得直线l的普通方程,根据公式化简曲线C的极坐标方程可得曲线C的直角坐标方程;
(2)将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立,根据直线参数方程中的几何意义即可求解.
【小问1详解】
直线的参数方程(为参数),
消去参数,可将直线的参数方程转化为普通方程为,
将两边同乘,得,
根据得曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
将代入中,
可得,化简得,
设两点对应参数分别为,则,,
由题意得,且在直线上,又异号,
∴.
23. 已知函数.
(1)求解集;
(2)若函数的最小值为,且,求的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【解析】
【分析】(1)利用分区间讨论的方法,去掉绝对值符号,化简函数的表达式,进而将转化为3个不等式组求解,即得答案;
(2)结合(1)中的表达式,确定M的值,利用河西不等式即可求得答案.
【小问1详解】
,
故等价于或或,
解得,
不等式的解集为;
【小问2详解】
当时,;
当时,;
当时,,
故函数的的最小值为,即
利用柯西不等式可得,
即,当且仅当时等号成立,
结合,即当时,取得最小值4.
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