四川省蓬溪中学校2023-2024学年高三上学期第一次月考理科数学试卷

高2021级第五学期第一次月考数学试卷(理科)

一、单选题(每小题5分，共60分)

1.已知集合，则（    ）

A．         B．         C．        D．

2.下列函数中，与函数表示同一个函数的是（    ）

A． B． C． D．

3.“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

4.函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

5.已知命题 若幂函数f(x)过点，则；命题 在中，是的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

6.函数的图象大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

7.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8.若，则下列各式的值等于1的是（    ）

A． B． C． D．

9.已知函数在处有极大值，则的值为(　　)

A．1                  B．2                C．3               D．1或3

10.已知定义在上的奇函数满足：的图像是连续不断的且为偶函数.

若有，则下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11.已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（ ），则的最大值是（    ）

A．          B．          C．       D．

二、填空题(每小题5分，共20分)

13.曲线在处的切线方程为                        .

14.若，为假命题，则的取值范围为                        .

15.设，则不等式的解集为                         .

16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，则给出以下四个结论：

①的值域为；

②为偶函数；

③在上是减函数；

④若方程有且仅有3个根，则的取值范围是.

其中正确的序号为                 ．

三、解答题(共70分)

17.(12分)已知集合，，.

(1)设，，若为真，求的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

18.(12分)等差数列的前项和为，满足.

(1)求的通项公式；

(2)设，求证数列为等比数列，并求其前项和.

19.(12分)已知.

(1)求的单调递增区间；

(2)求在上的最大值和最小值.

20. (12分)设.

(1)求在上的最值；

(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围.

21. (12分)设，.

(1)当时，求的极值；

(2)若有恒成立，求的取值范围；

(3)当时，若，求证：.

四、选做题(共10分)

22. (10分)已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线和直线的直角坐标方程；

(2)若直线交曲线于两点，交轴于点，求的值．

23. (10分)已知函数．

(1)求的解集；

(2)若函数的最小值为，且，求的最小值.

参考答案：

1．C

【详解】∵，，

∴.

故选：C

2．B

【详解】函数的定义域和值域都为 .

对于A选项，函数的定义域为 ，故与不相同.

对于B选项， ，定义域、值域都为 ，对应关系为，故与相同.

对于C选项，函数的值域为 ，故与不相同.

对于D选项，函数的定义域为 ，故与不相同.

故选：B.

3．B

【详解】∵“”“”

∴“”是“”的必要不充分条件，选：B

4．C

【详解】的定义域为，

又与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，

所以，

根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：C.

5．D

【详解】命题，设

∵

∴

∴，所以是真命题.

命题，在三角形中，若，由正弦定理得，所以；

若，则，由正弦定理得.

所以是的充要条件，所以命题是假命题.

所以、、是假命题，ABC选项错误.

是真命题，D选项正确.

6．A

【详解】的定义域为，

因为，

所以在上为偶函数，可排除C、D；

又，可排除B.

故选：A.

7．C

【详解】由，得：

记

∴

∴

∴

故选：C．

8．B

【详解】∵

∴

∴，

∴

故选：B.

9．C

解：∵

∴

∴或

但当时，，从而在

∴f(x) 在x＝1处有极小值，不合题意，舍。所以，，选C

10．D

【详解】∵为偶函数

∴的图像关于对称

∵为奇函数

∴的图像关于对称

∴为周期函数，

∵有

∴在

∴由的图像的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：

∵，，

∴

故选：D.

11．A

【详解】构造函数，其中，

则，所以，函数在上单调递增，

所以，，即，

因为，则，所以，，

又因为，则，故，故.

故选：A.

12．A

【详解】由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，

且，由题：，，

设则

，令，

故在递增，在递减，.

故选：A.

13．

【详解】∵

∴

∴，

∴切线方程为即

14．

【详解】因为，为假命题，

故，为真命题，

故，解得，

即的取值范围为

故答案为：

15．

【详解】

令得：；令得：

由图可得：不等式的解集为

16．①③④

【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数，

所以当时，，则；当时，，则；

当时，，则；当时，，则；…

当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则…

∴函数

的图像如图所示：

对于①，由上面的图像可知，①是正确的.

对于②，由上面的图像可知，②是错的

对于③，由上面的图像可知，③是正确的

对于④，由上面的图像可知，

因为方程有且仅有3个根，等价于与的图像有个交点，

结合图像可知，当或

故答案为：①③④.

17．(1)；(2)或

【详解】（1）∵为真

∴真或真，即或

∴的取值范围

（2）因为，所以，

1°当时，由得：，满足题意；

2°当时，由，有解得：；

综上：的取值范围为.

18．(1)；(2)

【详解】（1）设等差数列的公差为

∴，解之得，

∴.

（2）由（1）可得

∴

∴数列为等比数列，首项为，公比为

∴

19．(1)；(2),

解：(1)

令，得

∴的单调递增区间为.

（2）当时，，

∴， ．

20.(1)；(2) .

解：(1)由题：

令得

列表得：

∴

(2)1°若在曲线上，则，此时可作两条切线，不合题意，舍.

2°若不在曲线上，则不是切点，设切点为

∵过点可作曲线的三条切线

∴方程有三个不等实根

即方程有三个不等实根

∴的图像与轴有三个不同交点

∵

∴在

∴且

∴

∴的取值范围为

21. (1)，；(2) ；(3)略

解：(1)的定义域为

由题：

∴

∴在

∴，

(2)由题：

欲使恒成立，只需

1°当时：∵

∴在

  ∴令，得

此时，

2°当时：

①若即，则在

②若即，则在

③若即，则在

不论上述哪种情况，均有，因此，不可能有恒成立，舍.

综上：的取值范围为.

证：(3)由(2)的结论可知：当时：在

∵

∴由图，不妨设

欲证①

只需证

即证

即证

即证

即证②

设

∴

∵

又∵

∴

∵

∴

∴在

∴

∴②成立

∴①成立

22．(1)曲线：，直线：；(2)

【详解】（1）直线的参数方程（为参数），

消去参数，可将直线的参数方程转化为普通方程为，

将两边同乘，得，

根据得曲线的直角坐标方程为.

（2）将代入中，

可得，化简得，

设两点对应参数分别为，则，，

由题意得，且在直线上，又异号，

∴.

23．(1)；(2)4

【详解】（1），

故等价于或或，解得，

不等式的解集为；

（2）当时，；

当时，；

当时，，

故函数的的最小值为，即

利用柯西不等式可得，

即，当且仅当时等号成立，

结合，即当时，取得最小值4.