【期中复习提升】沪教版2020 2023-2024学年高二数学 必修3 第10章 空间直线与平面（压轴题专练）

第10章 空间直线与平面（压轴题专练）

题型1：取值范围问题

1．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是           ．

2．已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是      .

3．如图，将正三角形绕旋转到三角形的位置，当二面角的大小在时，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为      ．

4．如图，三棱锥的顶点A在平面上，侧棱平面，底面BCD是以B为直角的等腰直角三角形，且平面BCD与平面平行．， E是CD中点，M是线段AE上的动点，过点M作平面ACD的垂线交平面于点N，则点N到点C的距离的取值范围为      ．

题型2：最值问题

5．在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为        .

6．已知在矩形中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是      .

7．在棱长为的正方体中，动点在平面上运动，且，三棱锥外接球球面上任意一点到点到的距离记为，当平面与平面夹角的正切值为时，则的最大值为         .

8．如图，矩形中，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为          .

题型3：动点问题

9．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断：

①平面平面；

②平面

③异面直线与所成角的取值范围是；

④三棱锥的体积不变.

其中，正确的是          （把所有正确判断的序号都填上）.

10．如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为          ．

11．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：

①直线与平面所成角为45°；

②二面角的余弦值为；

③点到平面的距离为定值；

④线段长度的取值范围是

其中所有正确结论的序号是           

12．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．

(1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由；

(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；

(3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．

题型4：轨迹问题

13．在正四棱柱中，，E 为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为     .

14．已知点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点P的轨迹长度为a；使直线平面BDC的点P的轨迹长度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为      ．（用“＜”符号连接）

15．已知点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点的轨迹长度为；使直线平面的点的轨迹长度为；使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为．则的大小关系为      ．（用“”符号连接）

题型5：折叠问题

16．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是线段AD，BC上的动点，且，MN从AB向CD滑动（与AB和CD均不重合），MN与AC交于E，在MN任一确定位置，将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面平面ABNM，则在滑动过程中，下列说法中正确的有            ．（填序号）

①的余弦值为                ②AC与MN所成的角的余弦最小值为

③AC与平面ABNM所成的角逐渐变小    ④二面角的最小值为

17．如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

18．如下图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角的大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

19．如图，在平行四边形ABCD中，，点E，F分别为边BC和AD上的定点，，，，将，分别沿着AE，CF向平行四边形所在平面的同一侧翻折至与处，连接，若，则（    ）

A． B． C． D．

20．在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．

(1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；

(2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．

题型6：存在性问题

21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．

(1)求证：平面；

(2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；

(3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．

22．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：

①对于任意给定的点，存在点，使得；

②对于任意给定的点，存在点，使得；

③对于任意给定的点，存在点，使得；

④对于任意给定的点，存在点，使得．

其中正确的结论是（    ）

A．① B．②③ C．①④ D．②④

23．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，，其中，在下列说法中正确的是（    ）

①存在，使得

②存在，使得平面

③当时，取最小值

④当时，存在，使得

A．①② B．②③ C．③④ D．②④