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北师大版数学九年级上册期中精品模拟练习（含详细解析）
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这是一份北师大版数学九年级上册期中精品模拟练习（含详细解析），共69页。试卷主要包含了如图，菱形ABCD中，AC＝8等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共9小题）
1．如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）
A．20 B．40 C．28 D．24
2．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
4．如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
6．若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．520（1﹣x）2＝312 B．520（1+x）2＝312
C．520（1﹣2x）2＝312 D．520（1﹣x2）＝312
8．如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
9．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
二．填空题（共17小题）
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若AC＝4，∠BAC＝30°，那么AE＝ ．
14．方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件为 ．
15．某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
16．关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有两个相等的实数根，则m＝ ．
17．写一个你喜欢的实数m的值 ，使关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．
18．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
19．某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是 ．
20．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．
21．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 ．
22．若＝，则＝ ．
23．若，则的值为 ．
24．如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
25．如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF＝1：2，则S△BCF：S▱ABCD＝ ．
26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，那么AC＝ 米．
三．解答题（共34小题）
27．如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
28．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
29．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
30．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
31．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠1＝∠2．求证：▱ABCD是矩形．
32．如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于M．
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）当BE＝1时，求OB•OM的值．
33．已知矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．分别过点D、C作AC、BD的平行线交于点E．
（1）求证：四边形OCED为菱形．
（2）若AB＝3，BC＝4，求菱形OCED的面积．
34．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：▱ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．
35．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的长．
36．如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．
（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．
37．如图，已知四边形ABCD为矩形，点E，F分别为AB、CD中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）在AF上取点P，连接PE、PC，若CD＝10，AD＝12，求△PEC的面积．
38．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
39．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
40．已知，如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAG．
（2）若FG＝1，DG＝2，求AB的长．
41．如图，在▱ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
42．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
43．如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．
44．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
45．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．
46．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
47．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
48．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
49．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
50．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
51．如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．
求证：△ABC∽△DEF．
52．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
53．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）FG•BE＝CE•AE．
54．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长．
55．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
56．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，过点E作EF⊥BC，交BC于点F，过点O作OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AB＝8，EF＝3，求CG的长．
57．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
58．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的长．
59．如图，在△ABC中AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求AD的长．
60．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）
A．20 B．40 C．28 D．24
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．
【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
2．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由角平分线的定义，可得∠EAD＝∠DAF＝∠ADE，进而可得AE＝ED，由平行四边形的性质可得答案．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE＝16．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
4．如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】结合本题，作NF⊥BC于F，易知：△NMF是直角三角形，△ECB是直角三角形，BC＝MF，CE＝MN，即△NMF≌△CEB；接下来根据全等三角形对应角相等即可解答本题．
【解答】解：作NF⊥BC于F，
又四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠NFM＝90°，AB＝CD，
∴四边形ABFN是矩形，
∴FN＝BC＝AB．
在Rt△BEC和Rt△FMN中，
CE＝MN，BC＝FN，
∴Rt△BEC≌Rt△FMN（HL），
∴∠MNF＝∠MCE＝40°，
∴∠ANM＝90°﹣∠MNF＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质与三角形全等的判定是解答关键．
5．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物．则经过一轮感染，一只动物感染给了x只动物，这（x+1）只动物又感染给了x（1+x）只动物．等量关系：经过两轮感染后就会有363只动物被感染．
【解答】解：每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，列方程得：3（1+x）2＝363，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少只动物被感染是解决此题的关键．
6．若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的一般形式．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先找出方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再得出方程1+2m+（﹣3）＝0，求出m，再求出方程的解即可．
【解答】解：方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2m，﹣3，
∵方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，
∴1+2m+（﹣3）＝0，
解得：m＝1，
即方程为x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式和解一元二次方程，能求出m的值是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．520（1﹣x）2＝312 B．520（1+x）2＝312
C．520（1﹣2x）2＝312 D．520（1﹣x2）＝312
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
520（1﹣x）2＝312，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
8．如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
【考点】相似三角形的应用；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】设正方形的边长为xcm，表示出AK的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，则AK＝（120﹣x）cm，
∵四边形HEFG是正方形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AK的长度，然后列出比例式是解题的关键．
9．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
【考点】比例线段．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
二．填空题（共17小题）
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形的性质得出AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为 15 ．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】15．
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：过点P作直线PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×5＝7.5，
∴S阴＝7.5+7.5＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．
12．如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 6 ．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】6．
【分析】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题．
【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝3，
∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若AC＝4，∠BAC＝30°，那么AE＝ ．
【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝2，由直角三角形的性质可得AE＝2OE，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝2，
∵∠BAC＝30°，OE⊥AC，
∴AE＝2OE，
∵AE2﹣OE2＝AO2＝4，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
14．方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件为 m≠1 ．
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
【解答】解：方程整理得：（m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0，
由题意得：m﹣1≠0，即m≠1，
故答案为：m≠1
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
15．某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程 400（1+x）2＝484 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用增长率模型即可列出方程．
【解答】解：
∵2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，
∴设年平均增长率为x，则可列出方程为400（1+x）2＝484，
故答案为：400（1+x）2＝484．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即a（1±x）2＝b．
16．关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有两个相等的实数根，则m＝ ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，进而建立方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m，即x2﹣4x+1+2m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即16﹣4（1+2m）＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
17．写一个你喜欢的实数m的值 0 ，使关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】0．
【分析】根据一元二次方程根的情况可得Δ＝1﹣4×2m＞0，即可求出m的取值范围，进一步给m赋值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4×2m＞0，
解得m＜，
可取m＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 10 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19．某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】10%．
【分析】设平均每月利润的增长率是x，利用5月份的利润＝3月份的利润×（1+平均每月利润的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设平均每月利润的增长率是x，
依题意得：200（1+x）2＝242，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
∴平均每月利润的增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝．
21．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】画树状图，共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被3整除的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被3整除的结果有12种，
∴两位数能被3整除的概率为 ＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．若＝，则＝ ．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
23．若，则的值为 ．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】依据比例的性质，即可得到2a＝3b，进而得出的值．
【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝1.5b，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
24．如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】作DH∥AC交BF于H，如图，先证明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，
∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵，DH∥CF，
∴＝＝＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF＝1：2，则S△BCF：S▱ABCD＝ 1：6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】1：6．
【分析】设CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，则CD＝3a．利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题．
【解答】解：设CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，则CD＝3a．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3a，AB∥CF，
∴△CFE∽△ABE，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝9S，
∴S△BCE＝3S，
∴S△BCF＝4S，
∴S平行四边形ABCD＝2•S△ABC＝24S，
∴S△BCF：S▱ABCD＝4：24＝1：6，
故答案为1：6．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，那么AC＝ 7.8 米．
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【答案】7.8．
【分析】根据平行线的判定定理得到BD∥AC，于是得到△ACE∽△BDE，相似三角形的性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴＝，
∵AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，
∴＝，
∴AC＝7.8（米），
故答案为：7.8．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三．解答题（共34小题）
27．如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
【考点】菱形的性质；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【答案】（1）50；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据锐角三角函数可以求得BC边上的高，然后根据菱形的面积＝底×高，即可求得相应的面积；
（2）连接EC，然后可以得到AE＝EC，再根据四边形内角和，可以求得∠ECF＝∠EFC，然后通过等量代换，即可证明结论成立．
【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×＝5，
∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5＝50，
即菱形ABCD的面积是50；
（2）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．
【点评】本题考查菱形的性质、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
28．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】证明见解析过程．
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
29．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先由矩形的对角线相等得出AC＝DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB＝CE，即可得出AC＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB＝CE，
∴AC＝CE．
【点评】本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键．
30．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF
∵，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD
∵，
∴AO＝DO
∴
∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，
∴
∴矩形ABCD的面积＝．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
31．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠1＝∠2．求证：▱ABCD是矩形．
【考点】矩形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠1＝∠2，易证得AC＝BD，继而证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
即AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定、等腰三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意证得AC＝BD是关键．
32．如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于M．
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）当BE＝1时，求OB•OM的值．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析过程；
（2）5．
【分析】（1）由“ASA”可证△BOE≌△COF；
（2）通过证明△EOM∽△BOE，可得OE2＝OB•OM，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴∠OEF＝45°，
∴∠ABO＝∠OEF，
又∵∠BOE＝∠BOE，
∴△EOM∽△BOE，
∴，
∴OE2＝OB•OM，
如图，过点O作OH⊥AB于H，
∵正方形ABCD的周长为16，
∴AB＝4，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OH⊥AB，
∴AH＝BH＝2＝OH，
∵BE＝1，
∴HE＝1，
∴OE2＝OH2+HE2＝5，
∴OB•OM＝5．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
33．已知矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．分别过点D、C作AC、BD的平行线交于点E．
（1）求证：四边形OCED为菱形．
（2）若AB＝3，BC＝4，求菱形OCED的面积．
【考点】菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半，问题得解．
【解答】（1）结论：四边形OCED的形状是菱形，
证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC，
∴四边形CODE是菱形；
（2）解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积＝3×4＝12，
∵S△ODC＝S矩形ABCD＝3，
∴四边形OCED的面积＝2S△ODC＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．
34．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：▱ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可求OA＝OB＝DO，∠AOB＝60°，可得∠BAD＝90°，即结论可得
（2）根据勾股定理可求AD的长，即可求▱ABCD的面积．
【解答】解（1）∵△AOB为等边三角形∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD，
∴OA＝OD
∴∠OAD＝30°，
∴∠BAD＝30°+60°＝90°
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝4，BC＝AB＝4
∴▱ABCD的面积＝4×4＝16
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
35．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先证明四边形ABDF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）在Rt△AFC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ADF＝∠BAD，
∴AB∥DF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∵BD垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等边三角形，
∴DA＝DF＝DC，
∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，
∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，
∵∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，
∴C，D，F三点共线，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝CD＝5，
∵∠FAC＝90°，
∴AC＝＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．
36．如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．
（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用△AEF≌△DEB得到AF＝DB，所以AF＝DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出即可．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）四边形ADCF为矩形时AB＝AC；
理由：∵四边形ADCF为矩形，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴AB＝AC，
∴四边形ADCF为矩形时AB＝AC．
【点评】此题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定等知识，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的性质是解题关键．
37．如图，已知四边形ABCD为矩形，点E，F分别为AB、CD中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）在AF上取点P，连接PE、PC，若CD＝10，AD＝12，求△PEC的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF＝CE；
（2）由题意可证四边形AECF是平行四边形，即可求△PEC的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，
∵点E，F分别为AB、CD中点，
∴BE＝AE＝AB，DF＝CF＝CD
∴AE＝BE＝DF＝CF，且∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，
∴△ADF≌△CBE（SAS）
∴AF＝CE，
（2）∵AE＝CF，AB∥CD
∴四边形AECF是平行四边形，
∴S△PEC＝S▱AECF，
∵CD＝10，AD＝12
∴CF＝5
∴S△PEC＝S▱AECF＝×5×12＝30
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
38．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；
（2）由直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，
∵AD∥BC，
∴∠CEG＝∠G＝30°，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴∠EAG＝90°，且∠G＝30°，
∴EG＝2AE＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
39．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）3．
【分析】（1）证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC＝DE，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到∠ABD＝90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴▱BECD是矩形；
（2）如图，
∵CD＝3，
∴AB＝BE＝3．
∵AD＝6，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∴CE＝3，
∴AC＝＝＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
40．已知，如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAG．
（2）若FG＝1，DG＝2，求AB的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”可证△ABF≌△DAG；
（2）由全等三角形的性质可得AF＝DG＝2，可得AG＝3，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAG＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠BFA＝∠AGD＝90°，∠BAG+∠ABF＝90°，
∴∠DAG＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAG（AAS）；
（2）∵△ABF≌△DAG，
∴AF＝DG＝2，
∵FG＝1，
∴AG＝AF+FG＝3，
∴BF＝AG＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
41．如图，在▱ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证△ABE≌△ADF（ASA），得AB＝AD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠BAE＝∠DAF，∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，再由等腰三角形的性质得∠B＝∠AEB，设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，然后由平行线的性质得∠B+∠BAD＝180°，即x+3（180°﹣2x）＝180°，解得x＝72°即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵△ABE≌△AEF，
∴∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+3（180°﹣2x）＝180°，
解得：x＝72°，
即∠B的度数为72°，
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
42．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝DC＝12，
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠A＝90°，
∴DF＝，
在Rt△DOF中，OF＝，
∴菱形BFDE的面积＝．
【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
43．如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】求线段的长度问题，题中可先设其长度为k，然后利用三角形相似建立平衡关系，再用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，AB＝CD，
∴∠AFE+∠AEF＝90°（2分）
∵F在AD上，∠EFC＝90°，
∴∠AFE+∠DFC＝90°，
∴∠AEF＝∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，（3分）
∴．（4分）
∵BE：EA＝5：3
设BE＝5k，AE＝3k
∴AB＝DC＝8k，
由勾股定理得：AF＝4k，∴
∴DF＝6k
∴BC＝AD＝10k（5分）
在△EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2＝EC2
∵CE＝15，BE＝5k，BC＝10k
∴
∴k＝3（6分）
∴AB＝8k＝24，BC＝10k＝30（7分）
【点评】掌握矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形．
44．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接DE，利用矩形的性质，则可证得Rt△ABE≌Rt△DFA，进一步可证得Rt△DFE≌Rt△DCE，则可证得结论；
（2）设AD＝x，则AF＝x﹣1，在△AFD中，利用勾股定理，可求得AD，可求得矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连结DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝CD＝DF，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．
∴CE＝FE．
（2）∵△DEF≌△DEC，
∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，
设AD＝x，
则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
∴x＝13，
即AD＝13，
∴S矩形ABCD＝AD•DC＝65．
【点评】本题主要考查矩形的性质，证得三角形全等是解题的关键．
45．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．
46．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【考点】正方形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）45；
（3）12．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；
（3）根据梯形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．
47．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）10%；
（2）13.31万个．
【分析】（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份的产量，列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份产量达到12.1万个，即可求出预计4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据题意，得
10（1+x）2＝12.1．
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：“冰墩墩”产量的月平均增长率为10%；
（2）12.1×（1+0.1）＝13.31（万个）．
答：预计4月份的产量为13.31万个．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
48．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】每件童装降x元，每天多销售3x件，每件利润为（40﹣x）元，再根据平均每天销售童装利润为1000元，即销量×每件的利润＝1000元，即可列出方程．
【解答】解：每降价2元，多销售6件，
设降价x元，则多销售3x件；
降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元．
则有（30+3x）（40﹣x）＝1000，
整理得3x2﹣90x﹣200＝0．
【点评】理解：只要降价2元，就会多销售6件；那么，降价x元，则多销售3x件．
49．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 200 人，其中参加围棋社的有 40 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）200，40；
（2）480人；
（3）．
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【解答】解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200×＝480（人）；
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为＝．
【点评】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
50．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 99 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）120，99；
（2）图形见解析；
（3）．
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×＝18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：
（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
51．如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．
求证：△ABC∽△DEF．
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据BF＝3，CF＝5，得BC＝8，根据勾股定理求出EF＝20，可得，根据相似三角形的判定即可得到△ABC∽△DEF．
【解答】证明：∵BF＝3，CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵DE＝15，DF＝25．∠E＝90°，
∴EF＝＝20，
∴，，
∴，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
52．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
【考点】相似三角形的判定；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．
【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F，
∴DF＝DE＝5；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两个角相等的三角形是相似三角形，此题难度不大．
53．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）FG•BE＝CE•AE．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知首先证明△ADF≌△EDC，再利用AF＝CE，AF∥BC得出即可；
（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，进而得出比例式，再利用平行四边形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠FDA＝∠CDE，D是AC的中点，
∴△ADF≌△EDC，
∴AF＝CE，
∵AF∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴∠AFC＝∠AEC，AF＝CE，
∵AF∥BC，
∴∠FAB＝∠ABE，
∴△AFG∽△BEA，
∴，
∴FG•BE＝AF•AE，
∴FG•BE＝CE•AE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键．
54．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由四边形ABCD是菱形，OB＝2，根据菱形的性质可得BD＝4，再根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC＝2，再根据勾股定理求得BC，进而利用面积即可求得AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴BD＝2OB＝4．
∵，
∴AC＝2，
∴OC＝1，
∴．
∵S菱形ABCD＝BC⋅AE＝4，
∴．
【点评】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC＝2是解题的关键．
55．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）由菱形的性质可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，则可求得OD的长，则可求得答案．
【解答】（1）证明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形CODE是矩形；
（2）解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴四边形CODE的周长＝2×（3+4）＝14．
【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
56．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，过点E作EF⊥BC，交BC于点F，过点O作OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AB＝8，EF＝3，求CG的长．
【考点】矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据菱形的性质及中位线的定理可知四边形OEFG是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答；
（2）根据菱形的性质及直角三角形的性质可知，再根据矩形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，AB＝BC＝8，
∵E是AB的中点，
∴，
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝4，
∵BE＝4，EF＝3，
∴，
∴；
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
57．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；（2）8．
【分析】（1）根据点D和E分别是AB和AC的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到DE∥BC，且BC＝2DE，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形BCFE是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论；
（2）根据∠BEF的大小，可判定△EBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作EG⊥BC于点G，运用勾股定理，即可得到EG的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且BC＝2DE．
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC．
∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC，
∴∠EBC＝60°．
∴△EBC是等边三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
过点E作EG⊥BC于点G．
∴BG＝2．
∴EG＝＝2．
∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×2＝8．
【点评】本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质．
58．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的长．
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见详解；
（2）．
【分析】（1）首先通过角平分线的定义和平行四边形的性质，平行线的性质得出∠BAC＝∠ACB，则有AB＝BC，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）首先根据题意和菱形的性质证明四边形OCPD是矩形，然后利用矩形的性质和勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴．
【点评】本题主要考查四边形，掌握矩形，菱形的判定及性质和勾股定理是解题的关键．
59．如图，在△ABC中AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求AD的长．
【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【分析】（1）先根据四边形ABDE是平行四边形和D为BC的中点，判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）根据∠AOE＝60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长，最后利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE
∵D为BC中点，
∴DC＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴平行四边形ADCE是是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO＝CO＝DO＝EO，DC＝AE，
∵∠AOE＝60°，AE＝4，
∴△AOE是等边三角形，
∴AO＝EO＝AE＝4，AC＝8，
∵∠ADC＝90°，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
60．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC＝4，则OC＝AC＝2，根据勾股定理知OD＝＝2，结合矩形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴OD＝＝2，
∴矩形OCED的面积是2×2＝4．
【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
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一．选择题（共9小题）
1．如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）
A．20 B．40 C．28 D．24
2．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
4．如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
6．若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．520（1﹣x）2＝312 B．520（1+x）2＝312
C．520（1﹣2x）2＝312 D．520（1﹣x2）＝312
8．如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
9．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
二．填空题（共17小题）
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若AC＝4，∠BAC＝30°，那么AE＝ ．
14．方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件为 ．
15．某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
16．关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有两个相等的实数根，则m＝ ．
17．写一个你喜欢的实数m的值 ，使关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．
18．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
19．某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是 ．
20．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．
21．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 ．
22．若＝，则＝ ．
23．若，则的值为 ．
24．如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
25．如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF＝1：2，则S△BCF：S▱ABCD＝ ．
26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，那么AC＝ 米．
三．解答题（共34小题）
27．如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
28．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
29．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
30．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
31．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠1＝∠2．求证：▱ABCD是矩形．
32．如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于M．
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）当BE＝1时，求OB•OM的值．
33．已知矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．分别过点D、C作AC、BD的平行线交于点E．
（1）求证：四边形OCED为菱形．
（2）若AB＝3，BC＝4，求菱形OCED的面积．
34．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：▱ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．
35．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的长．
36．如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．
（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．
37．如图，已知四边形ABCD为矩形，点E，F分别为AB、CD中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）在AF上取点P，连接PE、PC，若CD＝10，AD＝12，求△PEC的面积．
38．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
39．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
40．已知，如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAG．
（2）若FG＝1，DG＝2，求AB的长．
41．如图，在▱ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
42．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
43．如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．
44．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
45．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．
46．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
47．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
48．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
49．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
50．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
51．如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．
求证：△ABC∽△DEF．
52．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
53．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）FG•BE＝CE•AE．
54．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长．
55．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
56．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，过点E作EF⊥BC，交BC于点F，过点O作OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AB＝8，EF＝3，求CG的长．
57．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
58．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的长．
59．如图，在△ABC中AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求AD的长．
60．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）
A．20 B．40 C．28 D．24
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【答案】D
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．
【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
2．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由角平分线的定义，可得∠EAD＝∠DAF＝∠ADE，进而可得AE＝ED，由平行四边形的性质可得答案．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE＝16．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
4．如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】结合本题，作NF⊥BC于F，易知：△NMF是直角三角形，△ECB是直角三角形，BC＝MF，CE＝MN，即△NMF≌△CEB；接下来根据全等三角形对应角相等即可解答本题．
【解答】解：作NF⊥BC于F，
又四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠NFM＝90°，AB＝CD，
∴四边形ABFN是矩形，
∴FN＝BC＝AB．
在Rt△BEC和Rt△FMN中，
CE＝MN，BC＝FN，
∴Rt△BEC≌Rt△FMN（HL），
∴∠MNF＝∠MCE＝40°，
∴∠ANM＝90°﹣∠MNF＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质与三角形全等的判定是解答关键．
5．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物．则经过一轮感染，一只动物感染给了x只动物，这（x+1）只动物又感染给了x（1+x）只动物．等量关系：经过两轮感染后就会有363只动物被感染．
【解答】解：每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，列方程得：3（1+x）2＝363，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少只动物被感染是解决此题的关键．
6．若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（ ）
A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的一般形式．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先找出方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再得出方程1+2m+（﹣3）＝0，求出m，再求出方程的解即可．
【解答】解：方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2m，﹣3，
∵方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，
∴1+2m+（﹣3）＝0，
解得：m＝1，
即方程为x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式和解一元二次方程，能求出m的值是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．520（1﹣x）2＝312 B．520（1+x）2＝312
C．520（1﹣2x）2＝312 D．520（1﹣x2）＝312
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
520（1﹣x）2＝312，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
8．如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
【考点】相似三角形的应用；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】设正方形的边长为xcm，表示出AK的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，则AK＝（120﹣x）cm，
∵四边形HEFG是正方形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AK的长度，然后列出比例式是解题的关键．
9．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
【考点】比例线段．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
二．填空题（共17小题）
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形的性质得出AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为 15 ．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】15．
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：过点P作直线PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×5＝7.5，
∴S阴＝7.5+7.5＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．
12．如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 6 ．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【答案】6．
【分析】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题．
【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝3，
∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若AC＝4，∠BAC＝30°，那么AE＝ ．
【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝2，由直角三角形的性质可得AE＝2OE，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝2，
∵∠BAC＝30°，OE⊥AC，
∴AE＝2OE，
∵AE2﹣OE2＝AO2＝4，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
14．方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件为 m≠1 ．
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
【解答】解：方程整理得：（m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0，
由题意得：m﹣1≠0，即m≠1，
故答案为：m≠1
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
15．某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程 400（1+x）2＝484 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用增长率模型即可列出方程．
【解答】解：
∵2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，
∴设年平均增长率为x，则可列出方程为400（1+x）2＝484，
故答案为：400（1+x）2＝484．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即a（1±x）2＝b．
16．关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有两个相等的实数根，则m＝ ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，进而建立方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m，即x2﹣4x+1+2m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即16﹣4（1+2m）＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
17．写一个你喜欢的实数m的值 0 ，使关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【答案】0．
【分析】根据一元二次方程根的情况可得Δ＝1﹣4×2m＞0，即可求出m的取值范围，进一步给m赋值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4×2m＞0，
解得m＜，
可取m＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 10 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19．某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】10%．
【分析】设平均每月利润的增长率是x，利用5月份的利润＝3月份的利润×（1+平均每月利润的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设平均每月利润的增长率是x，
依题意得：200（1+x）2＝242，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
∴平均每月利润的增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝．
21．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】画树状图，共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被3整除的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被3整除的结果有12种，
∴两位数能被3整除的概率为 ＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．若＝，则＝ ．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
23．若，则的值为 ．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】依据比例的性质，即可得到2a＝3b，进而得出的值．
【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝1.5b，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
24．如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】作DH∥AC交BF于H，如图，先证明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，
∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵，DH∥CF，
∴＝＝＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF＝1：2，则S△BCF：S▱ABCD＝ 1：6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】1：6．
【分析】设CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，则CD＝3a．利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题．
【解答】解：设CF＝a，DF＝2a，S△CEF＝S，则CD＝3a．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3a，AB∥CF，
∴△CFE∽△ABE，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝9S，
∴S△BCE＝3S，
∴S△BCF＝4S，
∴S平行四边形ABCD＝2•S△ABC＝24S，
∴S△BCF：S▱ABCD＝4：24＝1：6，
故答案为1：6．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，那么AC＝ 7.8 米．
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【答案】7.8．
【分析】根据平行线的判定定理得到BD∥AC，于是得到△ACE∽△BDE，相似三角形的性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴＝，
∵AE＝1.3米，BD＝1.2米、BE＝0.2米，
∴＝，
∴AC＝7.8（米），
故答案为：7.8．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三．解答题（共34小题）
27．如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
【考点】菱形的性质；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【答案】（1）50；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据锐角三角函数可以求得BC边上的高，然后根据菱形的面积＝底×高，即可求得相应的面积；
（2）连接EC，然后可以得到AE＝EC，再根据四边形内角和，可以求得∠ECF＝∠EFC，然后通过等量代换，即可证明结论成立．
【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×＝5，
∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5＝50，
即菱形ABCD的面积是50；
（2）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．
【点评】本题考查菱形的性质、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
28．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】证明见解析过程．
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
29．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先由矩形的对角线相等得出AC＝DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB＝CE，即可得出AC＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB＝CE，
∴AC＝CE．
【点评】本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键．
30．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF
∵，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD
∵，
∴AO＝DO
∴
∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，
∴
∴矩形ABCD的面积＝．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
31．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠1＝∠2．求证：▱ABCD是矩形．
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【答案】见试题解答内容
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠1＝∠2，易证得AC＝BD，继而证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
即AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定、等腰三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意证得AC＝BD是关键．
32．如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于M．
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）当BE＝1时，求OB•OM的值．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析过程；
（2）5．
【分析】（1）由“ASA”可证△BOE≌△COF；
（2）通过证明△EOM∽△BOE，可得OE2＝OB•OM，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴∠OEF＝45°，
∴∠ABO＝∠OEF，
又∵∠BOE＝∠BOE，
∴△EOM∽△BOE，
∴，
∴OE2＝OB•OM，
如图，过点O作OH⊥AB于H，
∵正方形ABCD的周长为16，
∴AB＝4，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OH⊥AB，
∴AH＝BH＝2＝OH，
∵BE＝1，
∴HE＝1，
∴OE2＝OH2+HE2＝5，
∴OB•OM＝5．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
33．已知矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．分别过点D、C作AC、BD的平行线交于点E．
（1）求证：四边形OCED为菱形．
（2）若AB＝3，BC＝4，求菱形OCED的面积．
【考点】菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半，问题得解．
【解答】（1）结论：四边形OCED的形状是菱形，
证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC，
∴四边形CODE是菱形；
（2）解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积＝3×4＝12，
∵S△ODC＝S矩形ABCD＝3，
∴四边形OCED的面积＝2S△ODC＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．
34．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：▱ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可求OA＝OB＝DO，∠AOB＝60°，可得∠BAD＝90°，即结论可得
（2）根据勾股定理可求AD的长，即可求▱ABCD的面积．
【解答】解（1）∵△AOB为等边三角形∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD，
∴OA＝OD
∴∠OAD＝30°，
∴∠BAD＝30°+60°＝90°
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝4，BC＝AB＝4
∴▱ABCD的面积＝4×4＝16
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
35．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先证明四边形ABDF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）在Rt△AFC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ADF＝∠BAD，
∴AB∥DF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∵BD垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等边三角形，
∴DA＝DF＝DC，
∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，
∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，
∵∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，
∴C，D，F三点共线，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝CD＝5，
∵∠FAC＝90°，
∴AC＝＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．
36．如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．
（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用△AEF≌△DEB得到AF＝DB，所以AF＝DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出即可．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）四边形ADCF为矩形时AB＝AC；
理由：∵四边形ADCF为矩形，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴AB＝AC，
∴四边形ADCF为矩形时AB＝AC．
【点评】此题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定等知识，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的性质是解题关键．
37．如图，已知四边形ABCD为矩形，点E，F分别为AB、CD中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）在AF上取点P，连接PE、PC，若CD＝10，AD＝12，求△PEC的面积．
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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF＝CE；
（2）由题意可证四边形AECF是平行四边形，即可求△PEC的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，
∵点E，F分别为AB、CD中点，
∴BE＝AE＝AB，DF＝CF＝CD
∴AE＝BE＝DF＝CF，且∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，
∴△ADF≌△CBE（SAS）
∴AF＝CE，
（2）∵AE＝CF，AB∥CD
∴四边形AECF是平行四边形，
∴S△PEC＝S▱AECF，
∵CD＝10，AD＝12
∴CF＝5
∴S△PEC＝S▱AECF＝×5×12＝30
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
38．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；
（2）由直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，
∵AD∥BC，
∴∠CEG＝∠G＝30°，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴∠EAG＝90°，且∠G＝30°，
∴EG＝2AE＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
39．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
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【答案】（1）证明见解析过程；
（2）3．
【分析】（1）证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC＝DE，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到∠ABD＝90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴▱BECD是矩形；
（2）如图，
∵CD＝3，
∴AB＝BE＝3．
∵AD＝6，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∴CE＝3，
∴AC＝＝＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
40．已知，如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAG．
（2）若FG＝1，DG＝2，求AB的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”可证△ABF≌△DAG；
（2）由全等三角形的性质可得AF＝DG＝2，可得AG＝3，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAG＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠BFA＝∠AGD＝90°，∠BAG+∠ABF＝90°，
∴∠DAG＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAG（AAS）；
（2）∵△ABF≌△DAG，
∴AF＝DG＝2，
∵FG＝1，
∴AG＝AF+FG＝3，
∴BF＝AG＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
41．如图，在▱ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证△ABE≌△ADF（ASA），得AB＝AD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠BAE＝∠DAF，∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，再由等腰三角形的性质得∠B＝∠AEB，设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，然后由平行线的性质得∠B+∠BAD＝180°，即x+3（180°﹣2x）＝180°，解得x＝72°即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵△ABE≌△AEF，
∴∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+3（180°﹣2x）＝180°，
解得：x＝72°，
即∠B的度数为72°，
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
42．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝DC＝12，
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠A＝90°，
∴DF＝，
在Rt△DOF中，OF＝，
∴菱形BFDE的面积＝．
【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
43．如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】求线段的长度问题，题中可先设其长度为k，然后利用三角形相似建立平衡关系，再用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，AB＝CD，
∴∠AFE+∠AEF＝90°（2分）
∵F在AD上，∠EFC＝90°，
∴∠AFE+∠DFC＝90°，
∴∠AEF＝∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，（3分）
∴．（4分）
∵BE：EA＝5：3
设BE＝5k，AE＝3k
∴AB＝DC＝8k，
由勾股定理得：AF＝4k，∴
∴DF＝6k
∴BC＝AD＝10k（5分）
在△EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2＝EC2
∵CE＝15，BE＝5k，BC＝10k
∴
∴k＝3（6分）
∴AB＝8k＝24，BC＝10k＝30（7分）
【点评】掌握矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形．
44．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接DE，利用矩形的性质，则可证得Rt△ABE≌Rt△DFA，进一步可证得Rt△DFE≌Rt△DCE，则可证得结论；
（2）设AD＝x，则AF＝x﹣1，在△AFD中，利用勾股定理，可求得AD，可求得矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连结DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝CD＝DF，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．
∴CE＝FE．
（2）∵△DEF≌△DEC，
∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，
设AD＝x，
则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
∴x＝13，
即AD＝13，
∴S矩形ABCD＝AD•DC＝65．
【点评】本题主要考查矩形的性质，证得三角形全等是解题的关键．
45．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．
46．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【考点】正方形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）45；
（3）12．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；
（3）根据梯形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．
47．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）10%；
（2）13.31万个．
【分析】（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份的产量，列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份产量达到12.1万个，即可求出预计4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据题意，得
10（1+x）2＝12.1．
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：“冰墩墩”产量的月平均增长率为10%；
（2）12.1×（1+0.1）＝13.31（万个）．
答：预计4月份的产量为13.31万个．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
48．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】每件童装降x元，每天多销售3x件，每件利润为（40﹣x）元，再根据平均每天销售童装利润为1000元，即销量×每件的利润＝1000元，即可列出方程．
【解答】解：每降价2元，多销售6件，
设降价x元，则多销售3x件；
降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元．
则有（30+3x）（40﹣x）＝1000，
整理得3x2﹣90x﹣200＝0．
【点评】理解：只要降价2元，就会多销售6件；那么，降价x元，则多销售3x件．
49．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 200 人，其中参加围棋社的有 40 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）200，40；
（2）480人；
（3）．
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【解答】解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200×＝480（人）；
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为＝．
【点评】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
50．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 99 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【答案】（1）120，99；
（2）图形见解析；
（3）．
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×＝18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：
（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
51．如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．
求证：△ABC∽△DEF．
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据BF＝3，CF＝5，得BC＝8，根据勾股定理求出EF＝20，可得，根据相似三角形的判定即可得到△ABC∽△DEF．
【解答】证明：∵BF＝3，CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵DE＝15，DF＝25．∠E＝90°，
∴EF＝＝20，
∴，，
∴，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
52．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
【考点】相似三角形的判定；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．
【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F，
∴DF＝DE＝5；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两个角相等的三角形是相似三角形，此题难度不大．
53．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）FG•BE＝CE•AE．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知首先证明△ADF≌△EDC，再利用AF＝CE，AF∥BC得出即可；
（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，进而得出比例式，再利用平行四边形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠FDA＝∠CDE，D是AC的中点，
∴△ADF≌△EDC，
∴AF＝CE，
∵AF∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴∠AFC＝∠AEC，AF＝CE，
∵AF∥BC，
∴∠FAB＝∠ABE，
∴△AFG∽△BEA，
∴，
∴FG•BE＝AF•AE，
∴FG•BE＝CE•AE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键．
54．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】由四边形ABCD是菱形，OB＝2，根据菱形的性质可得BD＝4，再根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC＝2，再根据勾股定理求得BC，进而利用面积即可求得AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴BD＝2OB＝4．
∵，
∴AC＝2，
∴OC＝1，
∴．
∵S菱形ABCD＝BC⋅AE＝4，
∴．
【点评】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC＝2是解题的关键．
55．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）由菱形的性质可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，则可求得OD的长，则可求得答案．
【解答】（1）证明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形CODE是矩形；
（2）解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴四边形CODE的周长＝2×（3+4）＝14．
【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
56．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，过点E作EF⊥BC，交BC于点F，过点O作OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AB＝8，EF＝3，求CG的长．
【考点】矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据菱形的性质及中位线的定理可知四边形OEFG是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答；
（2）根据菱形的性质及直角三角形的性质可知，再根据矩形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，AB＝BC＝8，
∵E是AB的中点，
∴，
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝4，
∵BE＝4，EF＝3，
∴，
∴；
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
57．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【答案】（1）见解析；（2）8．
【分析】（1）根据点D和E分别是AB和AC的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到DE∥BC，且BC＝2DE，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形BCFE是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论；
（2）根据∠BEF的大小，可判定△EBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作EG⊥BC于点G，运用勾股定理，即可得到EG的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且BC＝2DE．
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC．
∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC，
∴∠EBC＝60°．
∴△EBC是等边三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
过点E作EG⊥BC于点G．
∴BG＝2．
∴EG＝＝2．
∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×2＝8．
【点评】本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质．
58．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的长．
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）见详解；
（2）．
【分析】（1）首先通过角平分线的定义和平行四边形的性质，平行线的性质得出∠BAC＝∠ACB，则有AB＝BC，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）首先根据题意和菱形的性质证明四边形OCPD是矩形，然后利用矩形的性质和勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴．
【点评】本题主要考查四边形，掌握矩形，菱形的判定及性质和勾股定理是解题的关键．
59．如图，在△ABC中AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求AD的长．
【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【分析】（1）先根据四边形ABDE是平行四边形和D为BC的中点，判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）根据∠AOE＝60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长，最后利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE
∵D为BC中点，
∴DC＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴平行四边形ADCE是是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO＝CO＝DO＝EO，DC＝AE，
∵∠AOE＝60°，AE＝4，
∴△AOE是等边三角形，
∴AO＝EO＝AE＝4，AC＝8，
∵∠ADC＝90°，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
60．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC＝4，则OC＝AC＝2，根据勾股定理知OD＝＝2，结合矩形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴OD＝＝2，
∴矩形OCED的面积是2×2＝4．
【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
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