四川省宜宾市叙州区第二中学2023届高三数学（理）三诊模拟试题（Word版附解析）

叙州区二中高2020级高三三诊模拟考试

数学（理工类）

本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，集合，则（    ）

A. （-2，2） B. （-1，2） C. （-2，3） D. （-1，3）

【答案】B

【解析】

【分析】先求集合，进一步求出答案.

【详解】集合，，

∴.

故选：B.

2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先表示出复数，，再根据复数代数形式的乘法运算化简，根据根据复数的概念得到方程（不等式）组，解得即可；

【详解】解：因为复数，在复平面内对应的点分别为，，

所以，，

所以，

因为为纯虚数，所以，解得；

故选：D

3. CPI是居民消费价格指数（consumer price index）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月—2018年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论错误的是（    ）

A. 2017年8月与同年12月相比较，8月环比更大

B. 2018年1月至6月各月与2017年同期相比较，CPI只涨不跌

C. 2018年1月至2018年6月CPI有涨有跌

D. 2018年3月以来，CPI在缓慢增长

【答案】D

【解析】

【分析】题目中已经给出了相关概念，根据所给信息，逐项分析即可．

【详解】A选项，2017年8月环比0.4，2017年12月，环比0.3，描述正确．

B选项，描述为同比大于0，因为同比图象始终在轴上方，即同比始终为增长，故描述正确．

C选项，从环比来看，2018年2月相对1月有所上升，3月到6月均有所下降，描述正确．

D选项，因为图中所给为同比和环比数据，即为相对值，而非真实值，故无法知道真实CPI的变化趋势．描述错误．

故选：D．

【点睛】本题考查读图、识图的能力，和理解题目所给定义的能力，属于基础题．

4. 正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（    ）

A. 4 B. 8 C. 32 D. 64

【答案】D

【解析】

【分析】依题意，，成等差数列，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值.

【详解】由题意可知，，，成等差数列，

所以，即，

所以，或（舍），

所以，

，

故选：D.

5. 已知：，；：，，则真命题是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

举例说明全称命题为假命题，存在命题为真命题．由复合命题的真值表判断．

【详解】时，，所以为假命题，时，，所以为真命题，

∴为真命题，

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：

6. 已知，图中程序框图的输出结果为5050，则判断框里可填　　

A.

B

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，根据n的取值即可得到判断框内的条件．

【详解】解：模拟程序框图运行过程，可知：

由于当时，应该不满足判断框内的条件，执行循环体，，

当时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为5050．

可得判断框内的条件为？

故选C．

【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案来，是基础题．

7. (3－2x－x4)(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为

A. 600 B. 360 C. －600 D. －360

【答案】C

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式求出(2x－1)6的展开式式中出含x3，x2的项，进而求解.

【详解】由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为3×23(－1)3－2×22(－1)4＝－600.

故选C.

【点睛】本题考查了求两个因式之积的特定项的系数，实质是考查了通项公式的特点，分析得到特定项有几种情况，再分别求出对应项的系数，问题进而得解.

8. 已知为角终边上一点，且，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可得，借助三角函数定义可得m值与.

【详解】∵

∴，解得

又为角终边上一点，

∴，∴

∴

故选B

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题．

9. 已知双曲线：的左焦点为，作直线交双曲线的左支于点，若与轴垂直，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】把代入双曲线方程化简即可得出，的关系，求出离心率．

【详解】解：，代入双曲线方程得：，

即，

即，∴，

解得，或（舍）．

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题．

10. 函数的图像向右平移个单位，若所得图像对应的函数在是递增的， 则的最大值是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先求得函数图像向右平移个单位后的解析式，然后结合函数的单调递增区间确定实数a的最大值即可.

【详解】由题意可得：，

则函数图像向右平移个单位的解析式为：

.

函数的单调递增区间满足：，

解得：,

当时，函数的单调递增区间为，

据此可得的最大值是.

故选A.

【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移变换，三角函数的性质，辅助角公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11. 已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解.

【详解】由题意，定义在上的函数的定义域为，关于原点对称，

且，所以函数为奇函数，

所以

又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，

又由对数的运算性质可得，

所以，即.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的转化思想，以及熟练应用函数的单调性及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

12. 已知定义在上的连续可导函数无极值，且，若在上与函数的单调性相同，则实数的取值范围是

A  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据连续可导且无极值，结合，判断出为单调递减函数.对求导后分离常数，利用三角函数的值域求得的取值范围.

【详解】由于连续可导且无极值，故函数为单调函数.故可令，使成立，故，故为上的减函数.故在上为减函数.即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故选A.

【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量满足，，则的夹角为__________．

【答案】

【解析】

【详解】由题得, 因为,

所以

故填.

14. 大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

【答案】672

【解析】

【分析】分类讨论，分别求出甲、乙都不选，甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论．

【详解】解：甲、乙都不选时，有 种；甲、乙两个专业选1个时，有种，

根据分类计数原理，可得共有336+336=672种不同的填报专业志愿的方法．

故答案为672．

【点睛】本题考查计数原理的运用，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．

15. 若，则的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式，求得所求表达式的最小值.

【详解】由于，

所以，

当且仅当且时等号成立，

即时等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.

16. 已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量的运算，求得，由此求得的取值范围.

【详解】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.

  【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17. 在中，角所对的边分别为，已知的面积，．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）求周长的取值范围．

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式可得，利用正弦定理边化角可配凑出余弦定理的形式，求得，根据的范围可求得结果；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论可求得，由正弦定理得到，，将三角形周长利用三角恒等变换知识可化为，根据的范围，结合正弦函数的图象与性质可求得的范围，即为所求周长的范围.

【详解】（Ⅰ）由得：

，由正弦定理得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：   

又    ，

的周长

即

，       

即周长的取值范围为

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、三角形周长取值范围的求解等知识；求解周长的取值范围时，通常利用正弦定理将边化为角，根据三角恒等变换的知识将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是忽略角所处的范围，造成求解错误.

18. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ⅳ人参加，现将所有参加者按年龄情况分为，，，，，，等七组，其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人．

（1）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；

（2）已知和这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；

（3）组织者从这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列和均值．

【答案】（1）35；（2）；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）先求出频率分布直方图中 矩形的高，使左右面积相等的垂直于x轴的直线所对应的横坐标即为这个频率分布直方图的中位数．

（2）先分别求出这两组总人数，再分两种情况去讨论，最后把得到的两个概率相加即可．

（3）超几何分布，X可能的值为1,2,3，分别求出相应的概率，列出分布列，再求均值．

【详解】（1）设矩形在的高为，

∴，

∴.

由，

∴中位数为35.

（2）记事件为“从年龄在和之间选出的2人中恰有1名数学教师”，

∵年龄在之间的人数为8，年龄在之间的人数为6，

.

（3）年龄在之间的人数为6人，其中女教师4人，

∴的可能取值为1，2，3，

∵，

，

，

∴的分布列为：

.

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列和数学期望．

19. 在多面体 中， ，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）先证明平面，再证明平面平面；

（2）直接利用几何法求二面角的余弦值.

【小问1详解】

证明：因为平面，

所以平面.

故，

又，所以，

在直角梯形中， ，，可得.

由知，

又平面，

所以平面，又平面,

所以平面平面.

【小问2详解】

设点到平面的距离为，点到直线的距离为，连接.

因为平面，

又，平面，

所以平面，所以.

所以二面角的平面角为，

由，即 ，得.

在△中，，CE=,

解之得，

则，进而，

即二面角的余弦值为.

20. 设是椭圆的四个顶点，菱形的面积与其内切圆面积分别为，.椭圆的内接的重心(三条中线的交点)为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）；   

（2）是，.

【解析】

【分析】（1）由题可得，，进而即得；

（2）当斜率不存在时，可得面积为；当斜率存在时，设方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理法，根据弦长公式，点到直线的距离公式结合条件可得的面积，进而即得．

【小问1详解】

∵菱形的面积与其内切圆面积分别为，，

∴，，又，

解得，，

故所求椭圆的方程为；

【小问2详解】

当直线斜率不存在时，

∵为的重心，

∴为椭圆的左，右顶点，不妨设，

则直线的方程为，可得，到直线的距离，

∴；

当直线的斜率存在时，设直线方程为：，，，

联立，得，

则 ，

即，

所以，，

∴，

∵为的重心，

则点坐标为，

∵点在椭圆上，故有，

化简得，

∴ ，

又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）．

∴ ，

综上可得，的面积为定值．

21. 设.

（1）在上单调，求的取值范围；

（2）已知在处取得极小值，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】分析：（1）求导得到，再求导，将在区间上单调转化为或进行求解；（2）利用（1）结果，通过讨论的取值研究导函数的符号变化，进而验证何时在处取得极小值．

详解：（1）由，

即，，

，

①在上单调递增，∴对恒成立，即对恒成立，得；

②在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，得，

由①②可得的取值范围为；

（2）由（1）知，

①，在上单调递增，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴在处取得极小值，符合题意；

②时，，又在上单调递增，∴时，，∴时，，∴在上单调递减，上单调递增，在处取得极小值，符合题意；

③时，，在上单调递增，∴上单调递减，

∴时，，单调递减，不合题意；

④时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在处取得极大值，不符合题意；

综上所述，可得.

点睛：本题考查导数与函数的单调性、极值间的关系等知识，意在考查学生的分类讨论思想的应用能力和复杂的数学运算能力．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22.

已知曲线的极坐标方程是.以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）

（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值.

【答案】（1）（2）或.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由曲线的极坐标方程得，根据，，，即可求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到圆的方程，得，结合韦达定理和弦长公式即可求出直线的倾斜角的值.

试题解析：（1）由得

∵，，，

∴曲线的直角坐标方程为，即.

（2）将代入圆的方程，化简得.

设两点对应的参数分别为、，则

∴.

∴

∵

∴，即或.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知，.

（1）若且的最小值为1，求的值；

（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.

试题解析：（1）(当时，等号成立）

∵的最小值为 1，∴，∴ 或，又，∴.

（2）由得，，∵，

∴，即 且 且.