四川省宜宾市叙州区第一中学2023届高三数学（文）三诊模拟试题（Word版附解析）

叙州区一中高2020级高三三诊模拟考试

数学（文史类）

本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接解出集合，再求交集即可.

【详解】，，则.

故选：D.

2. 某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（    ）

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

【答案】C

【解析】

【分析】利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.

【详解】设样本中的男生和女生的人数分别为、，由分层抽样可得，解得.

故选：C

3. 已知，且，其中是虚数单位，则等于（    ）

A. 5 B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解.

【详解】由得：，即，

解得，从而.

故选：B

4. 设p: ,q: ,则p是q的(　　).

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，求出不等式的解，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【详解】∵，∴，

即p:

∵,∴

即q:

∴p是q的充分不必要条件

故选A

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用对数函数和指数函数的单调性求出不等式的等价条件是解决本题的关键．

5. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.

【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，

所以.

故选：C

6. 已知抛物线C：的焦点是F，若点P是C上一点且横坐标为4，则的值是（    ）

A. 2 B. 4 C.  D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据抛物线的焦半径公式求解即可.

【详解】由抛物线C：，可知，则，

又点P是C上一点且横坐标为4，所以，

所以根据抛物线定义，可得.

故选：C.

7. 设等比数列的前项和为.已知，，则（    ）

A.  B. 16 C. 30 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据递推关系可求出等比数列的公比、首项，由求和公式得解.

【详解】由题得：①，②，①②得： ，，

则，代入①中，即，，

故，

故选：D.

8. 直线被圆所截得弦长的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.

【详解】解：易知直线l过定点，圆心，

因为，

所以直线l与圆C相交，

当时，l被圆C所截得的弦最短，

此时弦长．

故选：A．

9. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用正弦定理将中的边化为角，变形整理可得，进而可得，同样的将中的边化角，结合的正弦余弦值，可得，最后通过可求出结果.

【详解】解：，

由正弦定理得：，

，

，

，则，

又，

，

，

则，

，

，

又，

得，

，

故选：A

【点睛】本题考查正弦定理的应用，通过边化角求出角，考查了学生的计算能力，是中档题.

10. 在三棱锥中，，平面平面，，，，则（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用勾股定理与特殊角求得，再由面面垂直的性质定理推得，从而得解.

【详解】依题意，作出图形如图，

因为，，所以，

因为，，所以，

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，又平面，所以，

所以．

故选：C.

11. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.

【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.

设切点为，，

所以，切线斜率为，

由题知得或（舍），

所以，，此时点到直线距离.

故选：C

12. 实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用作差法与基本不等式分析，大小，再构造函数分析的大小即可

【详解】解析：由已知得，，，

则，

因为，

所以有，

所以

设，，当时，，

所以在上单调递减，因此，即，

所以，

所以，

所以，

所以，又，

所以，综上可知

故选：．

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数，则__________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据分段函数的定义求解即可.

【详解】由，

所以，

所以.

故答案为：4.

14. 已知是定义域为R的奇函数，且当时，则________.

【答案】##－0.5

【解析】

【分析】根据奇函数的定义．结合对数运算性质计算．

【详解】由，得，又当时，所以.由是奇函数，得，

所以.

故答案为：．

15. 在平面直角坐标系xOy中，角，的终边分别与单位圆交于点A，B，若直线AB的斜率为，则=______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角函数的概念表示点的坐标A，B，利用同角的三角函数的基本关系式求角的三角函数值，再利用二倍角公式及诱导公式化简求值

【详解】由题意，所以.

不妨设，则，令，则，所以，

所以，所以.

故答案为：

16. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】先正弦函数的周期性求出 的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出 的具体范围.

【详解】在 是增函数，∴ ，∴ ，，

又 ，∴ ，令 ，

则 在 的函数图像如下：

所以欲使得 是增函数，则必须 或者 ，

对于 ，即 ，

对于函数，在 时 的值域是 ， ，

对于 ，即 ，

对于函数 在 时的值域是 ，即 ， 与 矛盾，无解；

故答案为： .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 2023年2月15日，四川省卫健委发布新版《四川省生育登记服务管理办法》，其中一条修订内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件．”该修订内容在社会上引起了广泛的关注和讨论．某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了160份有效问卷．为了研究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身份．被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持（支持政策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件）”．研究结果如下表所示：

（1）为了研究校内人员身份（学生/教职工）与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组．试问，我们是否有的把握认为，校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）有关？

（2）如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生A和学生B同时被选中的概率．

参考公式：．

【答案】（1）有    （2）．

【解析】

【分析】（1）根据条件画出列联表，计算检验量对照参考表即可.

（2）一一列举可能出现的情况，计算概率即可.

【小问1详解】

根据条件，重新画出列联表如下：

假设：校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）是相互独立的．

则统计检验量，

所以拒绝假设，我们有以上的把握认为校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）是相关的．

【小问2详解】

记样本中反对政策的5名学生分别为A、B、C、D、E，则抽取三人可能取到的组合有：，，，，，，，，，共10种情况．

其中学生A和学生B同时被选中的有：，，，共3种情况．

所以概率为．

18. 已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.

（1）求公差d；

（2）是否存在正整数m，k使得.

【答案】（1）   

（2）存在，理由见解析

【解析】

分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；

（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到，且，从而得到，写成符合要求的解.

小问1详解】

因为，，所以，

所以，即，解得：或.

因为，所以.

【小问2详解】

法一：由（1）得，，

，

时；

时；

时；

时（舍），

当时，，不合题意；

满足条件的有三组.

法二：由（1）得，，

故，

所以，且，

所以，所以，，.

存在满足条件的有三组.

19. 如图（1），已知边长为2的菱形ABCD中，沿对角线BD将其翻折，使，设此时AC的中点为O，如图（2）．

（1）求证：点O是点D在平面上的射影；

（2）求点A到平面BCD的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接DO，BO，利用勾股定理证明，再证明平面，即可得证；

（2）利用等体积法求解即可.

【小问1详解】

连接DO，因为，O为AC的中点，所以，

设菱形ABCD的边长为2，

又因为，所以，连接BO，则，

又因为，，所以，所以，

所以，

又，所以，所以，

又，平面，平面，所以平面，

所以点O是点D在平面上的射影；

【小问2详解】

设点A到平面BCD的距离为h，

由菱形ABCD的边长为2，且，

则的面积为，

则，的面积为，

由（1）知，平面，，

所以，

由得，，所以，

即点A到平面BCD的距离为．

20. 已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）单调递减区间是，无单调递增区间.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出导函数．    定义，利用导数判断出，得到，即可求得的单调区间；

（2）把不等式对恒成立转化为当时，只需.设，,二次求导得到，． 对a分类讨论：①当时，②当时，③当时三种情况分别求解，即可求出实数的取值范围.

【小问1详解】

函数的定义域为，．       

设，则，

当增函数；当为减函数.

有最大值，，，

的单调递减区间是，无单调递增区间．

【小问2详解】

不等式对恒成立，

则．

当时，只需              

设，,则.

，，

，．                           

①当时，，递减，则，故递减，

所以，故不满足．

②当时，，故当时，，则递减，则，，故当时，递减，

所以，故不满足．                      

③当时，，则递增，，故递增，所以，满足题意．

综上：不等式对任意恒成立时，．

所以实数的取值范围为

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)考查数形结合思想的应用．

21. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.

（1）判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；

（2）若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围.

【答案】（1），证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，，，，，，由于，，三点共线可得：，设，可求出点的坐标，同理可得点的坐标，分别求出的长度，即可得出.

（2）若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上即，代入即可求出，，，即可求出斜率.

【小问1详解】

设，，，

则，，

由于，，三点共线，则，整理得，

，则，同理可得

则，，

则，即证.

【小问2详解】

若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上即，则，化简得，又因为，则，，则直线斜率的取值范围为：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.

【答案】（1）;（2）8.

【解析】

【分析】（1）先求出曲线的普通方程为，再化成极坐标方程；（2）先写出直线的参数方程（为参数），再将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程t的几何意义解答.

【详解】（1）依题意，曲线的普通方程为，

即，故，故，

故所求极坐标方程为；

（2）设直线的参数方程为（为参数），

将此参数方程代入中，

化简可得，

显然.设所对应的参数分别为，，则.

∴.

【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知函数．

（1）当，时，解不等式；

（2）若函数的最小值是2，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接分、及解不等式即可；

（2）先由绝对值三角不等式求出，再结合基本不等式证明即可.

【小问1详解】

当，时，解不等式．

当时不等式化为得，故；

当时不等式化为得，故；

当时不等式化为，故．

综上可知，不等式的解集为．

【小问2详解】

易知，

因为的最小值是2且，，所以，

故．

所以

（当且仅当时取等号）.