新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题19 空间几何体（含解析）

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专题19 空间几何体 【考纲要求】1、通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。2、通过考查几何体体积和表面积的计算，考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。一、空间几何体【思维导图】  【考点总结】一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环  三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．二、空间几何体的表面积和体积【思维导图】  【考点总结】一、几何体的表面积圆柱的侧面积  圆柱的表面积  圆锥的侧面积  圆锥的表面积  圆台的侧面积  圆台的表面积  球体的表面积  柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.二、几何体的体积圆柱的体积  圆锥的体积  圆台的体积  球体的体积  正方体的体积    正方体的体积    三、常用结论多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.【题型汇编】题型一：空间几何体的结构题型二：空间几何体的表面积与体积【题型讲解】题型一：空间几何体的结构一、单选题1．（2022·河南开封·三模（文））已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】根据弧长公式可求出结果.【详解】依题意可知，半圆的弧长为，圆心角的弧度数为，由弧长公式可得该圆锥的母线长为.故选：C2．（2022·河北秦皇岛·二模）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】应用等体积法求到平面的距离，结合的长，即可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】由题设，且到平面的距离为.又，，故到上高为，所以.设到平面的距离为，由得：，解得，故直线与平面所成角的正弦值为.故选：D3．（2022·新疆·一模（理））斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，可得圆锥的母线长及底面半径，即求．【详解】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧对应的圆面半径是，圆锥的母线长为13，对应的弧长是，设圆锥底面半径为，则，解得，所以该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为.故选：D．4．（2022·山西临汾·一模（理））如图，该模具是一个各棱长都为2的正四棱锥，要将两个同样的模具装在一个球形包装盒内，则包装盒的最小直径为（　　）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】B【解析】【分析】由正四棱锥的性质可得底面的中心为其外接球的球心，即求.【详解】如图正四棱锥，设为底面的中心，因为正四棱锥的各棱长都为2，所以，即为正四棱锥的外接球的球心，故包装盒的最小直径为.故选：B.5．（2022·河南·南阳中学三模（文））如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解.【详解】解：如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，则台体的体积，解之得，所以,,所以截面的周长为.故选：D二、多选题1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（       ）A．当A，B为底面圆直径的两个端点时，B．△PAB面积的最大值为C．当△PAB面积最大值时，三棱锥C-PAB的体积最大值为D．当AB为直径且C为弧AB的中点时，的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B，由三角形的面积公式结合正弦函数的性质判断，对于C，当△PAB面积最大值时，，从而可求出点C到AB的距离的最大值，进而可求出三棱锥C-PAB的体积最大值，对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中求出，从而可求出PC边上的高，则可求出的最小值【详解】对于A，记圆锥底面圆心为O，，所以，所以，故A正确；对于B，设，则截面三角形的面积，故B不正确；对于C，由选项B中推理可知，此时，所以点C到AB的距离的最大值为，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为，故C选项正确；对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，进而，记PC边上的高为h（垂足为Q），则，所以，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；故选：ACD．2．（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（       ）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为【答案】BCD【解析】【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.【详解】如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由可得，则，，又，则，即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.故选：BCD.题型二：空间几何体的表面积与体积一、单选题1．（2022·北京·101中学三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（       ）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】根据球的表面积公式，可算出，由正四棱柱的顶点在同一球面上，可得正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，即可得到答案【详解】设球的半径为，则 ，解得 设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C2．（2022·辽宁·二模）如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为(       )A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据柱体体积计算公式分析即可得答案．【详解】如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，故放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的．故选：A．3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的如图所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它的表面积为（       ）A．8 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出一个等边三角形的面积求解即可.【详解】根据题意，设等边三角形的高为，所以，所以每个边长为2等边三角形的面积为：，所以正八面体的表面积为：.故答案为：C.4．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为(       )A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径r和母线l，根据侧面积公式πrl即可求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题意，底面圆半径为，母线，侧面积πrl＝π×3×＝6﹒故选：B.5．（2022·山东淄博·三模）若球的半径为，一个内接圆台的两底面半径分别为和（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体积为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式得答案．【详解】解：如图，由题意可知，，，，则，，圆台的高为，圆台体积为．故选：A．6．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意将三棱锥放入长方体中，长方体的外接球为三棱锥的外接球，求出长方体外接球半径，即可求出外接球体积；再由“堑堵”的性质求剩余四棱锥的体积即可.【详解】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：外接球半径，所以外接球体积，阳马—的体积为．．故选：B．二、多选题1．（2022·山东日照·二模）传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若，则（       ）A． B．的展开式中的的系数为56C．的展开式中的各项系数之和为0 D．，其中i为虚数单位【答案】AC【解析】【分析】根据圆柱和球的表面积公式和体积公式，求得的值，得到，得出，再结合复数的运算和二项式定理的通项及性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，设内切球的半径为r，则圆柱的高为，∴，，A正确；从而可知，∴；对于B，展开式通项公式为：，令，解得，∴的展开式中的的系数为，B错误；对于C，，即展开式的各项系数之和为0，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.2．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h降雨量的等级划分如下：等级24h降用量（mm）小雨（0，10）中雨[10，25）大雨[25，50）暴雨[50，100）大暴雨[100，250）特大暴雨[250，+∞） 在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm，瓶口高度为3cm）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（　　）A．20cm B．22cm C．25cm D．29cm【答案】CD【解析】【分析】设降雨量为x，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x之间的关系，结合题意可得，由此判断出答案.【详解】设降雨量为x，容器内雨水高度为h,根据体积相等关系可得：，解得 ，由于 ，故，故故选：CD．3．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，四棱锥，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，，点Q是PD的中点，则下列结论正确的有（       ）A．平面PAD B．直线QC与PB是异面直线C．三棱锥的体积为 D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】【分析】取的中点，的中点，连结，，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，看其是否与共线，从而可判断选项A；易知直线QC与PB不相交，再说明直线QC与PB不共线，从而可判断选项B；根据可求出体积，可判定选项C；将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，求出正四面体的棱长，从而可求出正四面体的表面积，可判定选项D．【详解】解：取的中点，的中点，连结，，因为三角形为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面，因为，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则，，因为点时的中点，所以，平面的一个法向量为，显然与不共线，所以与平面不垂直，故选项A不正确；，则不共线，故直线QC与PB不共线，由图可知直线QC与PB不相交，所以直线QC与PB是异面直线，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C不正确；设四棱锥外接球的球心为，，，则，所以，解得，即，，为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查了线面垂直，异面直线的定义，棱锥的体积以及棱锥的外接球等知识，综合性强，同时考查了转化能力和运算求解能力．