宁夏银川一中2023-2024学年高三数学（文）上学期第二次月考试题（Word版附答案）

银川一中2024届高三年级第二次月考

文 科 数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合，，则的子集个数为

A．2 B．4 C．3 D．8

2．已知，则在复平面内，复数对应的点位于

A．第三象限 B．第四象限 C．第一象限 D．第二象限

3．下列命题正确的是

A．命题“若，则”的否命题为“若，则”

B．若给定命题，，则，

C．已知，，则是的充分必要条件

D．若为假命题，则，都为假命题

4．若函数在点处的切线方程为，则实数的值为

A． B． C． D．

5．已知，为钝角，，则

A．1 B． C．2 D．

6．已知，，，则，，的大小关系为

A．   B．    C．      D．

7．已知向量，，且，则与夹角为

A． B． C． D．

8．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则

A．29 B．31 C．33 D．36

9．意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，

女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出

人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用

下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研

究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余

弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是

A．  B．  C．  D．

10．设为等差数列的前项和，且，都有.若，则

A．的最小值是 B．的最小值是

C．的最大值是 D．的最大值是

11．已知函数的图象如图

所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高

点，且满足．若将的图象向左平移1个

单位得到的图象对应的函数为，则

A． B．0 C． D．

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，若，则的值为______.

14．函数f(x)定义如下表，数列满足x0=2，且对任意的自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2024=__________．

15．已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，若P为圆M上的动点，则的最大值为__________．

16．定义在上的奇函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为___________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）        必考题：共60分．

17.（12分）

已知等差数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．（12分）

在中，是边上一点，，，，.

（1）求的长；

（2）求的面积.

19．（12分）

已知数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

20．（12分）

记锐角的内角的对边分别为，已知．

（1）求证：；

（2）若，求的最大值．

21．（12分）

设函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若，对任意的，不等式恒成立.求 的值；

（3）记为的导函数，若不等式在上有实数解，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系中，圆的半径为，半径均为的两个半圆弧所在圆的圆心分别为，，是半圆弧上的一个动点，是半圆弧上的一个动点.

（1）若，求点的极坐标；

（2）若点是射线与圆的交点，求

面积的取值范围.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，求证：

（1）；

银川一中2024届高三第二次月考数学(文科)参考答案

一、选择题：

二、填空题

13.     14.     15.   16. 18

三、解答题

17.【详解】（1）设等差数列的公差为，.....................1分

∴，解得，..............................4分

∴...............................6分

（2）由（1）知：，则，得，又，

∴时，，而，，..........................8分

∴数列的前项和，..................10分

而，，

∴，故...................12分

18【详解】（1）因为，

则，.....................2分

，，

中，,.....................4分

即，解得：或（舍），

所以；.....................6分

（2），.....................8分

因为

所以，，.....................10分

所以.....................12分

19.【解析】

(1)当时，，解得......................2分

当时，，整理得，..................4分

所以是以9为首项，3为公比的等比数列，故....................6分

(2)由（1）知，，则①，

所以②，...................8分

①-②得：，

                                    ...................10分

故               ....................12分

20.【详解】（1）证明：由题知，

所以，...................2分

所以,

所以...................4分

因为 为锐角，即 ，

所以，

所以，所以...................6分

（2）由（1）知：，所以，

因为，所以，

因为由正弦定理得：，

所以,所以，...................8分

因为 ，所以，

所以

因为是锐角三角形，且，所以 ，

所以，所以，...................10分

当时，取最大值为 ，

所以最大值为： ....................12分

21.【详解】（1），所以，...................2分

因为，所以时，，时，，

所以的增区间为，减区间为....................4分

（2）当，.

由恒成立，即恒成立，

设由题意知，故当时函数单调递增，

所以恒成立，即恒成立，...................6分

因此，记，得，

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数在时取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值.由此可得，故，结合已知条件，，可得....................8分

（3）不等式在上有解.

即为，化简得：，在上有解.

由知，因而，设，...................10分

由，

∵当时，，∴在时成立.

由不等式有解，可得知，即实数的取值范围是....................12分

22.【详解】（1）由知：，，...................2分

点的极角为，点的极坐标为....................5分

（2）  

由题意知：，，，

，.................7分

，，，..........10分

23【详解】（1）因为，

所以，即，...................2分

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，即，故....................5分

（2）因为，

因为，当且仅当，即取得等号，

同理可得，当且仅当取得等号，

同理可得，当且仅当取得等号，...................7分

上面三式相加可得，即，

当且仅当，，且，即时，等号成立，

因为，所以，