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新高考物理一轮复习重难点练习难点21 带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点练习难点21 带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动（含解析），共28页。试卷主要包含了带电粒子在叠加场中的运动，带电粒子在交变电，解答题等内容，欢迎下载使用。
难点21 带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
一、带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受的合力为0
平衡条件
匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
【例1】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的带电圆环套在足够长的绝缘杆上，杆与环之间的动摩擦因数为μ，杆处于正交的匀强电场和匀强磁场中，电场方向水平向左，磁场方向垂直于纸面向里，杆与场强方向的夹角为θ，若环能从静止开始下滑，则以下说法正确的是（ ）
A．环在下滑过程中，加速度不断减小，最后为零
B．环在下滑过程中，加速度先增大后减小，最后为零
C．环在下滑过程中，速度不断增大
D．环在下滑过程中，速度先增大后减小，最后为零
【答案】B
【详解】环受重力、电场力、洛伦兹力和杆的弹力、摩擦力作用，由牛顿第二定律可知，加速度
当速度v增大时，加速度也增大，当速度v增大到弹力反向时，加速度
随速度v的增大而减小，当加速度减为零时，环做匀速运动。
故选B。
【例2】（2022·全国·高三课时练习）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴竖直向上。第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第Ⅳ象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场（图中未画出）。一带电微粒以速度v从x轴上的A点经过，恰好从P点垂直于y轴进入第Ⅳ象限，然后做圆周运动，从Q点垂直于x轴进入第Ⅰ象限，Q点距O点的距离为d，重力加速度为g。根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．圆周运动的速度是v
B．可以求出微粒在第Ⅳ象限运动的时间
C．可以求出磁感应强度大小
D．可以求出电场强度的大小和方向
【答案】B
【详解】A．微粒在第Ⅲ象限运动时，洛伦兹力不做功，从A点到P点的过程，由动能定理知
由此可求出微粒做圆周运动的速度
故A错误；
B．微粒在第Ⅳ象限运动的时间
t=T=×=
故B正确；
CD．在第Ⅳ象限，微粒做圆周运动，则有
mg＝qE
由于m、q未知，不能求出电场强度的大小，由
BqvP＝m
得
B＝
由于m、q未知，故不能求出磁感应强度大小，故CD错误。
故选B。
二、带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律
联立不同阶段的方程求解
【例3】（2022·浙江·高三专题练习）如图（a）所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过时间以后，电荷以的速度通过MN进入其上方的均匀磁场，磁场与纸而垂直，磁感应强度B按图（b）所示规律周期性变化，图（b）中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t=0时刻。求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）图（b）中时刻电荷与O点的水平距离；
（3）如果在O点正右方43.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，其在电场中加速运动的时间为，由匀变速直线运动规律得
由牛顿第二定律得
qE=ma
代入数据解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得
当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径
做圆周运动的周期
代入数据解得
同理可得，当磁场垂直纸面向里时，电荷圆周运动的半径为
做圆周运动的周期
电荷从时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图所示
从电荷第一次通过开始其运动的周期为
所以时刻粒子距离O点的水平距离为
（3）由第（2）的分析可知，每经过一个周期，粒子在水平方向向右前进，根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为9个，即
则最后的距离如图所示
由几何关系可得
解得
即
故电荷运动的总时间
【例4】(2022·山东日照市高三模拟) 如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，间距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．
(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．
【答案】(1)(n＝1,2,3……) (2)x＝d
【详解】(1)设经时间t粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为a，则a＝
半个周期内，粒子向上运动的距离为
y＝a()2
d＝2ny
t＝nT
联立得T＝(n＝1,2,3……)
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有qv0B0＝m
解得r＝d
要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半个周期内，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示，由几何关系得
r＋2rsin θ＝d
解得sin θ＝0.5
则粒子打到Q板的位置距出发点的水平距离为
x＝r－2r(1－cos θ)＝d.
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力，则（ ）
A．若电子以相同的速率从右向左飞入，电子也沿直线运动
B．若电子以相同的速率从右向左飞入，电子将向下偏转
C．若电子以相同的速率从左向右飞入，电子将向下偏转
D．若电子以相同的速率从左向右飞入，电子也沿直线运动
【答案】D
【详解】AB．若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以向上偏。故AB错误；
CD．若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下，由题意知电子受力平衡将做匀速直线运动。故C错误；D正确。
故选D。
2．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b。不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场力跟重力平衡
C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小
D．小球在运动过程中机械能守恒
【答案】B
【详解】AB．由于小球在竖直平面内做匀速圆周运动，所以重力与电场力的合力为0，电场力方向竖直向上，小球带正电，故A错误，B正确；
C．从，电场力做负功，电势能增大，故C错误；
D．由于小球运动过程中有电场力做功，小球机械能不守恒，故D错误。
故选B。
3．（2022·北京石景山·高三期末）如图所示，下端封闭、上端开口、内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一带电小球，玻璃管的右侧存在有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。从某时刻开始，玻璃管在外力作用下，始终保持不变的速度，沿垂直于磁场方向进入磁场中运动，最终小球从上端管口飞出。在这一过程中，小球所带电荷量保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．带电小球受到的洛伦兹力做正功
B．玻璃管对带电小球的弹力不做功
C．带电小球在竖直方向做匀加速直线运动
D．带电小球的机械能保持不变
【答案】C
【详解】A．洛伦兹力始终与速度垂直不做功，故A错误；
B．带电小球在磁场中运动时，有水平向右的速度分量和竖直向上的速度分量，由左手定则知洛伦兹力斜向左上方，因此玻璃管对带电小球有向右的弹力，该弹力对小球做正功，故B错误；
C．玻璃管在外力作用下始终保持不变的速度，则小球向右的速度分量保持不变，竖直向上的洛伦兹力分量保持不变，因此在竖直方向小球做匀加速直线运动，故C正确；
D．小球在磁场中运动过程中，受重力，洛伦兹力和玻璃管对其向右的弹力，洛伦兹力不做功，弹力对其做正功，因此小球的机械能不守恒，故D错误。
故选C。
4．（2022·全国·高三课时练习）如图甲所示，在xOy坐标系的一、四象限存在匀强磁场，规定垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示，t=0时刻，一个比荷的正电荷从(0，)处以v0=1.0×104m/s的速度沿y轴负方向射入磁场，则正电荷从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为（ ）
A．s B．s
C．s D．s
【答案】C
【详解】洛伦兹力提供向心力，则
解得
r=0.4m
圆周运动的周期为
则粒子每次圆周运动持续三分之一周期，对应的圆心角为120°；
位移大小
位移方向与y轴负方向成60°角，正电荷射入磁场后到x轴的轨迹如图；
正电荷第一次运动到x轴应为A点，运动时间为
故选C。
5．（2020·湖南·岳阳市教育科学技术研究院二模）电场强度为的匀强电场水平向右，匀强磁场与匀强电场垂直，磁感应强度大小为，方向如图所示。一带电小球斜向右上做匀速直线运动，速度与水平方向的夹角为，该小球运动的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】带电小球斜向右上做匀速直线运动由力的平衡可知
解得
B正确，ACD错误。
故选B。
6．（2022·海南·高三阶段练习）如图所示，在真空中竖直平面（纸面）内边长为a的正方形ABCD区域，存在方向沿CB（水平）的匀强电场和方向垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球以速率（g为重力加速度大小）从A点沿AC方向射入正方形区域，恰好能沿直线运动。下列说法正确的是（ ）
A．该小球带负电
B．磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外
C．若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球将做直线运动
D．若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A点沿AC方向以速率射入正方形区域，则小球将从D点射出
【答案】D
【详解】AB．小球做直线运动，说明小球受力平衡，小球重力方向竖直向下，小球带正电，受电场力水平方向向左，洛伦兹力方向垂直AC斜向上，则磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，AB错误；
C．若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球的合力不为零，速度会变化，洛伦兹力也会变化，小球将做曲线运动，C错误；
D．电场水平向左，由物体的平衡条件有
（其中）
电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上后，电场力与重力平衡，小球沿逆时针方向做匀速圆周运动，设轨道半径为r，有
解得
小球将从D点射出，D正确。
故选D。
7．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，空间中存在正交的匀强电场和匀强磁场（未画出），匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为E，匀强磁场磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电小球以水平向右、大小为v的初速度从图示位置抛出，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．若磁场方向水平向右，则小球能做匀变速运动
B．若小球先向上偏转，则一定有
C．小球可能在竖直面内做圆周运动
D．若小球带正电，小球一定做变加速曲线运动
【答案】C
【详解】A．若磁场方向水平向右，小球抛出后瞬间只能有竖直方向上的加速度，加速后合速度方向与磁场方向夹角不为0，小球受洛伦兹力影响，加速度方向随速度会发生变化，故A错误；
B．若小球带负电且磁场方向垂直纸面向外，若小球先向上偏转，根据牛顿第二定律，有
且，当时，与的大小无法判断，故B错误；
C．若小球带负电且磁场方向垂直纸面，当
时，小球只受与速度方向垂直的洛伦兹力作用，在竖直面内做匀速圆周运动，故C正确；
D．若小球带正电且磁场方向垂直纸面向外，则初始时刻在竖直向下的电场力、洛伦兹力和重力的作用下产生竖直向下的加速度，速度方向、大小均发生变化，由于小球所受洛伦兹力方向与小球速度方向垂直且大小与速度大小有关，因此小球所受合力的大小和方向均不断变化，小球做变加速曲线运动；
若小球带正电且磁场方向垂直纸面向里，则初始时刻在竖直向下的电场力和重力、向上的洛伦兹力，若满足
则小球做匀速直线运动，故D错误。
故选C。
8．（2021·黑龙江·哈九中高三期末）如图所示，两个半径相同的半圆形光滑轨道分别竖直放在匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上。两个相同的带正电小球（可视为质点）同时分别从轨道的左端最高点由静止释放，M、N分别为两轨道的最低点，则下列说法正确的是（ ）
A．两小球到达轨道最低点时的速度相等
B．两小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力FM>FN
C．两小球从释放到第一次到达轨道最低点的时间tM>tN
D．两小球在运动过程中都机械能守恒
【答案】B
【详解】ACD．由于小球在磁场中运动，只有重力做功，磁场力对小球不做功，整个过程中小球的机械能守恒；而小球在电场中运动时除重力做功外还受到的电场力对小球做负功，到达最低点时的速度较小，在电场中运动的时间也较长，同时小球的机械能减小，选项ACD错误；
B．小球在磁场中运动，在最低点进行受力分析可知
解得
小球在电场中运动，在最低点受力分析可知
解得
因为
可知
故B正确；
故选B。
9．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B．滑块经过最低点时的加速度比磁场不存在时小
C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小
D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等
【答案】D
【详解】A．由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，故A错误；
B．滑块经过最低点时的加速度
a＝
则与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，故B错误；
C．由左手定则可知，滑块经过最低点时受到的洛伦兹力向下，而与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时所受的向心力不变，故轨道对滑块的支持力变大，故滑块对轨道的压力变大，故C错误；
D．由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，不做功，在任意一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等，故D正确。
故选D。
10．（2022·安徽·定远县育才学校高三阶段练习）如图，长直导线水平固定放置，通有向右的恒定电流，绝缘细线一端系于导线上的点，另一端系一个带电小球，细线拉直，第一次让小球在A点由静止释放，让小球绕点沿圆1在竖直面内做圆周运动；第二次让小球在点由静止释放，让小球绕点沿圆2在竖直面内做圆周运动。圆1与直导线在同一竖直面内，圆2与直导线垂直，A、两点高度相同，不计空气阻力，则两次小球运动到最低点时（ ）
A．速度大小相等，线的拉力相等 B．速度大小不等，线的拉力相等
C．速度大小相等，线的拉力不等 D．速度大小不等，线的拉力不等
【答案】C
【详解】由于洛伦兹力不做功，只有重力做功，所以两次小球运动到最低点时，根据动能定理可知，合外力做功相同，所以两次在最低点小球的速度大小相等，在圆1中小球在最低点速度方向与磁场方向相互垂直，根据左手定则，如果两小带正电，则在圆1中小球在最低点线的拉力大小为
在圆2中小球在最低点速度方向与磁场方向相互平行，洛伦兹力为0，则在圆1中小球在最低点线的拉力大小为
则两次小球运动到最低点时，线的拉力不等，所以C正确；ABD错误；
故选C。
二、多选题
11．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右(图甲中由B到C)，场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB=BC=l，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0：1
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1：2
C．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π：2
D．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5
【答案】BCD
【详解】A．在t=1s时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如图所示；由牛顿第二定律得
qv0B0=
粒子的轨道半径，R=l，则
B0=
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向
l=v0t
水平方向
l=at2
其中
而
E0=
则
故A错误；
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比
故B正确；
C．第一个粒子的运动时间
t1=T=
第二个粒子的运动时间
t2=
第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比
t1：t2=π：2
故C正确；
D．第二个粒子，由动能定理得
qE0l=Ek2－
Ek2=
第一个粒子的动能Ek1=，第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5，故D正确。
故选BCD。
12．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一水平放置的平行板电容器充电以后与电源断开，并在其间加上垂直纸面向里的匀强磁场；某带电质点以某一速度从水平平行板中央进入正交的匀强电场和匀强磁场中，刚好做匀速直线运动。下列说法正确的是（ ）
A．该质点一定带正电
B．该质点可能带负电
C．若仅磁场增大，质点将向上偏转
D．若将下极板缓慢向下移动，质点将向下偏转，速率越来越大
【答案】AC
【详解】AB．在平行板之间有匀强磁场和匀强电场，带电质点做匀速直线运动，所以带电质点受力平衡，重力向下，根据左手定则，电场力和洛伦兹力方向相同，则洛伦兹力向上，则
mg=Eq+qvB
所以带电质点带正电，故A正确，B错误；
C．如果磁场增大，则该质点所受洛伦兹力将增大，质点向上偏转，故C正确；
D．将下极板向下移动，根据电容的决定式可得电容减小，由题意可知电容器极板的电荷量不变，则根据公式U=、E=可得
即电场强度的大小与两极板的距离无关，所以电场强度不变，质点将继续做匀速直线运动，故D错误。
故选AC。
13．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（ ）
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
D．小球向下运动的稳定速度为
【答案】CD
【详解】A．小球静止时只受静电力、重力、弹力及摩擦力，静电力水平向左，弹力水平向右，摩擦力竖直向上；开始时，对小球，由牛顿第二定律有
mg-μEq=ma
小球的加速度为
a=g-
小球速度增大，受到洛伦兹力，由左手定则可知，洛伦兹力向右，故水平方向弹力将减小，摩擦力减小，故加速度先增大，故A错误；
B．在下降过程中有摩擦力做功，故有部分能量转化为内能，故小球的机械能和电势能的总和将减小，故B错误；
C．当洛伦兹力大小等于静电力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达到最大；此后速度继续增大，则洛伦兹力增大，水平方向上的弹力增大，摩擦力将增大，加速度将减小，直到加速度减小为零后做匀速直线运动；故加速度为最大加速度的一半时有两种情况，一种是洛伦兹力小于静电力的情况，另一种是洛伦兹力大于静电力的情况，当洛伦兹力小于静电力时有
解得
当洛伦兹力大于静电力时有
解得
故C正确；
D．当加速度等于零时，速度最大且保持稳定，有
mg=μ(Bqv3-Eq)
解得
v3=
故D正确。
故选CD。
14．（2022·辽宁·模拟预测）如图所示，粗细均匀的光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，处在垂直于圆环所在平面向里的匀强磁场中，是圆环的水平直径，半径等于R，一个质量为m，电荷量为q的带电小球套在半圆环上，在M点由静止释放，小球第一次运动到圆环最低点P时，圆环对小球的作用力大小等于mg，g为重力加速度，匀强磁场的磁感应强度大小可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BD
【详解】根据机械能守恒
解得
小球运动到P点时受到的合外力为
方向指向圆心；在最低点，若环对小球作用力向上，小球受到的洛仑兹力一定向上，且
解得
若环对小球的作用力向下，则小球受到向上的洛仑兹力，且
解得
故选BD。
15．（2022·湖北·模拟预测）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心，两圆形成的圆环内有垂直圆面向里的匀强磁场（圆形边界处也有磁场），磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为的粒子由大圆上的A点以速率沿大圆切线方向进入磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，粒子运动的路程为
B．经过时间，粒子第1次回到A点
C．运动路程时，粒子第5次回到A点
D．粒子不可能回到A点
【答案】AB
【详解】依题意，可作出粒子的运动轨迹如图所示
A．依题意，可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，由几何知识可得此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，则粒子运动的路程为
故A正确；
B．粒子第1次回到A点，由几何知识可得粒子在磁场运动的总时间为
在无磁场区域运动的总时间为
则粒子第1次回到A点运动的时间为
故B正确；
C．由几何知识，可得粒子第一次回到A点运动路程
则粒子第5次回到A点时，运动的总路程为
故C错误；
D．由以上选项分析可知，粒子能回到A点，故D错误。
故选AB。
三、解答题
16．（2022·青海·海东市第一中学二模）一除尘装置的截面图如图所示，其原理是通过板间的电场或磁场，使带电尘埃偏转并吸附到极板上，以此达到除尘的目的。已知金属极板M、N长为d，间距也为d。大量均匀分布的尘埃以相同的水平速度v0（未知）进入除尘装置，每个尘埃颗粒质量为m、电荷量为﹣q。当板间区域同时加入竖直方向的匀强电场（未画出）和垂直于纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小为B0）时，尘埃恰好沿直线通过该区域。若只撤去电场，恰好无尘埃从极板右侧射出，收集效率（打在极板上的尘埃占尘埃总数的百分比）为100%。不计尘埃的重力和尘埃之间的相互作用以及尘埃对板间电场、磁场的影响。
（1）求水平速度v0的大小。
（2）若撤去极板区域的磁场，只保留原来的电场，则除尘装置的收集效率是多少?
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）沿N极板射入的尘埃恰好不从极板右侧射出时，尘埃的运动轨迹如图所示
由几何知识可知，尘埃在磁场中的运动半径
尘埃在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
（2）电场、磁场同时存在时，尘埃做匀速直线运动，有
撤去磁场后尘埃在电场力作用下做类平抛运动，假设到N极板距离为y的尘埃恰好离开电场水平方向有
竖直方向有
加速度
联立可解得
当时，尘埃运动时间更长，水平位移，即到N极板0.5d到d这段距离的尘埃会射出电场，则从平行金属板射出的尘埃占总数的百分比为
17．（2022·湖南·模拟预测）如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场。图乙中T0为未知量，不计粒子的重力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。
（1）若粒子射入磁场时的速度为v0，求时间内粒子做匀速圆周运动的半径；
（2）若粒子恰好不能从Oy轴射出磁场，求磁感应强度变化的周期；
（3）若使粒子能从坐标为（d，d）的D点平行于Ox轴射出，求射入磁场时速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力得
解得
（2）要使粒子恰好不从轴射出，轨迹如图
在前内的运动半径为
在后内的运动半径
由几何关系知
解得
粒子做圆周运动的周期
则
解得磁感应强度变化周期
（3）要想使粒子经过点且平行轴射出，则粒子只能从时刻经过点，（其中），则轨迹如图
设粒子射入磁场的速度为，由（2）可得
由几何关系可知
又
解得
18．（2022·全国·高三课时练习）在竖直平面内建立xOy坐标系，在坐标系的第Ⅰ象限的OyPQ范围内存在如图所示正交的匀强电场和匀强磁场，PQ平行于y轴且到y轴的距离为(＋1)l。质量为m、电荷量为q的微粒从第Ⅱ象限的a点沿xOy平面水平抛出，微粒进入电、磁场后做直线运动；若将匀强电场方向改为竖直向上，微粒仍从a点以相同速度抛出，进入电、磁场后做圆周运动，且运动轨迹恰好与x轴和直线PQ相切，最后从y轴上射出。重力加速度为g。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）微粒抛出时的初速度大小v0及a点坐标。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）如图1所示
设微粒进入第Ⅰ象限时速度的偏转角为α，由电场方向竖直向上时微粒做圆周运动且运动轨迹恰好与x轴和直线PQ相切可知
电场方向未改变时，微粒在电、磁场中做直线运动时所受合外力为零，受力如图2所示
可得
联立解得
（2）由图2可知
解得
设微粒做平抛运动的时间为t1，则
其中
则
a点横坐标为
纵坐标为
解得a点的坐标为
难点21 带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
一、带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受的合力为0
平衡条件
匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
【例1】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的带电圆环套在足够长的绝缘杆上，杆与环之间的动摩擦因数为μ，杆处于正交的匀强电场和匀强磁场中，电场方向水平向左，磁场方向垂直于纸面向里，杆与场强方向的夹角为θ，若环能从静止开始下滑，则以下说法正确的是（ ）
A．环在下滑过程中，加速度不断减小，最后为零
B．环在下滑过程中，加速度先增大后减小，最后为零
C．环在下滑过程中，速度不断增大
D．环在下滑过程中，速度先增大后减小，最后为零
【答案】B
【详解】环受重力、电场力、洛伦兹力和杆的弹力、摩擦力作用，由牛顿第二定律可知，加速度
当速度v增大时，加速度也增大，当速度v增大到弹力反向时，加速度
随速度v的增大而减小，当加速度减为零时，环做匀速运动。
故选B。
【例2】（2022·全国·高三课时练习）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴竖直向上。第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第Ⅳ象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场（图中未画出）。一带电微粒以速度v从x轴上的A点经过，恰好从P点垂直于y轴进入第Ⅳ象限，然后做圆周运动，从Q点垂直于x轴进入第Ⅰ象限，Q点距O点的距离为d，重力加速度为g。根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．圆周运动的速度是v
B．可以求出微粒在第Ⅳ象限运动的时间
C．可以求出磁感应强度大小
D．可以求出电场强度的大小和方向
【答案】B
【详解】A．微粒在第Ⅲ象限运动时，洛伦兹力不做功，从A点到P点的过程，由动能定理知
由此可求出微粒做圆周运动的速度
故A错误；
B．微粒在第Ⅳ象限运动的时间
t=T=×=
故B正确；
CD．在第Ⅳ象限，微粒做圆周运动，则有
mg＝qE
由于m、q未知，不能求出电场强度的大小，由
BqvP＝m
得
B＝
由于m、q未知，故不能求出磁感应强度大小，故CD错误。
故选B。
二、带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律
联立不同阶段的方程求解
【例3】（2022·浙江·高三专题练习）如图（a）所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过时间以后，电荷以的速度通过MN进入其上方的均匀磁场，磁场与纸而垂直，磁感应强度B按图（b）所示规律周期性变化，图（b）中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t=0时刻。求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）图（b）中时刻电荷与O点的水平距离；
（3）如果在O点正右方43.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，其在电场中加速运动的时间为，由匀变速直线运动规律得
由牛顿第二定律得
qE=ma
代入数据解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得
当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径
做圆周运动的周期
代入数据解得
同理可得，当磁场垂直纸面向里时，电荷圆周运动的半径为
做圆周运动的周期
电荷从时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图所示
从电荷第一次通过开始其运动的周期为
所以时刻粒子距离O点的水平距离为
（3）由第（2）的分析可知，每经过一个周期，粒子在水平方向向右前进，根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为9个，即
则最后的距离如图所示
由几何关系可得
解得
即
故电荷运动的总时间
【例4】(2022·山东日照市高三模拟) 如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，间距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．
(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．
【答案】(1)(n＝1,2,3……) (2)x＝d
【详解】(1)设经时间t粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为a，则a＝
半个周期内，粒子向上运动的距离为
y＝a()2
d＝2ny
t＝nT
联立得T＝(n＝1,2,3……)
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有qv0B0＝m
解得r＝d
要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半个周期内，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示，由几何关系得
r＋2rsin θ＝d
解得sin θ＝0.5
则粒子打到Q板的位置距出发点的水平距离为
x＝r－2r(1－cos θ)＝d.
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力，则（ ）
A．若电子以相同的速率从右向左飞入，电子也沿直线运动
B．若电子以相同的速率从右向左飞入，电子将向下偏转
C．若电子以相同的速率从左向右飞入，电子将向下偏转
D．若电子以相同的速率从左向右飞入，电子也沿直线运动
【答案】D
【详解】AB．若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以向上偏。故AB错误；
CD．若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下，由题意知电子受力平衡将做匀速直线运动。故C错误；D正确。
故选D。
2．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b。不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场力跟重力平衡
C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小
D．小球在运动过程中机械能守恒
【答案】B
【详解】AB．由于小球在竖直平面内做匀速圆周运动，所以重力与电场力的合力为0，电场力方向竖直向上，小球带正电，故A错误，B正确；
C．从，电场力做负功，电势能增大，故C错误；
D．由于小球运动过程中有电场力做功，小球机械能不守恒，故D错误。
故选B。
3．（2022·北京石景山·高三期末）如图所示，下端封闭、上端开口、内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一带电小球，玻璃管的右侧存在有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。从某时刻开始，玻璃管在外力作用下，始终保持不变的速度，沿垂直于磁场方向进入磁场中运动，最终小球从上端管口飞出。在这一过程中，小球所带电荷量保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．带电小球受到的洛伦兹力做正功
B．玻璃管对带电小球的弹力不做功
C．带电小球在竖直方向做匀加速直线运动
D．带电小球的机械能保持不变
【答案】C
【详解】A．洛伦兹力始终与速度垂直不做功，故A错误；
B．带电小球在磁场中运动时，有水平向右的速度分量和竖直向上的速度分量，由左手定则知洛伦兹力斜向左上方，因此玻璃管对带电小球有向右的弹力，该弹力对小球做正功，故B错误；
C．玻璃管在外力作用下始终保持不变的速度，则小球向右的速度分量保持不变，竖直向上的洛伦兹力分量保持不变，因此在竖直方向小球做匀加速直线运动，故C正确；
D．小球在磁场中运动过程中，受重力，洛伦兹力和玻璃管对其向右的弹力，洛伦兹力不做功，弹力对其做正功，因此小球的机械能不守恒，故D错误。
故选C。
4．（2022·全国·高三课时练习）如图甲所示，在xOy坐标系的一、四象限存在匀强磁场，规定垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示，t=0时刻，一个比荷的正电荷从(0，)处以v0=1.0×104m/s的速度沿y轴负方向射入磁场，则正电荷从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为（ ）
A．s B．s
C．s D．s
【答案】C
【详解】洛伦兹力提供向心力，则
解得
r=0.4m
圆周运动的周期为
则粒子每次圆周运动持续三分之一周期，对应的圆心角为120°；
位移大小
位移方向与y轴负方向成60°角，正电荷射入磁场后到x轴的轨迹如图；
正电荷第一次运动到x轴应为A点，运动时间为
故选C。
5．（2020·湖南·岳阳市教育科学技术研究院二模）电场强度为的匀强电场水平向右，匀强磁场与匀强电场垂直，磁感应强度大小为，方向如图所示。一带电小球斜向右上做匀速直线运动，速度与水平方向的夹角为，该小球运动的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】带电小球斜向右上做匀速直线运动由力的平衡可知
解得
B正确，ACD错误。
故选B。
6．（2022·海南·高三阶段练习）如图所示，在真空中竖直平面（纸面）内边长为a的正方形ABCD区域，存在方向沿CB（水平）的匀强电场和方向垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球以速率（g为重力加速度大小）从A点沿AC方向射入正方形区域，恰好能沿直线运动。下列说法正确的是（ ）
A．该小球带负电
B．磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外
C．若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球将做直线运动
D．若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A点沿AC方向以速率射入正方形区域，则小球将从D点射出
【答案】D
【详解】AB．小球做直线运动，说明小球受力平衡，小球重力方向竖直向下，小球带正电，受电场力水平方向向左，洛伦兹力方向垂直AC斜向上，则磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，AB错误；
C．若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球的合力不为零，速度会变化，洛伦兹力也会变化，小球将做曲线运动，C错误；
D．电场水平向左，由物体的平衡条件有
（其中）
电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上后，电场力与重力平衡，小球沿逆时针方向做匀速圆周运动，设轨道半径为r，有
解得
小球将从D点射出，D正确。
故选D。
7．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，空间中存在正交的匀强电场和匀强磁场（未画出），匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为E，匀强磁场磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电小球以水平向右、大小为v的初速度从图示位置抛出，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．若磁场方向水平向右，则小球能做匀变速运动
B．若小球先向上偏转，则一定有
C．小球可能在竖直面内做圆周运动
D．若小球带正电，小球一定做变加速曲线运动
【答案】C
【详解】A．若磁场方向水平向右，小球抛出后瞬间只能有竖直方向上的加速度，加速后合速度方向与磁场方向夹角不为0，小球受洛伦兹力影响，加速度方向随速度会发生变化，故A错误；
B．若小球带负电且磁场方向垂直纸面向外，若小球先向上偏转，根据牛顿第二定律，有
且，当时，与的大小无法判断，故B错误；
C．若小球带负电且磁场方向垂直纸面，当
时，小球只受与速度方向垂直的洛伦兹力作用，在竖直面内做匀速圆周运动，故C正确；
D．若小球带正电且磁场方向垂直纸面向外，则初始时刻在竖直向下的电场力、洛伦兹力和重力的作用下产生竖直向下的加速度，速度方向、大小均发生变化，由于小球所受洛伦兹力方向与小球速度方向垂直且大小与速度大小有关，因此小球所受合力的大小和方向均不断变化，小球做变加速曲线运动；
若小球带正电且磁场方向垂直纸面向里，则初始时刻在竖直向下的电场力和重力、向上的洛伦兹力，若满足
则小球做匀速直线运动，故D错误。
故选C。
8．（2021·黑龙江·哈九中高三期末）如图所示，两个半径相同的半圆形光滑轨道分别竖直放在匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上。两个相同的带正电小球（可视为质点）同时分别从轨道的左端最高点由静止释放，M、N分别为两轨道的最低点，则下列说法正确的是（ ）
A．两小球到达轨道最低点时的速度相等
B．两小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力FM>FN
C．两小球从释放到第一次到达轨道最低点的时间tM>tN
D．两小球在运动过程中都机械能守恒
【答案】B
【详解】ACD．由于小球在磁场中运动，只有重力做功，磁场力对小球不做功，整个过程中小球的机械能守恒；而小球在电场中运动时除重力做功外还受到的电场力对小球做负功，到达最低点时的速度较小，在电场中运动的时间也较长，同时小球的机械能减小，选项ACD错误；
B．小球在磁场中运动，在最低点进行受力分析可知
解得
小球在电场中运动，在最低点受力分析可知
解得
因为
可知
故B正确；
故选B。
9．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B．滑块经过最低点时的加速度比磁场不存在时小
C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小
D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等
【答案】D
【详解】A．由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，故A错误；
B．滑块经过最低点时的加速度
a＝
则与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，故B错误；
C．由左手定则可知，滑块经过最低点时受到的洛伦兹力向下，而与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时所受的向心力不变，故轨道对滑块的支持力变大，故滑块对轨道的压力变大，故C错误；
D．由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，不做功，在任意一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等，故D正确。
故选D。
10．（2022·安徽·定远县育才学校高三阶段练习）如图，长直导线水平固定放置，通有向右的恒定电流，绝缘细线一端系于导线上的点，另一端系一个带电小球，细线拉直，第一次让小球在A点由静止释放，让小球绕点沿圆1在竖直面内做圆周运动；第二次让小球在点由静止释放，让小球绕点沿圆2在竖直面内做圆周运动。圆1与直导线在同一竖直面内，圆2与直导线垂直，A、两点高度相同，不计空气阻力，则两次小球运动到最低点时（ ）
A．速度大小相等，线的拉力相等 B．速度大小不等，线的拉力相等
C．速度大小相等，线的拉力不等 D．速度大小不等，线的拉力不等
【答案】C
【详解】由于洛伦兹力不做功，只有重力做功，所以两次小球运动到最低点时，根据动能定理可知，合外力做功相同，所以两次在最低点小球的速度大小相等，在圆1中小球在最低点速度方向与磁场方向相互垂直，根据左手定则，如果两小带正电，则在圆1中小球在最低点线的拉力大小为
在圆2中小球在最低点速度方向与磁场方向相互平行，洛伦兹力为0，则在圆1中小球在最低点线的拉力大小为
则两次小球运动到最低点时，线的拉力不等，所以C正确；ABD错误；
故选C。
二、多选题
11．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右(图甲中由B到C)，场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB=BC=l，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0：1
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1：2
C．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π：2
D．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5
【答案】BCD
【详解】A．在t=1s时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如图所示；由牛顿第二定律得
qv0B0=
粒子的轨道半径，R=l，则
B0=
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向
l=v0t
水平方向
l=at2
其中
而
E0=
则
故A错误；
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比
故B正确；
C．第一个粒子的运动时间
t1=T=
第二个粒子的运动时间
t2=
第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比
t1：t2=π：2
故C正确；
D．第二个粒子，由动能定理得
qE0l=Ek2－
Ek2=
第一个粒子的动能Ek1=，第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5，故D正确。
故选BCD。
12．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一水平放置的平行板电容器充电以后与电源断开，并在其间加上垂直纸面向里的匀强磁场；某带电质点以某一速度从水平平行板中央进入正交的匀强电场和匀强磁场中，刚好做匀速直线运动。下列说法正确的是（ ）
A．该质点一定带正电
B．该质点可能带负电
C．若仅磁场增大，质点将向上偏转
D．若将下极板缓慢向下移动，质点将向下偏转，速率越来越大
【答案】AC
【详解】AB．在平行板之间有匀强磁场和匀强电场，带电质点做匀速直线运动，所以带电质点受力平衡，重力向下，根据左手定则，电场力和洛伦兹力方向相同，则洛伦兹力向上，则
mg=Eq+qvB
所以带电质点带正电，故A正确，B错误；
C．如果磁场增大，则该质点所受洛伦兹力将增大，质点向上偏转，故C正确；
D．将下极板向下移动，根据电容的决定式可得电容减小，由题意可知电容器极板的电荷量不变，则根据公式U=、E=可得
即电场强度的大小与两极板的距离无关，所以电场强度不变，质点将继续做匀速直线运动，故D错误。
故选AC。
13．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（ ）
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
D．小球向下运动的稳定速度为
【答案】CD
【详解】A．小球静止时只受静电力、重力、弹力及摩擦力，静电力水平向左，弹力水平向右，摩擦力竖直向上；开始时，对小球，由牛顿第二定律有
mg-μEq=ma
小球的加速度为
a=g-
小球速度增大，受到洛伦兹力，由左手定则可知，洛伦兹力向右，故水平方向弹力将减小，摩擦力减小，故加速度先增大，故A错误；
B．在下降过程中有摩擦力做功，故有部分能量转化为内能，故小球的机械能和电势能的总和将减小，故B错误；
C．当洛伦兹力大小等于静电力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达到最大；此后速度继续增大，则洛伦兹力增大，水平方向上的弹力增大，摩擦力将增大，加速度将减小，直到加速度减小为零后做匀速直线运动；故加速度为最大加速度的一半时有两种情况，一种是洛伦兹力小于静电力的情况，另一种是洛伦兹力大于静电力的情况，当洛伦兹力小于静电力时有
解得
当洛伦兹力大于静电力时有
解得
故C正确；
D．当加速度等于零时，速度最大且保持稳定，有
mg=μ(Bqv3-Eq)
解得
v3=
故D正确。
故选CD。
14．（2022·辽宁·模拟预测）如图所示，粗细均匀的光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，处在垂直于圆环所在平面向里的匀强磁场中，是圆环的水平直径，半径等于R，一个质量为m，电荷量为q的带电小球套在半圆环上，在M点由静止释放，小球第一次运动到圆环最低点P时，圆环对小球的作用力大小等于mg，g为重力加速度，匀强磁场的磁感应强度大小可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BD
【详解】根据机械能守恒
解得
小球运动到P点时受到的合外力为
方向指向圆心；在最低点，若环对小球作用力向上，小球受到的洛仑兹力一定向上，且
解得
若环对小球的作用力向下，则小球受到向上的洛仑兹力，且
解得
故选BD。
15．（2022·湖北·模拟预测）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心，两圆形成的圆环内有垂直圆面向里的匀强磁场（圆形边界处也有磁场），磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为的粒子由大圆上的A点以速率沿大圆切线方向进入磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，粒子运动的路程为
B．经过时间，粒子第1次回到A点
C．运动路程时，粒子第5次回到A点
D．粒子不可能回到A点
【答案】AB
【详解】依题意，可作出粒子的运动轨迹如图所示
A．依题意，可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，由几何知识可得此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，则粒子运动的路程为
故A正确；
B．粒子第1次回到A点，由几何知识可得粒子在磁场运动的总时间为
在无磁场区域运动的总时间为
则粒子第1次回到A点运动的时间为
故B正确；
C．由几何知识，可得粒子第一次回到A点运动路程
则粒子第5次回到A点时，运动的总路程为
故C错误；
D．由以上选项分析可知，粒子能回到A点，故D错误。
故选AB。
三、解答题
16．（2022·青海·海东市第一中学二模）一除尘装置的截面图如图所示，其原理是通过板间的电场或磁场，使带电尘埃偏转并吸附到极板上，以此达到除尘的目的。已知金属极板M、N长为d，间距也为d。大量均匀分布的尘埃以相同的水平速度v0（未知）进入除尘装置，每个尘埃颗粒质量为m、电荷量为﹣q。当板间区域同时加入竖直方向的匀强电场（未画出）和垂直于纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小为B0）时，尘埃恰好沿直线通过该区域。若只撤去电场，恰好无尘埃从极板右侧射出，收集效率（打在极板上的尘埃占尘埃总数的百分比）为100%。不计尘埃的重力和尘埃之间的相互作用以及尘埃对板间电场、磁场的影响。
（1）求水平速度v0的大小。
（2）若撤去极板区域的磁场，只保留原来的电场，则除尘装置的收集效率是多少?
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）沿N极板射入的尘埃恰好不从极板右侧射出时，尘埃的运动轨迹如图所示
由几何知识可知，尘埃在磁场中的运动半径
尘埃在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
（2）电场、磁场同时存在时，尘埃做匀速直线运动，有
撤去磁场后尘埃在电场力作用下做类平抛运动，假设到N极板距离为y的尘埃恰好离开电场水平方向有
竖直方向有
加速度
联立可解得
当时，尘埃运动时间更长，水平位移，即到N极板0.5d到d这段距离的尘埃会射出电场，则从平行金属板射出的尘埃占总数的百分比为
17．（2022·湖南·模拟预测）如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场。图乙中T0为未知量，不计粒子的重力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。
（1）若粒子射入磁场时的速度为v0，求时间内粒子做匀速圆周运动的半径；
（2）若粒子恰好不能从Oy轴射出磁场，求磁感应强度变化的周期；
（3）若使粒子能从坐标为（d，d）的D点平行于Ox轴射出，求射入磁场时速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力得
解得
（2）要使粒子恰好不从轴射出，轨迹如图
在前内的运动半径为
在后内的运动半径
由几何关系知
解得
粒子做圆周运动的周期
则
解得磁感应强度变化周期
（3）要想使粒子经过点且平行轴射出，则粒子只能从时刻经过点，（其中），则轨迹如图
设粒子射入磁场的速度为，由（2）可得
由几何关系可知
又
解得
18．（2022·全国·高三课时练习）在竖直平面内建立xOy坐标系，在坐标系的第Ⅰ象限的OyPQ范围内存在如图所示正交的匀强电场和匀强磁场，PQ平行于y轴且到y轴的距离为(＋1)l。质量为m、电荷量为q的微粒从第Ⅱ象限的a点沿xOy平面水平抛出，微粒进入电、磁场后做直线运动；若将匀强电场方向改为竖直向上，微粒仍从a点以相同速度抛出，进入电、磁场后做圆周运动，且运动轨迹恰好与x轴和直线PQ相切，最后从y轴上射出。重力加速度为g。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）微粒抛出时的初速度大小v0及a点坐标。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）如图1所示
设微粒进入第Ⅰ象限时速度的偏转角为α，由电场方向竖直向上时微粒做圆周运动且运动轨迹恰好与x轴和直线PQ相切可知
电场方向未改变时，微粒在电、磁场中做直线运动时所受合外力为零，受力如图2所示
可得
联立解得
（2）由图2可知
解得
设微粒做平抛运动的时间为t1，则
其中
则
a点横坐标为
纵坐标为
解得a点的坐标为
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