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新高考物理一轮复习重难点练习难点20 带电粒子在组合场中的运动（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点练习难点20 带电粒子在组合场中的运动（含解析），共44页。试卷主要包含了组合场，分析思路，常见粒子的运动及解题方法等内容，欢迎下载使用。
难点20 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
3．常见粒子的运动及解题方法
一、磁场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．
【例1】(2020·江苏卷·16) 空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响．求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝m可知r＝，
故r1＝，r2＝
且d＝2r1－2r2
解得d＝
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝＝得t1＝，t2＝
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有n＝d，n＝t1＋t2
解得＝n
根据题意，n＝1舍去．
当n＝2时，有最小值，()min＝
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇．
综上分析，乙的比荷的最小值为.
二、 电场与磁场的组合
（一）先电场后磁场
1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲．
2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图乙．
【例2】（2022·湖北·武汉市长虹中学高三阶段练习）如图所示，在的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在的空间中存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子以速度大小v沿x轴正方向从点射入电场，之后依次经过点、。不计粒子的重力。求：
（1）电场强度大小；
（2）粒子到达P2时速度的大小和方向；
（3）磁感应强度大小。
【答案】（1）；（2），方向斜向右下；（3）
【详解】（1）粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子从 P1 运动到 P2 的时间为t，电场强度大小为E，粒子在电场中的加速度大小为a，由牛顿第二定律，有
根据平抛运动规律，有
联立解得
（2）粒子到达P2 时，合速度大小为v，沿x方向的速度分量为v0，沿y方向的速度分量为vy，合速度方向与x轴正方向的夹角为，有
由图可得
联立解得
方向斜向右下，与x轴正方向夹角为
（3）粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设圆半径为r，磁感应强度大小为B，由牛顿第二定律，有
由图可知
所以
并结合速度夹角，由几何关系可知，连线P2P3为磁场圆的直径，则
联立解得
（二）先磁场后电场
1．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
2．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．
【例3】（2022·江西省乐平中学高三阶段练习）如图，在直角坐标平面的轴与直线之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，在坐标原点处有一粒子源，在坐标平面内沿与y轴正方向成的夹角向磁场内射入大量质量为、电荷量为的带正电粒子，这些粒子的速度v满足（未知），这些粒子第一次在磁场中运动的最长时间为，最短时间为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
（1）求匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小；
（2）求粒子射入磁场Ⅰ的最大速度；
（3）若在直线与直线之间有沿x轴负方向的匀强电场，要使所有粒子不能从直线射出电场，求电场强度的最小值；若直线与直线之间有垂直坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ的磁感应强度与磁场Ⅰ的磁感应强度大小相等，求在直线上有粒子射出区域的长度。
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）在磁场Ⅰ中运动时间最长的粒子的运动轨迹所对的圆心角为，根据题意有
解得
（2）根据题意可知，速度最大的粒子第一次在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，设此粒子做圆周运动的半径为，由几何关系可知
解得
根据牛顿第二定律有
解得
（3）由题意知，速度最大的粒子第一次经过直线时，速度方向垂直直线，由此可知，若在直线与直线之间有沿轴负方向的匀强电场，速度最大的粒子不能从直线射出，则其他粒子也不能从直线射出，设电场强度的最小值为，根据动能定理有
解得
若在直线与直线之间有匀强磁场Ⅱ，由于两磁场的磁感应强度大小相等，因此每个在两磁场中运动的粒子，在两磁场中做圆周运动的轨迹半径相同。进入磁场Ⅱ的两个边界粒子运动轨迹如图所示。则在直线上P、Q间有粒子射出
根据几何关系，P点到轴的距离
设Q点到轴的距离为，则有
解得
因此P、Q间的距离
（三）粒子多次进出电场、磁场的运动
【例4】（2022·全国·高三课时练习）空间存在平面直角坐标系xOy，在x<0区域内有沿x轴正向的匀强电场，在x>0区域内有垂直平面向外的匀强磁场，在第二象限内有矩形OACD，OA=h，OD=2h。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从A点沿y轴正方向以某速度射入第二象限，经t0时间后由D点进入磁场，又经一段时间射出磁场后又回到A点，现只改变粒子自A点出射速度大小至v，粒子经过一段时间运动后可经过C点，求：
（1）匀强电场的电场强度大小和粒子的初速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）能使粒子以最短时间从A点运动至C点的初速度。
【答案】（1）E=，v0=；（2）B=；（3）
【详解】（1）设匀强电场的电场强度大小为E，粒子的初速度大小为v0，粒子从A点进入电场以后做类平抛运动，有
h
v0t0=2h
解得
E=
v0=
（2）设粒子从D点进入磁场时速度方向与y轴正方向的夹角为θ1，则根据类平抛运动规律的推论可得
tanθ1=
解得
θ1=60°
则粒子进入磁场时的速度大小为
v1=
由题意，根据对称性可知粒子将从D点关于O点对称的点从磁场射入电场中，根据几何关系可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
r1=h
根据牛顿第二定律有
qv1B=m
联立解得
B=
（3）粒子自A点出射速度大小变为v后，易知粒子从A第一次运动到y轴所需的时间仍为t0，设粒子第一次到达y轴的坐标为（0，y1），速度大小为v2，方向与y轴正方向成θ2角，则有
vt0=y1
v2sinθ2=
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
r2=v2t0
设粒子第二次到达y轴的坐标为（0，-y2），根据几何关系可得
y1+y2=2r2sinθ2
当粒子从A点射出后在电场中做类平抛运动后离开电场，之后经过磁场偏转回到电场中最后到达C点，此过程就是粒子以最短时间从A点运动至C点的过程，根据对称性可得
2h+y2=y1
联立解得
v=
一、单选题
1．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在平面的第Ⅱ象限内有半径为的圆分别与轴、轴相切于、两点，圆内存在垂直于面向外的匀强磁场。在第Ⅰ象限内存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度为。一带正电的粒子（不计重力）以速率从点射入磁场后恰好垂直轴进入电场，最后从点射出电场，出射方向与轴正方向夹角为，且满足。下列判断中正确的是（ ）
A．粒子将从点射入第Ⅰ象限
B．粒子在磁场中运动的轨迹半径为
C．带电粒子的比荷
D．磁场磁感应强度的大小
【答案】C
【详解】AC．在M点，根据类平抛运动规律，有
解得
故A错误，C正确；
BD．粒子运动轨迹如图
设O1为磁场的圆心，O2为粒子轨迹圆心，P为粒子射出磁场的位置，则有
P′O2∥PO1
△O1O2P≌△O2O1P′
则粒子的轨道半径为
r=R
由牛顿第二定律可得
解得
故BD错误。
故选C。
2．（2022·云南·二模）如图所示，在第二象限存在方向垂直平面向外的匀强磁场，在第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m，带正电的粒子从点以速度v0向y轴正方向射出，经磁场偏转后从y轴上的某点垂直y轴射入电场，经电场偏转后通过x轴上的点N（d，0），不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在电场中的运动时间大于在磁场中的运动时间
B．粒子在电场中的运动时间可能等于在磁场中的运动时间
C．电场强度与磁感应强度的比值为
D．电场力对粒子做的功为
【答案】C
【详解】AB．粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，运行的轨迹为四分之一圆弧，可知运动时间
粒子在电场中的运动时间
可知在磁场中的运动时间大于在磁场中的运动时间。故AB错误。
C．根据半径公式有
解得
在电场中，有
解得
则
故C正确。
D．电场力对粒子做的功为
故D错误。
故选C。
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，重力不计，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点。已知OA＝OC＝d。则磁感应强度B和电场强度E可表示为（ ）
A．， B．，
C． ， D．，
【答案】B
【详解】设带电粒子经电压为U的电场加速后速度为v，则
qU＝mv2
带电粒子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，有
qBv＝
依题意可知r＝d，联立可解得磁感应强度
带电粒子在电场中偏转，做类平抛运动，设经时间t从P点到达C点，水平方向有
d＝vt
竖直方向有
联立可解得电场强度
故ACD错误，B正确。
故选B。
4．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场，粒子在磁场中转半个圆周后打在P点，测出OP距离为x，下列x－U图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】在加速电场中，由动能定理得
磁场中，洛伦兹力提供向心力，有解得
则得
B、m、q都一定，则由数学知识得到，x－U图像是开口向右的抛物线。
故选B。
5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小。在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在该平面内有一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点以初速度v0沿y轴负方向射出，P点的坐标为，粒子恰好能打到y轴上，不考虑粒子的重力，则匀强磁场的磁感应强度B的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图所示
粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴负方向做匀速直线运动，有
沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度
则沿x轴正方向的位移
设射出电场时粒子的速度v方向与初速度v0方向的夹角为θ，根据类平抛运动的推论得
则
θ＝60°
所以
粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好打到y轴上时，轨迹与y轴相切，设粒子轨迹半径为r，根据几何关系得
r＋rcos60°＝2d＋x
解得
r＝2d
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
故选C。
6．（2022·河北邯郸·二模）如图所示，氕、氘、氚三种核子分别从静止开始经过同一加速电压（图中未画出）加速，再经过同一偏转电压偏转后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，氕的运动轨迹如图。则氕、氘、氚三种核子射入磁场的点和射出磁场的点间距最大的是（ ）
A．氕 B．氘 C．氚 D．无法判定
【答案】C
【详解】带电粒子射出加速电场时速度由
射出偏转电场的偏转角为，运动轨迹如图所示，
有
又洛伦兹力提供向心力
得
由几何关系得
氕、氘、氚三种核子，氚比荷最小，故射入磁场的点和射出磁场的点间距最大，C正确。
故选C。
7．（2021·山东日照·三模）现代科学仪器常用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度都相同，长度足够长。电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个带正电的粒子在第1层左侧边界某处由静止释放，不计粒子的重力及运动时的电磁辐射。已知粒子从第4层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为30°。若保证粒子不能从第一层磁场右边界穿出，至少为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【详解】设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨道半径为rn，则有
设粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为，从第n磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为 ，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，则有
由图甲可知
则有
则
为一组等差数列，公差为d，可得
当n=1时，由图乙可知
则
解得
若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则 即
由题目可知当n=4时，，即
当时，联立解得
所以B正确；ACD错误；
故选B。
8．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，一对水平正对放置的平行金属板长为L，间距为d，在板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，特定速度的带电粒子从两板正中间的O点平行于两板射入，能在两板间匀速通过，其他速度的粒子会发生偏转，这种装置叫速度选择器。在调试过程中，从O点射入的粒子带正电q、质量为m，速度大小恒定、方向平行于两板。第一次调试，在两板间不加磁场，只加电场，调整电场强度，使粒子恰好从下极板的右边缘Q点离开板间区域，此时电场强度为E。第二次调试，在两板间不加电场，只加磁场，调整磁感应强度，使粒子恰好从上极板的右边缘P点离开板间区域，此时磁感应强度为B．第三次调试，板间既有电场、又有磁场，保持上述电场强度E、磁感应强度B不变。不计粒子所受的重力，下列判断正确的是（ ）
A．由第一次调试可算得粒子从O点射入时的速度大小
B．与第一次调试比较，第二次调试粒子在两板间运动的时间较短
C．在第三次调试时，粒子恰能在板间做匀速直线运动
D．在第三次调试时，粒子在板间运动的速度逐渐增大
【答案】D
【详解】A．第一次调试，粒子在电场力作用下做类平地运动有
可得
A错误；
B．第一次调试时，粒子在水平方向做匀速运动，第二次调试时，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，水平方向上带电粒子在洛伦兹力水平向左的分力作用下做减速运动，如图甲，所以第二次调试时，粒子在两板间运动的时间较长，B错误；
CD．第一次调试，粒子做类平抛运动，
可得
第二次调试，粒子做匀速圆周运动，如图乙，
即
，
所以，在电场、磁场同时存在时，向下偏转，电场力做正功，速度增大，C错误，D正确。
故选D。
9．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在两个半径均为r=0.1m的半圆形区域ACD和FGH中，分布有磁感应强度为B=0.2T，垂直纸面向里的匀强磁场；在相距为d=0.1m的AD和FH之间分布有电场强度为E=0.1N/C，方向随时间不断变化的匀强电场。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从ACD的圆心O1点由静止释放，保证粒子每次经过电场区域均能加速，且粒子最终以v=10m/s的速度从A点向上射入ACD区域，恰好从D点射出，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场方向变化的周期可表示为
B．该粒子的比荷为2×103C/kg
C．粒子从开始加速到穿出磁场，共经电场加速10次
D．粒子第n次加速后，其在磁场中的运动半径变为第（n-1）次加速后的倍
【答案】C
【详解】A．由于粒子每转半周交变电场方向改变一次，所以交变电场的周期为粒子做匀速圆周运动周期的一半，即
A错误；
B．设经过n次加速后粒子以速度为v=10m/s从A点射出，在这半周中洛伦兹力提供向心力
所以有
B错误；
C．从开始到射出，由动能定理
求得
n=10
C正确；
D．由动能定理经过n-1次加速时
粒子做圆周运动的半径
同理经n次加速后的半径为
则
D错误。
故选C。
10．（2020·江苏·高三阶段练习）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场。电场的方向水平向右，场强大小随时间变化情况如图乙所示。磁感应强度方向垂直纸面，大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向（垂直于BC）以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好能击中C点，若AB=BC=L，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计空气阻力和粒子的重力，对于各粒子由A运动到C的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为2v0∶3
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为2∶1
C．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1∶4
D．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为 π∶2
【答案】D
【详解】A．在时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如图2所示
由牛顿第二定律得
粒子的轨道半径，，则
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向
水平方向
而
则
故A错误；
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比
故B错误；
C．第二个粒子，由动能定理得
，第一个粒子的动能，第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为，故C错误；
D．第一个粒子的运动时间
第二个粒子的运动时间
第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比
故D正确，
故选D。
二、多选题
11．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）直角坐标系xOy如图所示，为第四象限内的一点，一质量为m、电量为q的负电荷（电荷重力不计）从原点O以初速度沿y轴正方向射入，第一次在整个坐标系内加垂直纸面向内的匀强磁场，该电荷恰好能通过P点；第二次保持区域磁场不变，而将区域磁场改为沿x轴方向匀强电场，该电荷仍通过P点，以下选项正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度
B．匀强电场的电场强度
C．电荷从O点运动到P点，第二次所用时间一定短些
D．电荷通过P点时的速度，第二次与x轴负方向的夹角一定大些
【答案】BCD
【详解】A．第一次在整个坐标系内加垂直纸面向内的匀强磁场，该电荷恰能通过P点，粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
由几何知识可知
解得
由
解得
故A错误；
B．第二次保持区域磁场不变，而将区域磁场改为沿x轴方向匀强电场后，水平方向有
竖直方向有
联立解得
故B正确；
C．第二次保持区域磁场不变，而将区域磁场改为沿x轴方向的匀强电场，该电荷仍通过P点，粒子在第一象限做匀速圆周运动．在第四象限做类平抛运动，运动时间
第一次做匀速圆周运动时间
弧长大于，所以
电荷从O点运动到P点，第二次所用时间一定短些，故C正确；
D．电荷第一次通过P点时，速度与x轴负方向的夹角为α，则
第二次速度与x轴负方向的夹角为θ，则
所以有
则电荷通过P点时的速度，第二次与x轴负方向的夹角一定大些，故D正确。
故选BCD。
12．（2021·河南·义马市高级中学高三阶段练习）磁场、电场可以控制带电粒子按一定的轨迹运动。如图所示，A、B、C三点构成的直角三角形边界内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场，∠A=90°、∠B=60°，AB的边长为L，一荷质比为k的带正电粒子（不计重力）从A点沿着AC边界射入磁场，恰好垂直BC边界从D射出，立即进入在纸面内辐射状电场，恰好做匀速圆周运动，经过圆周运动从P射出电场，圆弧轨迹处的电场强度大小均为E，圆弧轨迹的圆心正好在B点，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在电场中做匀速圆周运动的半径为L
B．粒子运动的速率为
C．匀强磁场的磁感应强度为
D．粒子从A点到P点的运动时间
【答案】AD
【详解】A．根据题意及图像由几何关系可知粒子在电场中做匀速圆周运动的半径为L，A正确；
B．根据电场力提供向心力有
解得
B错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
C错误；
D．粒子从A点到P点的运动时间为
D正确。
故选AD。
13．（2022·全国·模拟预测）如图所示，a、b为竖直正对放置的平行金属板构成的偏转电场，其中a板带正电，在金属板下方存在一有界的匀强磁场，磁场的上边界为与两金属板下端重合的水平面PQ，PQ下方的磁场范围足够大。一带负电粒子以某一速度从两板中间位置平行于板的方向射入偏转电场，从M点进入磁场，在磁场中运动一段时间后又从PQ边界上的N点射出磁场（M、N点图中均未画出）。不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．只减小磁感应强度，则M、N间的距离不变
B．只减小两平行金属板间的距离，则M、N间的距离不变
C．只减小粒子射入金属板时的速度，则粒子从M运动到N的时间变大
D．只减小粒子射入金属板时的速度，则粒子从M运动到N的时间变小
【答案】BC
【详解】A．粒子在电场、磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子进入磁场时的速度为v，在磁场中做圆周运动的半径为R，MN距离为d，如图由几何关系可得
又因为
故
联立可得
故只减小磁感应强度，d增大，故A错误；
B．由可知，d与两平行金属板间的距离无关，故只减小两平行金属板间的距离，M、N间的距离不变，故B正确；
CD．粒子在磁场中做圆周运动的周期为
故粒子在磁场中的运动时间为
设电场强度为E，平行板电容器板长为l，故粒子在电场中运动的加速度为
在电场中的运动时间为
所以进入磁场时速度与水平方向的夹角为
故只减小粒子射入金属板时的速度，减小，粒子在磁场中的运动时间变长，C正确，D错误。
故选BC。
14．（2022·福建省龙岩第一中学模拟预测）如图所示，第I象限存在垂直于平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场，已知P点坐标为。一个质量为m，电荷量为q的带电粒子以的速度从P点沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入匀强磁场中，不计粒子的重力，以下说法正确的是（ ）
A．电场强度 B．带电粒子到达O点时的速度大小
C．粒子射出磁场位置到O点的距离 D．在磁场中带电粒子运动的时间
【答案】CD
【详解】粒子运动轨迹如图
A．由题知，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律知，沿x轴方向有
沿y轴方向有
解得
A错误；
B．沿y轴方向有
解得
则到达O点时速度大小为
B错误；
C．经分析知
则
由洛伦兹力提供向心力有
解得
由几何关系，粒子运动的轨迹与x轴的交点到O点的距离
C正确；
D．带电粒子在匀强磁场中运动的周期
在磁场中运动的时间为
D正确。
故选CD。
15．（2022·云南昆明·一模）如图甲所示的平行金属极板MN之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸面向外为磁场正方向，磁感应强度随时间周期性变化的规律如图乙所示，取垂直极板向上为电场正方向，电场强度随时间周期性变化的规律如图丙所示。时，一不计重力、 带正电的粒子从极板左端以速度沿板间中线平行极板射入板间，最终平行于极板中线射出，已知粒子在时速度为零，且整个运动过程中始终未与两极板接触，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能在时刻射出极板 B．极板间距不小于
C．极板长度为（，，） D．
【答案】BD
【详解】根据题意可知，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且转了周，在内，粒子在电场中向下做减速运动到速度为零，在内，粒子在电场中向上做加速运动到速度为，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，转了周，粒子回到极板中线，速度平行于极板中线，接下来粒子周期性地重复以上运动，粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示
A．粒子一个运动周期为
故粒子射出极板的时刻可能为
（，，）
A错误；
B．粒子在磁场中，设粒子的轨迹半径为，则有
解得
粒子在电场向下减速的位移为
故极板间距应满足
B正确；
C．极板长度可能为
（，，）
C错误；
D．粒子在磁场中，有
解得
粒子在电场中，有
解得
可得
D正确；
故选BD。
三、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在的区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在的区域内存在垂直x轴方向的匀强电场（图中未画出），从原点O沿y轴正方向发射的粒子刚好从磁场右边界上点离开磁场进入电场，经电场偏转后到达x轴上的Q点，到Q点速度恰好沿x轴正方向，已知粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子重力，求：
（1）粒子经过P点的速度大小和方向；
（2）粒子从O点运动到P点所用时间；
（3）电场强度的大小和方向。
【答案】（1），与y轴负方向夹角等于；（2）；（3），沿y轴负方向
【详解】（1）带电粒子进入磁场后只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，设粒子经过P点的速度大小为v，在磁场中的轨迹半径为r，根据几何关系有
解得
，
在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
解得
由几何关系可得粒子经过P点的速度方向与y轴负方向夹角等于；
（2）粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为
粒子在磁场中的运动时间
（3）粒子在匀强电场中做类斜抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴负方向做匀减速直线运动，到达Q点时沿y轴的速度为零。由牛顿第二定律得
沿y轴方向由运动学公式可得
解得电场强度的大小
在磁场中粒子顺时针偏转，由左手定则可知粒子带负电，在电场中沿y轴负方向做匀减速直线运动，故电场强度的方向沿y轴负方向。
17．（2021·天津静海·高三阶段练习）如图所示，在xoy直角坐标系中，第1象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着方向沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的离子（不计重力）经过电压为U的电场加速后，从x上的A点垂直x轴进入磁场区域，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直y轴进入电场区域，在电场偏转并击中x轴上的C点。已知OA=OC=d。求：
（1）离子进入磁场时的速度大小；
（2）电场强度E和磁感应强度B的大小。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）在加速电场中，由动能定理
解得
（2）由题意，粒子在磁场中做圆周运动的半径为d，在磁场中由洛伦兹力充当向心力
在电场中，带电粒子做类平抛运动，所以在水平方向上有
竖直方向上有
综上可得
18．（2022·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，y轴与x=d之间有斜向右上，方向与x轴正方向成45°角、电场强度大小为E的匀强电场，x=d与x=2d之间有垂直于坐标平面向外的匀强磁场I，在x=2d与x=3d之间有垂直于坐标平面向内的匀强磁场Ⅱ。若在坐标原点O处由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子a，粒子a经电场加速后第一次在磁场I中运动的轨迹恰与x=2d相切。若在坐标原点O处由静止释放一个带正电的粒子b，粒子b经磁场I运动后进入磁场Ⅱ，粒子b第一次在磁场I中运动的偏向角为90°，粒子b第一次在磁场Ⅱ中运动轨迹恰好与x=3d相切，不计两个粒子的重力，求：
（1）匀强磁场I的磁感应强度大小；
（2）粒子b的比荷大小；
（3）粒子b第三次经过x=d时的位置坐标。
【答案】（1）（也对）；（2）；（3）[d，（2+7）d]
【详解】（1）设粒子a进磁场I时的速度大小为v1，根据动能定理有
解得
设粒子a在磁场I中做圆周运动的半径为r1，根据题意及几何关系有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
（也对）
（2）设粒子b在磁场I中运动的轨道半径为r2，根据几何关系有
解得
设粒子b进入磁场I时的速度大小为v2，根据动能定理
根据牛顿第二定律
解得
（3）根据几何关系可知，粒子b在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为r1，根据对称性可知，粒子第二次经过x=d时，速度方向与x=d夹角为45°，大小为v2，设位置坐标为（d，y1），则
y1=d+r1=（2-1）d
粒子b第二次在电场中做类平抛运动，根据运动的对称性可知，粒子沿x轴方向运动到速度为零时，刚好到y轴，设粒子b第二次在电场中运动时间为t，则
解得
设粒子第二次经过x=d和第三次经过x=d的位置之间距离为y2，则
因此粒子b第三次经过x=d的位置坐标为（d，（2+7）d）
19．（2022·河南·洛阳市孟津区第一高级中学高三阶段练习）如图所示，在的区域内存在方向沿y轴负方向的匀强电场，在的区域内存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子a，从y轴上处的P点以某一速度射出，速度方向沿x轴正方向，已知粒子a进入磁场时的速度大小为v，方向与x轴正方向的夹角。粒子a进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为。在粒子a进入磁场的同时，另一不带电粒子b也经x轴进入磁场，运动方向与粒子a进入磁场的方向相同。在粒子a没有离开磁场时，两粒子恰好发生正碰（碰撞时速度方向相反）。不计两粒子重力。
（1）求粒子a从P点射出的速度大小及匀强电场的场强大小E；
（2）求粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标及速度大小；
（3）若两粒子碰后结合在一起，结合过程不损失质量和电荷量，结合体没能进入电场，求粒子b的质量应满足的条件。
【答案】（1）；；（2）0；；（3）
【详解】（1）粒子a在电场中做类平抛运动，x方向速度不变，有
粒子a在电场中运动时，由动能定理有
解得
（2）如图甲所示
粒子a进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径
周期
粒子a没有离开磁场，两粒子恰好发生正碰，说明a在磁场中运动了半个周期与粒子b发生碰撞，设粒子在磁场中运动的时间为t，有
粒子b在磁场中做匀速运动，有
设粒子a进入磁场时的横坐标为，粒子a在电场中运动的时间为，x方向有
y方向有
由几何关系可得
解得
（3）两粒子碰后结合在一起，设粒子b质量为，碰后结合体速度为，碰撞过程由动量守恒定律有
结合体做圆周运动的轨迹半径
当时，结合体速度与粒子a速度方向相同，若结合体运动轨迹恰与x轴相切，如图乙所示
有
解得
当时，结合体速度与粒子b速度方向相同，若结合体运动轨迹恰与x轴相切，如图丙所示
有
解得
综上，若结合体没能进入电场，粒子b的质量需满足的条件为
20．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图xoy坐标系中，y≥0区域有垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场。在第3象限、第4象限有大小均为的匀强电场，方向如图所示均与y轴正方向成45°角。一个不计重力的粒子，质量为m，电荷量为+q，以大小为v0的速度，从O点沿y轴正方向第一次经过x轴。求：
（1）粒子第二次经过x轴时位置的坐标。
（2）粒子第四次经过x轴时位置的坐标，以及粒子从第一次经过x轴到第四次经过x轴所用的时间。
【答案】（1）(，0)；（2）(0，0)，
【详解】（1）粒子第一次经过x轴到第二次经过x轴，轨迹如图所示
粒子在磁场中做匀速圆周运动，则
解得
粒子第二次经过x轴时位置如图所示的A点，则
所以粒子第二次经过x轴时位置的坐标为(，0)。
（2）粒子第二次经过x轴时速度方向沿y轴负方向，经过第四象限，从C点进入第三象限，在D点第三次经过x轴进入第二象限的磁场，经过磁场的偏转，第四次经过x轴。 粒子在第四象限运动时，在x轴方向有
解得
在y轴方向有
解得
同理，粒子在第三象限运动时，其运动和第四象限的运动关于y轴对称，所以粒子在第三象限的运动时间也是，且粒子从D点进入第二象限时，速度方向沿y轴正方向，大小为，且
运动轨迹如图所示
所以粒子第四次经过x轴时位置的坐标为(0，0)；
粒子在第一象限、第二象限的运动时间相同，时间长短为
所以粒子从第一次经过x轴到第四次经过x轴所用的时间为
难点20 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
3．常见粒子的运动及解题方法
一、磁场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．
【例1】(2020·江苏卷·16) 空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响．求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝m可知r＝，
故r1＝，r2＝
且d＝2r1－2r2
解得d＝
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝＝得t1＝，t2＝
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有n＝d，n＝t1＋t2
解得＝n
根据题意，n＝1舍去．
当n＝2时，有最小值，()min＝
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇．
综上分析，乙的比荷的最小值为.
二、 电场与磁场的组合
（一）先电场后磁场
1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲．
2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图乙．
【例2】（2022·湖北·武汉市长虹中学高三阶段练习）如图所示，在的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在的空间中存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子以速度大小v沿x轴正方向从点射入电场，之后依次经过点、。不计粒子的重力。求：
（1）电场强度大小；
（2）粒子到达P2时速度的大小和方向；
（3）磁感应强度大小。
【答案】（1）；（2），方向斜向右下；（3）
【详解】（1）粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子从 P1 运动到 P2 的时间为t，电场强度大小为E，粒子在电场中的加速度大小为a，由牛顿第二定律，有
根据平抛运动规律，有
联立解得
（2）粒子到达P2 时，合速度大小为v，沿x方向的速度分量为v0，沿y方向的速度分量为vy，合速度方向与x轴正方向的夹角为，有
由图可得
联立解得
方向斜向右下，与x轴正方向夹角为
（3）粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设圆半径为r，磁感应强度大小为B，由牛顿第二定律，有
由图可知
所以
并结合速度夹角，由几何关系可知，连线P2P3为磁场圆的直径，则
联立解得
（二）先磁场后电场
1．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
2．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．
【例3】（2022·江西省乐平中学高三阶段练习）如图，在直角坐标平面的轴与直线之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，在坐标原点处有一粒子源，在坐标平面内沿与y轴正方向成的夹角向磁场内射入大量质量为、电荷量为的带正电粒子，这些粒子的速度v满足（未知），这些粒子第一次在磁场中运动的最长时间为，最短时间为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
（1）求匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小；
（2）求粒子射入磁场Ⅰ的最大速度；
（3）若在直线与直线之间有沿x轴负方向的匀强电场，要使所有粒子不能从直线射出电场，求电场强度的最小值；若直线与直线之间有垂直坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ的磁感应强度与磁场Ⅰ的磁感应强度大小相等，求在直线上有粒子射出区域的长度。
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）在磁场Ⅰ中运动时间最长的粒子的运动轨迹所对的圆心角为，根据题意有
解得
（2）根据题意可知，速度最大的粒子第一次在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，设此粒子做圆周运动的半径为，由几何关系可知
解得
根据牛顿第二定律有
解得
（3）由题意知，速度最大的粒子第一次经过直线时，速度方向垂直直线，由此可知，若在直线与直线之间有沿轴负方向的匀强电场，速度最大的粒子不能从直线射出，则其他粒子也不能从直线射出，设电场强度的最小值为，根据动能定理有
解得
若在直线与直线之间有匀强磁场Ⅱ，由于两磁场的磁感应强度大小相等，因此每个在两磁场中运动的粒子，在两磁场中做圆周运动的轨迹半径相同。进入磁场Ⅱ的两个边界粒子运动轨迹如图所示。则在直线上P、Q间有粒子射出
根据几何关系，P点到轴的距离
设Q点到轴的距离为，则有
解得
因此P、Q间的距离
（三）粒子多次进出电场、磁场的运动
【例4】（2022·全国·高三课时练习）空间存在平面直角坐标系xOy，在x<0区域内有沿x轴正向的匀强电场，在x>0区域内有垂直平面向外的匀强磁场，在第二象限内有矩形OACD，OA=h，OD=2h。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从A点沿y轴正方向以某速度射入第二象限，经t0时间后由D点进入磁场，又经一段时间射出磁场后又回到A点，现只改变粒子自A点出射速度大小至v，粒子经过一段时间运动后可经过C点，求：
（1）匀强电场的电场强度大小和粒子的初速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）能使粒子以最短时间从A点运动至C点的初速度。
【答案】（1）E=，v0=；（2）B=；（3）
【详解】（1）设匀强电场的电场强度大小为E，粒子的初速度大小为v0，粒子从A点进入电场以后做类平抛运动，有
h
v0t0=2h
解得
E=
v0=
（2）设粒子从D点进入磁场时速度方向与y轴正方向的夹角为θ1，则根据类平抛运动规律的推论可得
tanθ1=
解得
θ1=60°
则粒子进入磁场时的速度大小为
v1=
由题意，根据对称性可知粒子将从D点关于O点对称的点从磁场射入电场中，根据几何关系可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
r1=h
根据牛顿第二定律有
qv1B=m
联立解得
B=
（3）粒子自A点出射速度大小变为v后，易知粒子从A第一次运动到y轴所需的时间仍为t0，设粒子第一次到达y轴的坐标为（0，y1），速度大小为v2，方向与y轴正方向成θ2角，则有
vt0=y1
v2sinθ2=
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
r2=v2t0
设粒子第二次到达y轴的坐标为（0，-y2），根据几何关系可得
y1+y2=2r2sinθ2
当粒子从A点射出后在电场中做类平抛运动后离开电场，之后经过磁场偏转回到电场中最后到达C点，此过程就是粒子以最短时间从A点运动至C点的过程，根据对称性可得
2h+y2=y1
联立解得
v=
一、单选题
1．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在平面的第Ⅱ象限内有半径为的圆分别与轴、轴相切于、两点，圆内存在垂直于面向外的匀强磁场。在第Ⅰ象限内存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度为。一带正电的粒子（不计重力）以速率从点射入磁场后恰好垂直轴进入电场，最后从点射出电场，出射方向与轴正方向夹角为，且满足。下列判断中正确的是（ ）
A．粒子将从点射入第Ⅰ象限
B．粒子在磁场中运动的轨迹半径为
C．带电粒子的比荷
D．磁场磁感应强度的大小
【答案】C
【详解】AC．在M点，根据类平抛运动规律，有
解得
故A错误，C正确；
BD．粒子运动轨迹如图
设O1为磁场的圆心，O2为粒子轨迹圆心，P为粒子射出磁场的位置，则有
P′O2∥PO1
△O1O2P≌△O2O1P′
则粒子的轨道半径为
r=R
由牛顿第二定律可得
解得
故BD错误。
故选C。
2．（2022·云南·二模）如图所示，在第二象限存在方向垂直平面向外的匀强磁场，在第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m，带正电的粒子从点以速度v0向y轴正方向射出，经磁场偏转后从y轴上的某点垂直y轴射入电场，经电场偏转后通过x轴上的点N（d，0），不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在电场中的运动时间大于在磁场中的运动时间
B．粒子在电场中的运动时间可能等于在磁场中的运动时间
C．电场强度与磁感应强度的比值为
D．电场力对粒子做的功为
【答案】C
【详解】AB．粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，运行的轨迹为四分之一圆弧，可知运动时间
粒子在电场中的运动时间
可知在磁场中的运动时间大于在磁场中的运动时间。故AB错误。
C．根据半径公式有
解得
在电场中，有
解得
则
故C正确。
D．电场力对粒子做的功为
故D错误。
故选C。
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，重力不计，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点。已知OA＝OC＝d。则磁感应强度B和电场强度E可表示为（ ）
A．， B．，
C． ， D．，
【答案】B
【详解】设带电粒子经电压为U的电场加速后速度为v，则
qU＝mv2
带电粒子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，有
qBv＝
依题意可知r＝d，联立可解得磁感应强度
带电粒子在电场中偏转，做类平抛运动，设经时间t从P点到达C点，水平方向有
d＝vt
竖直方向有
联立可解得电场强度
故ACD错误，B正确。
故选B。
4．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一个静止的质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场，粒子在磁场中转半个圆周后打在P点，测出OP距离为x，下列x－U图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】在加速电场中，由动能定理得
磁场中，洛伦兹力提供向心力，有解得
则得
B、m、q都一定，则由数学知识得到，x－U图像是开口向右的抛物线。
故选B。
5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小。在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在该平面内有一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点以初速度v0沿y轴负方向射出，P点的坐标为，粒子恰好能打到y轴上，不考虑粒子的重力，则匀强磁场的磁感应强度B的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图所示
粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴负方向做匀速直线运动，有
沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度
则沿x轴正方向的位移
设射出电场时粒子的速度v方向与初速度v0方向的夹角为θ，根据类平抛运动的推论得
则
θ＝60°
所以
粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好打到y轴上时，轨迹与y轴相切，设粒子轨迹半径为r，根据几何关系得
r＋rcos60°＝2d＋x
解得
r＝2d
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
故选C。
6．（2022·河北邯郸·二模）如图所示，氕、氘、氚三种核子分别从静止开始经过同一加速电压（图中未画出）加速，再经过同一偏转电压偏转后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，氕的运动轨迹如图。则氕、氘、氚三种核子射入磁场的点和射出磁场的点间距最大的是（ ）
A．氕 B．氘 C．氚 D．无法判定
【答案】C
【详解】带电粒子射出加速电场时速度由
射出偏转电场的偏转角为，运动轨迹如图所示，
有
又洛伦兹力提供向心力
得
由几何关系得
氕、氘、氚三种核子，氚比荷最小，故射入磁场的点和射出磁场的点间距最大，C正确。
故选C。
7．（2021·山东日照·三模）现代科学仪器常用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度都相同，长度足够长。电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个带正电的粒子在第1层左侧边界某处由静止释放，不计粒子的重力及运动时的电磁辐射。已知粒子从第4层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为30°。若保证粒子不能从第一层磁场右边界穿出，至少为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【详解】设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨道半径为rn，则有
设粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为，从第n磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为 ，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，则有
由图甲可知
则有
则
为一组等差数列，公差为d，可得
当n=1时，由图乙可知
则
解得
若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则 即
由题目可知当n=4时，，即
当时，联立解得
所以B正确；ACD错误；
故选B。
8．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，一对水平正对放置的平行金属板长为L，间距为d，在板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，特定速度的带电粒子从两板正中间的O点平行于两板射入，能在两板间匀速通过，其他速度的粒子会发生偏转，这种装置叫速度选择器。在调试过程中，从O点射入的粒子带正电q、质量为m，速度大小恒定、方向平行于两板。第一次调试，在两板间不加磁场，只加电场，调整电场强度，使粒子恰好从下极板的右边缘Q点离开板间区域，此时电场强度为E。第二次调试，在两板间不加电场，只加磁场，调整磁感应强度，使粒子恰好从上极板的右边缘P点离开板间区域，此时磁感应强度为B．第三次调试，板间既有电场、又有磁场，保持上述电场强度E、磁感应强度B不变。不计粒子所受的重力，下列判断正确的是（ ）
A．由第一次调试可算得粒子从O点射入时的速度大小
B．与第一次调试比较，第二次调试粒子在两板间运动的时间较短
C．在第三次调试时，粒子恰能在板间做匀速直线运动
D．在第三次调试时，粒子在板间运动的速度逐渐增大
【答案】D
【详解】A．第一次调试，粒子在电场力作用下做类平地运动有
可得
A错误；
B．第一次调试时，粒子在水平方向做匀速运动，第二次调试时，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，水平方向上带电粒子在洛伦兹力水平向左的分力作用下做减速运动，如图甲，所以第二次调试时，粒子在两板间运动的时间较长，B错误；
CD．第一次调试，粒子做类平抛运动，
可得
第二次调试，粒子做匀速圆周运动，如图乙，
即
，
所以，在电场、磁场同时存在时，向下偏转，电场力做正功，速度增大，C错误，D正确。
故选D。
9．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在两个半径均为r=0.1m的半圆形区域ACD和FGH中，分布有磁感应强度为B=0.2T，垂直纸面向里的匀强磁场；在相距为d=0.1m的AD和FH之间分布有电场强度为E=0.1N/C，方向随时间不断变化的匀强电场。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从ACD的圆心O1点由静止释放，保证粒子每次经过电场区域均能加速，且粒子最终以v=10m/s的速度从A点向上射入ACD区域，恰好从D点射出，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场方向变化的周期可表示为
B．该粒子的比荷为2×103C/kg
C．粒子从开始加速到穿出磁场，共经电场加速10次
D．粒子第n次加速后，其在磁场中的运动半径变为第（n-1）次加速后的倍
【答案】C
【详解】A．由于粒子每转半周交变电场方向改变一次，所以交变电场的周期为粒子做匀速圆周运动周期的一半，即
A错误；
B．设经过n次加速后粒子以速度为v=10m/s从A点射出，在这半周中洛伦兹力提供向心力
所以有
B错误；
C．从开始到射出，由动能定理
求得
n=10
C正确；
D．由动能定理经过n-1次加速时
粒子做圆周运动的半径
同理经n次加速后的半径为
则
D错误。
故选C。
10．（2020·江苏·高三阶段练习）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场。电场的方向水平向右，场强大小随时间变化情况如图乙所示。磁感应强度方向垂直纸面，大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向（垂直于BC）以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好能击中C点，若AB=BC=L，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计空气阻力和粒子的重力，对于各粒子由A运动到C的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为2v0∶3
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为2∶1
C．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1∶4
D．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为 π∶2
【答案】D
【详解】A．在时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如图2所示
由牛顿第二定律得
粒子的轨道半径，，则
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向
水平方向
而
则
故A错误；
B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比
故B错误；
C．第二个粒子，由动能定理得
，第一个粒子的动能，第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为，故C错误；
D．第一个粒子的运动时间
第二个粒子的运动时间
第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比
故D正确，
故选D。
二、多选题
11．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）直角坐标系xOy如图所示，为第四象限内的一点，一质量为m、电量为q的负电荷（电荷重力不计）从原点O以初速度沿y轴正方向射入，第一次在整个坐标系内加垂直纸面向内的匀强磁场，该电荷恰好能通过P点；第二次保持区域磁场不变，而将区域磁场改为沿x轴方向匀强电场，该电荷仍通过P点，以下选项正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度
B．匀强电场的电场强度
C．电荷从O点运动到P点，第二次所用时间一定短些
D．电荷通过P点时的速度，第二次与x轴负方向的夹角一定大些
【答案】BCD
【详解】A．第一次在整个坐标系内加垂直纸面向内的匀强磁场，该电荷恰能通过P点，粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
由几何知识可知
解得
由
解得
故A错误；
B．第二次保持区域磁场不变，而将区域磁场改为沿x轴方向匀强电场后，水平方向有
竖直方向有
联立解得
故B正确；
C．第二次保持区域磁场不变，而将区域磁场改为沿x轴方向的匀强电场，该电荷仍通过P点，粒子在第一象限做匀速圆周运动．在第四象限做类平抛运动，运动时间
第一次做匀速圆周运动时间
弧长大于，所以
电荷从O点运动到P点，第二次所用时间一定短些，故C正确；
D．电荷第一次通过P点时，速度与x轴负方向的夹角为α，则
第二次速度与x轴负方向的夹角为θ，则
所以有
则电荷通过P点时的速度，第二次与x轴负方向的夹角一定大些，故D正确。
故选BCD。
12．（2021·河南·义马市高级中学高三阶段练习）磁场、电场可以控制带电粒子按一定的轨迹运动。如图所示，A、B、C三点构成的直角三角形边界内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场，∠A=90°、∠B=60°，AB的边长为L，一荷质比为k的带正电粒子（不计重力）从A点沿着AC边界射入磁场，恰好垂直BC边界从D射出，立即进入在纸面内辐射状电场，恰好做匀速圆周运动，经过圆周运动从P射出电场，圆弧轨迹处的电场强度大小均为E，圆弧轨迹的圆心正好在B点，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在电场中做匀速圆周运动的半径为L
B．粒子运动的速率为
C．匀强磁场的磁感应强度为
D．粒子从A点到P点的运动时间
【答案】AD
【详解】A．根据题意及图像由几何关系可知粒子在电场中做匀速圆周运动的半径为L，A正确；
B．根据电场力提供向心力有
解得
B错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
C错误；
D．粒子从A点到P点的运动时间为
D正确。
故选AD。
13．（2022·全国·模拟预测）如图所示，a、b为竖直正对放置的平行金属板构成的偏转电场，其中a板带正电，在金属板下方存在一有界的匀强磁场，磁场的上边界为与两金属板下端重合的水平面PQ，PQ下方的磁场范围足够大。一带负电粒子以某一速度从两板中间位置平行于板的方向射入偏转电场，从M点进入磁场，在磁场中运动一段时间后又从PQ边界上的N点射出磁场（M、N点图中均未画出）。不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．只减小磁感应强度，则M、N间的距离不变
B．只减小两平行金属板间的距离，则M、N间的距离不变
C．只减小粒子射入金属板时的速度，则粒子从M运动到N的时间变大
D．只减小粒子射入金属板时的速度，则粒子从M运动到N的时间变小
【答案】BC
【详解】A．粒子在电场、磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子进入磁场时的速度为v，在磁场中做圆周运动的半径为R，MN距离为d，如图由几何关系可得
又因为
故
联立可得
故只减小磁感应强度，d增大，故A错误；
B．由可知，d与两平行金属板间的距离无关，故只减小两平行金属板间的距离，M、N间的距离不变，故B正确；
CD．粒子在磁场中做圆周运动的周期为
故粒子在磁场中的运动时间为
设电场强度为E，平行板电容器板长为l，故粒子在电场中运动的加速度为
在电场中的运动时间为
所以进入磁场时速度与水平方向的夹角为
故只减小粒子射入金属板时的速度，减小，粒子在磁场中的运动时间变长，C正确，D错误。
故选BC。
14．（2022·福建省龙岩第一中学模拟预测）如图所示，第I象限存在垂直于平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场，已知P点坐标为。一个质量为m，电荷量为q的带电粒子以的速度从P点沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入匀强磁场中，不计粒子的重力，以下说法正确的是（ ）
A．电场强度 B．带电粒子到达O点时的速度大小
C．粒子射出磁场位置到O点的距离 D．在磁场中带电粒子运动的时间
【答案】CD
【详解】粒子运动轨迹如图
A．由题知，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律知，沿x轴方向有
沿y轴方向有
解得
A错误；
B．沿y轴方向有
解得
则到达O点时速度大小为
B错误；
C．经分析知
则
由洛伦兹力提供向心力有
解得
由几何关系，粒子运动的轨迹与x轴的交点到O点的距离
C正确；
D．带电粒子在匀强磁场中运动的周期
在磁场中运动的时间为
D正确。
故选CD。
15．（2022·云南昆明·一模）如图甲所示的平行金属极板MN之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸面向外为磁场正方向，磁感应强度随时间周期性变化的规律如图乙所示，取垂直极板向上为电场正方向，电场强度随时间周期性变化的规律如图丙所示。时，一不计重力、 带正电的粒子从极板左端以速度沿板间中线平行极板射入板间，最终平行于极板中线射出，已知粒子在时速度为零，且整个运动过程中始终未与两极板接触，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能在时刻射出极板 B．极板间距不小于
C．极板长度为（，，） D．
【答案】BD
【详解】根据题意可知，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且转了周，在内，粒子在电场中向下做减速运动到速度为零，在内，粒子在电场中向上做加速运动到速度为，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，转了周，粒子回到极板中线，速度平行于极板中线，接下来粒子周期性地重复以上运动，粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示
A．粒子一个运动周期为
故粒子射出极板的时刻可能为
（，，）
A错误；
B．粒子在磁场中，设粒子的轨迹半径为，则有
解得
粒子在电场向下减速的位移为
故极板间距应满足
B正确；
C．极板长度可能为
（，，）
C错误；
D．粒子在磁场中，有
解得
粒子在电场中，有
解得
可得
D正确；
故选BD。
三、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在的区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在的区域内存在垂直x轴方向的匀强电场（图中未画出），从原点O沿y轴正方向发射的粒子刚好从磁场右边界上点离开磁场进入电场，经电场偏转后到达x轴上的Q点，到Q点速度恰好沿x轴正方向，已知粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子重力，求：
（1）粒子经过P点的速度大小和方向；
（2）粒子从O点运动到P点所用时间；
（3）电场强度的大小和方向。
【答案】（1），与y轴负方向夹角等于；（2）；（3），沿y轴负方向
【详解】（1）带电粒子进入磁场后只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，设粒子经过P点的速度大小为v，在磁场中的轨迹半径为r，根据几何关系有
解得
，
在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
解得
由几何关系可得粒子经过P点的速度方向与y轴负方向夹角等于；
（2）粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为
粒子在磁场中的运动时间
（3）粒子在匀强电场中做类斜抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴负方向做匀减速直线运动，到达Q点时沿y轴的速度为零。由牛顿第二定律得
沿y轴方向由运动学公式可得
解得电场强度的大小
在磁场中粒子顺时针偏转，由左手定则可知粒子带负电，在电场中沿y轴负方向做匀减速直线运动，故电场强度的方向沿y轴负方向。
17．（2021·天津静海·高三阶段练习）如图所示，在xoy直角坐标系中，第1象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着方向沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的离子（不计重力）经过电压为U的电场加速后，从x上的A点垂直x轴进入磁场区域，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直y轴进入电场区域，在电场偏转并击中x轴上的C点。已知OA=OC=d。求：
（1）离子进入磁场时的速度大小；
（2）电场强度E和磁感应强度B的大小。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）在加速电场中，由动能定理
解得
（2）由题意，粒子在磁场中做圆周运动的半径为d，在磁场中由洛伦兹力充当向心力
在电场中，带电粒子做类平抛运动，所以在水平方向上有
竖直方向上有
综上可得
18．（2022·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，y轴与x=d之间有斜向右上，方向与x轴正方向成45°角、电场强度大小为E的匀强电场，x=d与x=2d之间有垂直于坐标平面向外的匀强磁场I，在x=2d与x=3d之间有垂直于坐标平面向内的匀强磁场Ⅱ。若在坐标原点O处由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子a，粒子a经电场加速后第一次在磁场I中运动的轨迹恰与x=2d相切。若在坐标原点O处由静止释放一个带正电的粒子b，粒子b经磁场I运动后进入磁场Ⅱ，粒子b第一次在磁场I中运动的偏向角为90°，粒子b第一次在磁场Ⅱ中运动轨迹恰好与x=3d相切，不计两个粒子的重力，求：
（1）匀强磁场I的磁感应强度大小；
（2）粒子b的比荷大小；
（3）粒子b第三次经过x=d时的位置坐标。
【答案】（1）（也对）；（2）；（3）[d，（2+7）d]
【详解】（1）设粒子a进磁场I时的速度大小为v1，根据动能定理有
解得
设粒子a在磁场I中做圆周运动的半径为r1，根据题意及几何关系有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
（也对）
（2）设粒子b在磁场I中运动的轨道半径为r2，根据几何关系有
解得
设粒子b进入磁场I时的速度大小为v2，根据动能定理
根据牛顿第二定律
解得
（3）根据几何关系可知，粒子b在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为r1，根据对称性可知，粒子第二次经过x=d时，速度方向与x=d夹角为45°，大小为v2，设位置坐标为（d，y1），则
y1=d+r1=（2-1）d
粒子b第二次在电场中做类平抛运动，根据运动的对称性可知，粒子沿x轴方向运动到速度为零时，刚好到y轴，设粒子b第二次在电场中运动时间为t，则
解得
设粒子第二次经过x=d和第三次经过x=d的位置之间距离为y2，则
因此粒子b第三次经过x=d的位置坐标为（d，（2+7）d）
19．（2022·河南·洛阳市孟津区第一高级中学高三阶段练习）如图所示，在的区域内存在方向沿y轴负方向的匀强电场，在的区域内存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子a，从y轴上处的P点以某一速度射出，速度方向沿x轴正方向，已知粒子a进入磁场时的速度大小为v，方向与x轴正方向的夹角。粒子a进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为。在粒子a进入磁场的同时，另一不带电粒子b也经x轴进入磁场，运动方向与粒子a进入磁场的方向相同。在粒子a没有离开磁场时，两粒子恰好发生正碰（碰撞时速度方向相反）。不计两粒子重力。
（1）求粒子a从P点射出的速度大小及匀强电场的场强大小E；
（2）求粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标及速度大小；
（3）若两粒子碰后结合在一起，结合过程不损失质量和电荷量，结合体没能进入电场，求粒子b的质量应满足的条件。
【答案】（1）；；（2）0；；（3）
【详解】（1）粒子a在电场中做类平抛运动，x方向速度不变，有
粒子a在电场中运动时，由动能定理有
解得
（2）如图甲所示
粒子a进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径
周期
粒子a没有离开磁场，两粒子恰好发生正碰，说明a在磁场中运动了半个周期与粒子b发生碰撞，设粒子在磁场中运动的时间为t，有
粒子b在磁场中做匀速运动，有
设粒子a进入磁场时的横坐标为，粒子a在电场中运动的时间为，x方向有
y方向有
由几何关系可得
解得
（3）两粒子碰后结合在一起，设粒子b质量为，碰后结合体速度为，碰撞过程由动量守恒定律有
结合体做圆周运动的轨迹半径
当时，结合体速度与粒子a速度方向相同，若结合体运动轨迹恰与x轴相切，如图乙所示
有
解得
当时，结合体速度与粒子b速度方向相同，若结合体运动轨迹恰与x轴相切，如图丙所示
有
解得
综上，若结合体没能进入电场，粒子b的质量需满足的条件为
20．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图xoy坐标系中，y≥0区域有垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场。在第3象限、第4象限有大小均为的匀强电场，方向如图所示均与y轴正方向成45°角。一个不计重力的粒子，质量为m，电荷量为+q，以大小为v0的速度，从O点沿y轴正方向第一次经过x轴。求：
（1）粒子第二次经过x轴时位置的坐标。
（2）粒子第四次经过x轴时位置的坐标，以及粒子从第一次经过x轴到第四次经过x轴所用的时间。
【答案】（1）(，0)；（2）(0，0)，
【详解】（1）粒子第一次经过x轴到第二次经过x轴，轨迹如图所示
粒子在磁场中做匀速圆周运动，则
解得
粒子第二次经过x轴时位置如图所示的A点，则
所以粒子第二次经过x轴时位置的坐标为(，0)。
（2）粒子第二次经过x轴时速度方向沿y轴负方向，经过第四象限，从C点进入第三象限，在D点第三次经过x轴进入第二象限的磁场，经过磁场的偏转，第四次经过x轴。 粒子在第四象限运动时，在x轴方向有
解得
在y轴方向有
解得
同理，粒子在第三象限运动时，其运动和第四象限的运动关于y轴对称，所以粒子在第三象限的运动时间也是，且粒子从D点进入第二象限时，速度方向沿y轴正方向，大小为，且
运动轨迹如图所示
所以粒子第四次经过x轴时位置的坐标为(0，0)；
粒子在第一象限、第二象限的运动时间相同，时间长短为
所以粒子从第一次经过x轴到第四次经过x轴所用的时间为
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