回归教材重难点09 带电粒子在组合场、复合场中的运动-【查漏补缺】2022年高考物理三轮冲刺过关（解析版）

回归教材重难点09  带电粒子在组合场、复合场中的运动

带电粒子在组合场、复合场中的运动仍将是各地命题的热点，大部分题目涉及带电粒子在有界场中的运动，题目阅读量仍会比较大，注重科技前沿问题情境，解决实际问题，考查学生的理解能力、推理论证能力和模型构建能力。会继续考查数学知识在组合场中的应用，可能还会有创新。

在复习备考过程中我们要注意：⑴立足基础，夯实基本功，注重物理知识的学习和物理模型的推导过程。如要重视对带电粒子运动的受力分析和过程分析，弄清带电粒子是否考虑重力、是电偏转还是磁偏转，然后选择合适的规律分段求解。同时也要注意对于物理模型的构建过程要让考生参与进来，亲自推导，熟悉特点，加深印象。⑵立足学科素养，关注科技前沿，培养学生学科能力。要重视以示波器、显像管、质谱仪、回旋加速器、霍尔元件等现代科技仪器为情境载体，以及其它的生活实践情境的多过程题型训练，让考生能够在大量的题干中提取有效信息，从而理解题目，建构合适的物理模型，利用模型特点进行推理论证，在这个过程中必须结合已有的物理知识，借助合适的数学工具（平面几何、立体几何、三角函数），从而解决问题；通过对临界极值、多解问题的训练，培养考生的批判性思维。

知识点一　“磁偏转”和“电偏转” 　

知识点二  带电粒子在复合场中的运动

1．复合场的分类

(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．

(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现．

2．带电粒子在复合场中的运动分类

(1)静止或匀速直线运动

当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．

(2)匀速圆周运动

当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．

(3)非匀变速曲线运动

当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．

知识点三、带电粒子在复合场中运动的应用实例

1．质谱仪

(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．

(2)原理：粒子由静止在加速电场中被加速，根据动能定理可得关系式qU＝mv2.粒子在磁场中受洛伦兹力偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝m.

由以上两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷．

r＝ ，m＝，＝.

2．回旋加速器

(1)构造：如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．

(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．

3．速度选择器(如图所示)

(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器．

(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝.

4．磁流体发电机

(1)磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能．

(2)根据左手定则，如图中的B是发电机正极．

(3)磁流体发电机两极板间的距离为L，等离子体速度为v，磁场的磁感应强度为B，则由qE＝q＝qvB得两极板间能达到的最大电势差U＝BLv.

5．电磁流量计

工作原理：如图所示，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷(正、负离子)，在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定，即：qvB＝qE＝q，所以v＝，因此液体流量Q＝Sv＝·＝.

知识点四　带电粒子在叠加场中的运动

1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类

(1)磁场力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．

(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)

①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．

(3)电场力、磁场力、重力并存

①若三力平衡，一定做匀速直线运动．

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题．

2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，除受场力外，还受弹力、摩擦力作用，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果．

知识点五　带电粒子在组合场中的运动

带电粒子在组合场中的运动，实际上是几个典型运动过程的组合，因此解决这类问题要分段处理，找出各分段之间的衔接点和相关物理量，问题即可迎刃而解．常见类型如下：

1．从电场进入磁场

(1)粒子先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．

(2)粒子先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．

2．从磁场进入电场

(1)粒子进入电场时的速度与电场方向相同或相反，做匀变速直线运动(不计重力)．

(2)粒子进入电场时的速度方向与电场方向垂直，做类平抛运动．

3.解决带电粒子在组合场中的运动问题的思路

(1)首先明确每个场的性质、方向、强弱和范围；

(2)对带电粒子进行受力分析，确定带电粒子的运动性质，分析粒子的运动过程，画出运动轨迹；

(3)通过分析，确定粒子从一个场区进入另一场区时的位置、速度大小和方向是解题的关键．

1. （2021·北京卷）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。

（1）求粒子加速器M的加速电压U；

（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；

（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。

【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3）

【解析】

（1）粒子直线加速，根据功能关系有

解得

（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡

得

方向垂直导体板向下。

（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有

解得

2．（2021·山东卷）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于点，右边界与x轴垂直交于点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。

（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；

（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；

（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到的距离S。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得

①

根据几何关系得

②

联立①②式得

（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为，加速度大小为a，由牛顿第二定律得

由运动的合成与分解得

，，

联立得

（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y轴的方向做线速度大小为vcosθ的匀速圆周运动，如图所示。设左侧部分的圆心角为，圆周运动半径为，运动轨迹长度为，由几何关系得

，

由于在y轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故有

C到的距离

联立得

3．（2021·广东卷）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。

（1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；

（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。

【答案】（1），，；（2）

【解析】

（1）电子在电场中加速有

在磁场Ⅰ中，由几何关系可得

联立解得

在磁场Ⅰ中的运动周期为

由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为

在磁场Ⅰ中的运动时间为

联立解得

从Q点出来的动能为

（2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得

解得

由于

联立解得

4.（2021·北京市朝阳区二模） 静止电荷在其周围空间产生的电场，称为静电场；随时间变化的磁场在其周围空间激发的电场称为感生电场。如图1所示，在纸面内以O为圆心、半径为a的圆形区域内，分布着垂直纸面向里的磁场，磁感应强度B的大小随时间均匀增加，变化率为k。该变化磁场激发感生电场，距圆心r处的电场强度大小分布满足如下关系：。电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。一种电子感应加速器的简化模型如图2所示，空间存在垂直纸面向里的磁场，在以O为圆心，半径小于r0的圆形区域内，磁感应强度B1=k1t，在大于等于r0的环形区域内，磁感应强度B2=k2t，其中k1、k2均为正的定值。电子能在环形区域内沿半径等于r0的圆形轨道运动，并不断被加速。

a．分别说明B1、B2的作用；

b．推导k1与k2应满足的数量关系。

【答案】a. B1的作用是产生感生电场，使电子加速； B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力；b.

【解析】

a．B1的作用是产生感生电场，使电子加速，B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力；

b．电子在轨道运动的瞬时速度为v，电子的质量为m，电荷量为e，由牛顿第二定律得

经极短时间

综上得

5.（2021·北京市东城区一模）1931年，劳伦斯和学生利文斯顿研制了世界上第一台回旋加速器，如图1所示，这个精致的加速器由两个D形空盒拼成，中间留一条缝隙，带电粒子在缝隙中被周期性变化的电场加速，在垂直于盒面的磁场作用下旋转，最后以很高的能量从盒边缘的出射窗打出，用来轰击靶原子。

（1）劳伦斯的微型回旋加速器直径d=10cm，加速电压U=2kV，可加速氘核（）达到最大为Ekm=80KeV的能量，求：

a.氘核穿越两D形盒间缝隙的总次数N；

b.氘核被第10次加速后在D形盒中环绕时的半径R。

（2）自诞生以来，回旋加速器不断发展，加速粒子的能量已经从每核子20MeV(20MeV/u)提高到2008年的1000MeV/u，现代加速器是一个非常复杂的系统，而磁铁在其中相当重要。加速器中的带电粒子，不仅要被加速，还需要去打靶，但是由于粒子束在运动过程中会因各种作用变得“散开”，因此需要用磁铁来引导使它们聚集在一起，为了这个目的，磁铁的模样也发生了很大的变化。图2所示的磁铁为“超导四极铁”，图3所示为它所提供磁场的磁感线。请在图3中画图分析并说明，当很多带正电的粒子沿垂直纸面方向进入“超导四极铁”的空腔，磁场对粒子束有怎样的会聚或散开作用？

【答案】（1）a. N=40；b. R=2.5cm；（2）图示见解析。

【解析】（10分）（1）a.氘核每穿越缝隙一次，电场力对氘核做功均为W=eU

由动能定理NeU=Ekm

得氘核穿越两D形盒间缝隙的总次数N=40。

b. 设氘核被第n次加速后在D形盒中环绕时半径为r，由牛顿第二定律

，，

三式联立得到，可知

则氘核被第10次加速后的环绕半径R与被第40次加速后的环绕半径d/2之间满足，

得到R=2.5cm。

（2）

                  答图1                                       答图2

如答图1，选择a、b、c、d四个有代表性的粒子，根据左手定则画出其垂直进入空腔时所受洛伦兹力的方向如图所示，可见洛伦兹力使得粒子束在水平方向会聚，同时，在与之垂直的竖直方向散开。

或如答图2所示选择特殊位置，画出有代表性粒子受到的力，并将力正交分解，也可证明磁场使粒子束在水平方向会聚，同时在竖直方向发散。

6.（2021·北京市海淀区二模）质谱仪是一种检测和分离同位素的仪器。如图所示，某种带电粒子，从容器A下方的小孔S1进入电压为U的加速电场，其初速度可忽略不计。这些粒子经过小孔S2沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，随后粒子束在照相底片MN上的P点形成一个曝光点。对于同一种元素，若有几种同位素时，就会在底片上的不同位置出现按质量大小分布的谱线，经过分析谱线的条数、强度(单位时间内打在底片上某处的粒子动能)就可以分析该种元素的同位素组成。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。

（1）求比荷为的粒子进入磁场的速度大小；

（2）若测得某种元素的两种同位素a、b打在底片上的位置距离小孔S2的距离分别为D1和D2，强度分别为P1和P2，求：

①两种同位素a、b的粒子质量之比m1:m2；

②两种同位素a、b在该种元素物质组成中所占的质量之比M1:M2。

【答案】（1）；（2）①D12∶D22；②P1D12∶P2D22

【解析】

（1）对粒子在加速电场中的运动，根据动能定理有

   ①

解得比荷为的粒子进入磁场的速度大小为

   ②

（2）①设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有

   ③

粒子打在底片上的位置距离小孔的距离为

   ④

联立②③④可得

   ⑤

由⑤式可知

⑥

②设单位时间内打在底片上的粒子数位N，则由题意可得

   ⑦

联立①⑦可得

   ⑧

由⑤⑧可得单位时间内打在底片上的粒子总质量为

⑨

由⑨式可知

⑩

7.（2021·福建省龙岩市三模）如图所示，在竖直的xoy平面内，在水平x轴上方存在场强大小、方向平行于x轴向右的匀强电场，在第二象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场、大小与方向都未知的匀强电场E2。一质量为m、带电量为q的小球从y轴上的P（0，L）位置无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y轴相切。

（1）求匀强电场E2大小与方向；

（2）求小球第二次穿过x轴的位置与第三次穿过x轴的位置之间的距离；

（3）若让小球从y轴上的Q点（图中未标出）无初速度释放，小球第二次穿过x轴后进入第二象限做直线运动，恰好又回到Q点。求第二象限中匀强磁场的磁感应强度B的大小。

【答案】（1）；方向竖直向上；（2）；（3）

【解析】

（1）小球在第四象限做匀速圆周运动，有

qE2=mg ①

得

  ②

小球释放后进入第一象限，故小球带正电，可得电场方向竖直向上  

（2）小球在第一象限做匀加速直线运动，对小球，有

③

   ④

   ⑤

由③④⑤得

小球再次回到第一象限做类平抛运动，如图所示，有

竖直方向

  ⑥

水平方向

  ⑦

⑧

由⑥⑦⑧得

（3）假设x轴下方匀强磁场磁感应强度大小为B0，从P点释放的小球进入磁场，有

  ⑨

  ⑩

假设Q点离坐标原点的距离为yQ，对从Q点释放的小球，进入第一象限的速度v1，同理可得

  ⑪

从Q点释放的小球进入x轴下方，做匀速圆周运动，有

⑫

从Q点释放的小球在第二象限做直线运动，电场力和重力的合力与洛伦兹力大小相等，v1与x轴夹角θ=45°，有

  ⑬

电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，则MQ与NQ必然垂直，由几何关系，得

  ⑭

由⑨⑩⑪⑫⑬⑭并代入R，得

8.（2021·北京市海淀区三模）质谱仪是一种检测和分离同位素的仪器。如图所示，某种粒子，从容器A下方的小孔S1进入电压为U0的加速电场，其初速度可忽略不计。这些粒子经过小孔S2沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，随后粒子束在照相底片MN上的P点形成一个曝光点。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。

（1）若粒子的质量为m，电量为＋q，求粒子进入磁场时动量的大小p；

（2）已知某种粒子的电量为＋q，其在照相底片MN上的P点到S2的距离为L1，求这种粒子的质量m；

（3）若某种粒子在照相底片MN上的P点到S2的距离为L2，求这种粒子的比荷（即电量与其质量之比）；

（4）若某种粒子经过小孔S2沿着与磁场垂直的方向进入磁场后，形成等效电流为I的粒子束，其在照相底片MN上的P点到S2的距离为L3，求该粒子束单位时间内对P点的冲击力的大小F；

（5）加速电压存在一定的波动性，即电压范围在U0－U和U0＋U之间，由此导致同一种粒子在照相底片上的曝光情况为一条长为d的线，设该种粒子的比荷为k，求电压波动范围的大小U；

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

【解析】

（1）带电粒子从加速场中出来时，根据动能定理

解得速度为

所以粒子进入磁场时动量的大小为

（2）带电粒子在磁场中运动时

所以

解得

（3）若某种粒子在照相底片MN上的P点到S2的距离为L2，则

解得

（4）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，单位时间内打到P点的粒子个数为N，则

根据动量定理

再根据半径公式

联立解得

（5）带电粒子经加速电压加速后进入磁场最后打到照相底片的位置距离S2的距离为

所以

解得