高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件图片课件ppt

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知识点1　必要条件与性质定理1.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p⇒q. “若p,则q”为假命题时,得不出q是p的必要条件2.一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.名师点睛说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.
过关自诊[人教A版教材例题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;(4)若x=1,则x2=1;(5)若ac=bc,则a=b;(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.
解 (1)这是平行四边形的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件.(2)这是三角形相似的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件.
(3)如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,p q,所以,q不是p的必要条件.(4)显然,p⇒q,所以,q是p的必要条件.(5)由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,p q,所以,q不是p的必要条件.(6)由于 为无理数,但1, 不全是无理数,p q,所以,q不是p的必要条件.
知识点2　充分条件与判定定理“若p,则q”为假命题时,得不出p是q的充分条件　　　 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.综上,对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.名师点睛1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”.
过关自诊1.[人教A版教材习题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB;(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等;(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
解 (1)由线段垂直平分线的性质,p⇒q,p是q的充分条件.(2)两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,p q,p不是q的充分条件.(3)由相似三角形的性质,p⇒q,p是q的充分条件.
2.[人教A版教材习题]如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4.请根据这些信息,写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件.
解 “a∥b”的充分条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°;“a∥b”的必要条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°.
知识点3　充要条件1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q.2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
名师点睛设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
过关自诊1.判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况?
解 (1)如果p⇒q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;(2)如果p不能推出q,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;(3)如果p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充要条件;(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要的条件.
2.[人教A版教材习题]下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;(2)p:☉O内两条弦相等,q:☉O内两条弦所对的圆周角相等;(3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集.
解 (1)p⇔q,所以p是q的充要条件.(2)☉O内两条弦相等,它们所对的圆周角相等或互补,因此,p q,所以p不是q的充要条件.(3)取A={1,2},B={3},显然,A∩B=⌀,但A与B均不为空集,因此,p q,所以p不是q的充要条件.
3.[人教A版教材习题]分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
解 “两个三角形全等”的充要条件如下:①三边对应相等;②两边及其夹角对应相等;③两角及其夹边对应相等;④两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下:①三个内角对应相等(或两个内角对应相等);②三边对应成比例;③两边对应成比例且夹角相等.
探究点一　必要条件与充分条件的判断
角度1必要条件的判断【例1】 指出下列哪些命题中q是p的必要条件?(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;(2)p:A⊆B,q:A∩B=A;(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解 (1)因为矩形的对角线相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件.(2)因为p⇒q,所以q是p的必要条件.(3)因为p推不出q,所以q不是p的必要条件.
规律方法　必要条件的两种判断方法(1)定义法:
(2)命题判断方法:如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
变式训练1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若|x|=|y|,则x=y;(2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;(3)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形. 
解 (1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.(3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.
角度2充分条件的判断【例2】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若a∈Q,则a∈R;(2)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC;(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
解 (1)由于Q⊆R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.(2)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的充分条件.(3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.
规律方法　充分条件的两种判断方法(1)定义法:
(2)命题判断方法:如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
变式训练2下列命题中,p是q的充分条件的是　　　　　　　.(填序号) ①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:a是自然数,q:a是正整数;③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.
解析 ①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.②0是自然数,但是0不是正整数,∴p推不出q,∴p不是q的充分条件.③∵m<-2,∴1+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.
探究点二　充分条件、必要条件、充要条件的探求
【例3】 (1)不等式1- >0成立的充分不必要条件是(　　)A.x>1B.x>-1C.x<-1或00
解析由1- >0可得 <1,解得x>1或x<0,结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1.
(2)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是(　　)
解析求解不等式1<2x+2<8可得- 规律方法　1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
变式训练3下列不等式:①x<1;②0-1.其中,可以作为x2<1的充分不必要条件的有　　　　　;可以作为x2<1的必要不充分条件的有　　　　.(填序号) 
解析 由x2<1,得-1-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.
【例4】 已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.
规律方法　寻求q的充要条件有两种方法(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.
变式训练4“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　)A.m>B.m1
解析 ∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,∴Δ=1-4m<0,解得m>又∵m> 时,Δ=1-4m<0,∴“m> ”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件.
1.知识清单:(1)必要条件、充分条件的概念;(2)必要性、充分性的判断;(3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系;(4)充要条件的概念、判断和证明;(5)必要条件、充分条件的应用.2.方法归纳:反例法,等价转化法.3.常见误区:必要条件、充分条件不唯一;求参数范围能否取到端点值;不能正确理解“倒装”的命题;充要条件中的条件和结论辨别不清.
1.若p是q的充分不必要条件,则q是p的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件
解析 因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q,q推不出p,所以q是p的必要不充分条件.
2.“两条直线都和第三条直线平行”是“这两条直线互相平行”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由两条直线都和第三条直线平行可得这两条直线互相平行,但由两条直线相互平行不能得出这两条直线都和第三条直线平行.故选A.
3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是(　　)A.x>1B.x<1C.x>3D.x<3
4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的　　　　　条件. 
解析 a>0,且b>0⇒a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0⇒a>0,且b>0,故为充要条件.