2024-2025学年北京市海淀区首都师范大学附属中学（成达部）高一上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区首都师范大学附属中学（成达部）高一上学期10月月考数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M=x|x=k3+16,k∈Z,N=x|x=k6+13,k∈Z，则( )
A. M=NB. MÜNC. NÜMD. M∩N=⌀
2.函数y= 2x−3x−2的定义域是( )
A. 32,+∞B. 32,2∪2,+∞
C. 32,2∪2,+∞D. −∞,2∪2,+∞
3.下列函数既是奇函数又在区间0,1上是增函数的是( )
A. y=x−13B. y=lnx
C. y=x−1xD. y=x2−2x,x≤0−x2−2x,x>0
4.为了得到函数y=lg2(2x−2)的图象，只需把函数y=lg2x的图象上的所有点( )
A. 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
5.下列结论正确的个数是( )
①若a>b，则a2>b2；②若a>b，则1a<1b；
③a2+b2>ab(a,b不全为零)；④a2+b2≥2a−b−1
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
6.函数f(x)=(x+1)lnx−1的大致图像是( )
A. B.
C. D.
7.若“1A. 12,1B. 12,1C. 12,1D. 12,1
8.已知关于x的不等式ax−1x+3+2>0的解集是x1,x2，则下列结论中错误的是( )
A. x1+x2+2=0B. −3C. x1−x2>4D. x1x2+3<0
9.已知函数fx=x2−ax+2,x≥ax+a,xA. 0B. 1C. 2D. 无数
10.设A，B为两个非空有限集合，定义JA,B=1−A∩BA∪B，其中S表示集合S的元素个数.某学校甲､乙､丙､丁四名同学从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为S1，S2，S3，S4.已知S1={物理，化学，生物}，S2={地理，物理，化学}，S3={思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若JS2,S4=1，则S4={思想政治，历史，生物}；
②若JS1,S2=JS1,S4，则S4={地理，物理，化学}；
③若S4={思想政治，物理，生物}，则JS1,S4④若JS1,S4>JS2,S4=JS3,S4，则S4={思想政治，地理，化学}．
其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.函数y=−x2+2x,x∈12,2的值域为 ．
12.已知函数fx，若对于任意的正实数x,y都满足fxy=fx+fy,f2=1，则f8= ．
13.已知函数fx是定义在−∞,+∞上的偶函数，当x∈−∞,0时，fx=x−x2，则当x∈(0,+∞)时，fx= ．
14.已知关于x的方程x2+2bx−b=0的两根为x1,x2，满足−115.若函数f(x)=4x−x2+m有4个零点，实数m的取值范围为 ．
16.设关于x的方程ax−a−1=0和x2+12x−a−1=0的实根分别为x1,x2,x3，若x217.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位：万元)符合函数模型m=3−2x+1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入 万元．
18.已知函数f(x)，对于任意实数x∈[a,b]，当a≤x0≤b时，记|f(x)−f(x0)|的最大值为D[a,b](x0)．
①若f(x)=(x−1)2，则D[0,3](2)= ；
②若f(x)=−x2−2x,&x≤0,2−x−1,&x>0,则D[a,a+2](−1)的取值范围是 ．
三、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.解关于x的方程：ax−1x−2≥1
20.已知函数fx=3x+xx+1．
(1)证明：函数fx是奇函数；
(2)用定义证明：函数fx在0,+∞上是增函数；
(3)若关于x的不等式fax2+3ax+f1−ax≥0对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.C
6.B
7.C
8.ACD
9.B
10.B
11.(0,1]
12.3
13.−x2−x
14.(0,13)
15.−416.(−1,−12)∪(2,+∞)
17.3
18.3
[1,4]

19.由不等式ax−1x−2≥1，可得ax−1x−2−1=(a−1)x−(a−2)x−2≥0，
(1)若a−1=0，即a=1时，1x−2≥0，解得x>2，所以不等式的解集为(2,+∞)；
(2)若a−1>0，即a>1时，因为a−2a−1=1−1a−1<1，
解得x≤a−2a−1或x>2，不等式的解集为(−∞,a−2a−1]∪(2,+∞)；
(3)若a−1<0，即a<1时，不等式即为x−a−2a−1x−2≤0，
当02，解得2当a=0时，可得a−2a−1=2，此时不等式的解集为⌀；
当a<0时，可得a−2a−1<2，解得a−2a−1≤x<2，不等式的解集为[a−2a−1,2),
综上可得，当a>1时，不等式的解集为(−∞,a−2a−1]∪(2,+∞)；
当a=1时，不等式的解集为(2,+∞)；当0当a=0时，不等式的解集为⌀；当a<0时，不等式的解集为[a−2a−1,2)．

20.(1)证明：由函数fx=3x+xx+1，可得其定义域为R，关于原点对称，
又由f−x=−3x−x−x+1=−(3x+xx+1)=−fx，
所以函数fx为定义域R上的奇函数．
(2)证明：当x∈(0,+∞)时，fx=3x+xx+1=3x+1−1x+1，
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1可得fx1−fx2=3x1+1−1x1+1−(3x2+1−1x2+1)=3(x1−x2)+(1x2+1−1x1+1)
=3(x1−x2)+x1−x2x2+1x1+1=(x1−x2)⋅[3+1x2+1x1+1]
因为x1,x2∈(0,+∞)，且x10，
所以fx1−fx2<0，即fx1所以函数fx在(0,+∞)上是增函数．
(3)因为函数fx为定义域R上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，
所以函数fx在−∞,0上也是增函数，
又因为f0=0，所以函数fx在R上是增函数，
又由fax2+3ax+f1−ax≥0，可得fax2+3αx≥−f1−ax=f(ax−1)，
因为不等式fax2+3ax+f1−ax≥0对于任意实数x恒成立，
即不等式fax2+3ax≥f(ax−1)对于任意实数x恒成立，
可得不等式ax2+3ax≥ax−1对于任意实数x恒成立，
即不等式ax2+2ax+1≥0对于任意实数x恒成立，
当a=0时，不等式即为1≥0恒成立，符合题意；
当a≠0时，则满足a>0Δ=2a2−4a≤0，解得0综上可得，0≤a≤1，即实数a的取值范围[0,1]．