【期中单元压轴题专练】（人教版）2023-2024学年八年级数学上册单元 第十三章 轴对称（测试卷）

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第十三章 轴对称（易错与压轴专练）
目录
易错专练 1
【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1
【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 3
【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 5
【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 7
压轴专练 11
【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 11
【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 18
【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 24
【题型四 共顶点的等边三角形问题】 29
【题型五 共顶点的等腰直角三角形问题】 34
【题型六 共顶点的一般等腰三角形问题】 40


易错专练
【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】
例题：已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，则它的周长为 ．
【答案】
【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案．
【详解】解：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
，
不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
，
能构成三角形，
的周长为；
综上所述，的周长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【变式训练】
1．若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为__________．
【答案】3或4##4或3
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当时，当时，再结合三角形三边关系检验即可．
【详解】解：∵为等腰三角形，
∴当时，
解得，
∴三边长为6，6，7
∵，
∴符合三角形三边的条件，
当时，
解得，
∴三边长为7，7，6
∵，
∴符合三角形三边的条件，
∴的值为4和3．
故答案为：4和3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为______．
【答案】12或7
【分析】可设一边为，则另一边为，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：设一边为，则另一边为，
①当长为的边为腰时，此时三角形的三边长分别为、、，
由题意可列方程：，
解得，
此时三角形的三边长分别为：、和，满足三角形三边之间的关系，符合题意；
②当长为的边为底时，此时三角形的三边长分别为：、、，
由题意可列方程：，
解得：，
此时三角形的三边长分别为：、、，满足三角形的三边之间的关系，符合题意；
∴这个三角形的底边长为或．
故答案为：12或7．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．

【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】
例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ．
【答案】或
【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：当的角是底角时，则底角为，
当的角是顶角时，则底角为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．
【答案】或或
【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．
【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是，
①是顶角，是底角时，，
解得，
所以，顶角是；
②是底角，是顶角时，，
解得，
所以，顶角是；
③与都是底角时，，
解得，
所以，顶角是；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．
2．在 中，，，点D在边上（不与B、C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为___________．
【答案】或
【分析】在 中，根据，，得到 ，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案．
【详解】解：如图所示,

在中，
∵，，
∴ ，
若是等腰三角形，
①当时，
，
，
②当 时，
，
，
，
综上所述或．
【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出的腰．

【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】
例题：已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ．
【答案】或或
【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
沿射线方向平移m个单位得到，
∴，，
点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况
①当时：如图，此时；
  
②当时：如图，
  
则：，
在中，，即：，
解得：；
③当时，如图：
  
此时，
∵，
∴，
∴；
综上：，或；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【变式训练】
1．在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是 ．
【答案】或或
【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．
【详解】解：，，，
，，
分三种情况讨论：
如图所示，当点与点重合时，，
    
，
，
，
，即是等腰三角形，
此时，；
如图所示，当时，是等腰三角形，
    
，
由折叠可得，，
，
又，
是等腰直角三角形，
设，则，
中，，
解得，舍去，
；
如图所示，当点与点重合时，，
    
，
，即是等腰三角形，
此时，
综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．

【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】
例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    )
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．
【详解】解：如图所示，

根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：．
可设，
∴．
由题意得： 或，
解得：或．
当时，即此时等腰三角形的三边为，，，
，符合三角形的三边关系，
此情况成立；
当时，即此时等腰三角形的三边为，，，
，符合三角形的三边关系，
此情况成立．
综上可知这个等腰三角形的底边长是或．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．
【变式训练】
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（   ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图1，三角形是锐角三角时，
  
∵，
∴顶角；
如图2，三角形是钝角时，
  
∵，
∴顶角，
综上所述，顶角等于或．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
2．在中，，是边上的高，，则 ．
【答案】 或 /或
【分析】根据三角形的内角和定理，求出的度数然后再求出的度数；
【详解】如图，当 在 内时




  
如图当 在 外时




  
故答案为 或
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不大，属于中等题；
3．在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______．
【答案】或
【分析】分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长．
【详解】解：由题意得：
；
当时，
即，
，
，
；
当时，
即，
，
，
；
综上，底边的长为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．




压轴专练
【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．

(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；
（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到．
【详解】（1）解：连接，

∵，，点是的中点
∴，且，平分，
∴，，
又∵
∴
∴
∴（ASA）
∴．
（2），理由如下：
连接，

由（1）可知：，，
∴
在和中，

∴（ASA）
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．
【变式训练】
1．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．

(1)求证：；
(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）明∶ 连接，

∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：仍成立，理由如下：
连接，

∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：能成为等腰三角形，
①当，点E在的延长线上时，则，
又∵，
∴；

②当，点E在上时，则；

③当时，则，
∴；

④当，点E和C重合，
∴；

综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
2．在中，，，点O为的中点．

(1)若，两边分别交于E，F两点．
①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　．
(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．
【答案】(1)①见解析；②18
(2)2
【分析】（1）①由“”可证，可得；
②由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）①证明：如图1，连接，

∵，，
∴.
∵点O为的中点，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接，

同理可证：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18；
（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，

∵，，点O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】
例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．

(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)90°．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．

∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
（2）解：∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB∠ADE＝30°．
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．

(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．
【答案】(1)20°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解；
（2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，进而求得，，即可得出，从而得出结论；
（3）由（2）可知，，从而有，再根据，则有
，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：过点作于点，过点作于点，

∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，，
∵，
设、交于点，则

又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，，
∴，
∵，
∴．
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．
2．已知在中，，且=．作，使得．

(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；
(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)与相等或互补
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得 ，由即可求出的度数；
（2）作根据AAS证明≌,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；
（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补．
【详解】（1）解：中，，且=,



        

．
（2）
如图，过点作于E点，
中，，，
，
中，
，
，
,=，


        

    

．
在和中，,,，
∴≌，    
∴，    
∴．
（3）
①如图，作于，于，
∵与的面积相等，
∴，
又∵ ,
∴≌(HL)
∴
即=
    

②如图，作于，作垂直于的延长线于．
则．
∵，，
∴，
∵与的面积相等，
∴．
∴≌．
∴．
，
∴，
综上，与相等或互补．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．

【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】

例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．

求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明，即可得出；
（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．
【变式训练】
1．如图：

(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）．
(2)【类比解答】
如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　．
(3)【拓展延伸】
如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
(4)【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
(4)的面积是
【分析】（1）证（），得，即可；
（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；
（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
故答案为：；
（2）解：如图2，延长交于点F，

由可知，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：，证明如下：

如图3，延长、交于点F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴（），
∴，
由问题情境可知，，
∴；
（4）解：如图4，延长交于E，

由问题情境可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：的面积是．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．

【题型四 共顶点的等边三角形问题】

例题：如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
  
(1)求证：BD=CE；
(2)求证：△ABM≌△ACN；
(3)求证：△AMN是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠ABM=∠ACN．
∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠CAN=60°=∠BAC．
在△ABM和△ACN中，
∴△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由(2)知△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∵∠CAN=60°，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有 个．
①；②；③；④；⑤若，则．
  
【答案】①②③④⑤
【分析】根据等边三角形的性质得到，，，得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，故③正确；根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，故②正确，推出，故④正确；根据全等三角形的性质得到，得到是等边三角形，求得，根据平行线的判定定理得到，故①正确；根据三角形的内角和得到．故⑤正确．
【详解】解：、都是等边三角形，
，，，
，
，，
，
，故③正确；
在与中，
，
，
，
，
，故②正确，
在与中，
，
，故④正确；
，
是等边三角形，
，
，
，故①正确；
，，
．故⑤正确；
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．
  
求证：(1)；
(2)为等边三角形；
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质可知，从而可求出，即可利用“”证明，即得出；
（2）由等边三角形的性质可知，AC=BC，即可求证．再根据可得出，利用“”证明，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，
，
，
∴，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，
∴，
∴．

∴．
∴
∴．
∴，
又∵，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．

【题型五 共顶点的等腰直角三角形问题】

例题：如图，和都是等腰直角三角形，．
  
(1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________．
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论；
（2）先由旋转的旋转得出，进而判断出，得出，，与交于M，与交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，利用线段的加减即可得出结论．
【详解】（1）和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
点在上，点在上，且，
，
故：，；
（2）成立；
如图2，与交于M，与交于N，
  
由题意可知：
，
，
，
在与中：

，
，，
又，，
在中，
，
，
，
所以结论成立；
（3）①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
  
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
  
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
，
综上，的长为或，
故答案为: 或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
【变式训练】
1．如图，在等腰直角三角形和中，，点E在边上，与交于点F，连接．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，可证明，即可求证；
（2）根据，可得，从而得到，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
2．（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；

（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2），；理由见解析
【分析】（1）延长交于点H，交于点O．只要证明，即可解决问题；
（2）由，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长交于点H，交于点O，

∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2），；
理由如下：如图2中，

∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，，
∴；
在等腰直角三角形中，为斜边上的高，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

【题型六 共顶点的一般等腰三角形问题】

例题：如图，与都是等腰三角形，相交于点．
  
(1)试说明：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理计算．
【详解】（1）解：证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．
  
(1)如图1，当时，
①、的形状是____________；
②求证：．
(2)若，
①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析
(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析
【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）①证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得与不全等，即可得出结论．
【详解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，
∴、是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
②证明：∵、是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在△BAE与△DAC中，
∵，
∴．
∴．
（2）①当，时，成立．
理由：如图，
∵， ，，
  
∴，
∴；
②当，时，不成立．
理由：如图，
∵，
  
∴，，
∴与不全等，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．

(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．
(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．
【答案】(1)，详见解析
(2)45
(3)详见解析
【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可；
（2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”子三角形即可求出的度数；
（3）由（1）可知，可得，．根据证明，可得，，进而可证结论成立．
【详解】（1）．
理由：因为和是“同源三角形”，
所以，所以．
在和中，
所以．
所以．
（2）∵和是“同源三角形”，
∴．
∵，
∴．
由（1）可知，
∴．
∵，
∴．
故答案为：45；
  
（3）由（1）可知，
所以，．
因为，的中点分别为，，
所以．
在和中，
所以，
所以，．
又因为，
所以．
所以，所以是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．