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【单元压轴题专练】（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册 第4章 一次函数（压轴题专练
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题型1：一次函数与全等三角形
1．如图，直线分别交轴、轴于，两点，直线分别交轴、轴于，，交于点．
(1)直接写出坐标：______，：______，：______；
(2)如图，若，求点的坐标；
(3)如图，在的条件下，过点关于轴的对称点作轴的垂线交直线于点，连接、、，求证：．
2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点．
(1)直接写出、、的坐标；
(2)当时，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值；
(3)如图2，直线交直线于点，当时，，求的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两坐标轴于A、B两点，直线y＝－2x＋2分别交两坐标轴于C、D两点
（1）求A、B、C、D四点的坐标
（2）如图1，点E为直线CD上一动点，OF⊥OE交直线AB于点F，求证：OE＝OF
（3）如图2，直线y＝kx＋k交x轴于点G，分别交直线AB、CD于N、M两点．若GM＝GN，求k的值
4．如图1，直线y=x+6分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P分别是线段OB，AB的中点，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐标为m，线段CD的长为n（n>0），且m+n=6，以DO，DE为邻边作 ODEF．
(1)求点A和点P的坐标．
(2)如图2所示，当点D在点C左侧，且n=2时，求点F的坐标．
(3)当点F落在△AOB的边OB或AB上时，求点F的坐标．
5．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，
(1)如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
(2)如图2，若OA＝4，OC＝2，M是AB与y轴交点，求的面积．
(3)如图3，点C（0，2），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝6a．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，问：是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
题型2：一次函数与等腰三角形、勾股定理
6．如图1，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；
(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．连接OQ．
①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）
②试求线段OQ长的最小值．
7．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标；
②连接，如图2，若，求点P的坐标．
8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______；
②若射线平分，求点P的坐标；
(3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案）
9．如图，A，B是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线A—B—C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．
②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由
题型3：存在性问题
10．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
11．已知：直线分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．
(1)如图1，若直线过，求．
(2)如图2，点关于轴的对称点为，将线段沿轴正半轴移动到，直线交直线于点，直线交轴于点，求的值．
(3)如图3，在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使得，若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线、交于点，且点的横坐标为1．
(1)如图，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个点，是轴上一动点，若，求此时点的坐标．
(2)若在过作轴的垂线上，点为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时的坐标．
(3)如图，点的坐标为，将直线绕点旋转，使旋转后的直线刚好过点，过点作平行于轴的直线，点、分别为直线；上的两个动点，是否存在点、，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型4：动点问题
13．如图1，已知直线与坐标轴交于两点，与直线交于点,且点的横坐标是纵坐标的倍.
(1)求的值.
(2)为线段上一点，轴于点，交于点,若，求点坐标.
(3)如图2，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发生变化?若不变，请求出它的坐标;如果变化，请说明理由.
14．如图①所示，直线L:yax10a与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.
（1）当OAOB时，试确定直线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的长.
（3）当a取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE，连接EF交y轴于P点，如图③，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由.
题型5：最值问题
15．如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，，轴于点C，轴于点D，且E是y轴正半轴上的一点，．
(1)求点E的坐标；（用含m的式子表示）
(2)如备用图1，已知，连接，若，则：
①求m的值；
②如备用图2，若P，Q分别是线段，射线上的一点，求的最小值．
17．如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线交直线于点E．
(1)求直线的表达式；
(2)我们定义：如果一个三角形中有一个内角为，则称这个三角形为“天府三角形”
①点F是直线上第一象限内一点，若为“天府三角形”，求点F的坐标；
②在①的条件下，当点F的横坐标大于时，作点B关于x轴的对称点，点P为直线上的一个动点，连接，点Q为线段的中点，连接，当最小时，求点Q的坐标．
题型6：一次函数的实际应用
18．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示：
(1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式.
(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
(3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
19．数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中为折线段．请结合图像回答下列问题：
(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；
(2)在时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．
①图2中m的值为___________．
②请求出在时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．
题型7：一次函数新定义题
20．在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”．
如点为点的“级上升点”．
(1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________；
(2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值；
(3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，对于任意两点 我们将称为点M与点N的“直角距离”，记作．
例如：点与点的“直角距离”
(1)已知点 ，在这三个点中，与原点O的“直角距离“等于4的点是
(2)若直线上恰好有两个点与原点O的“直角距离”等于4.直接写出b的取值范围；
(3)已知点，若线段上有且只有一点C，使得直接写出m的取值范围．
22．问题：探究函数的图象与性质．小斐根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小斐的探究过程，请补充完整：
(1)在函数中，自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．
①______；
②若，为该函数图象上不同的两点，则______；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，根据函数图象可得：
①函数的最小值为______；
②请你写出该函数的另外一条性质：______．
(4)，为函数图象上的任意两点，其中，若对于，都有，请结合函数图象，直接写出a的取值范围______．
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
0
0
m
…
题型1：一次函数与全等三角形
1．如图，直线分别交轴、轴于，两点，直线分别交轴、轴于，，交于点．
(1)直接写出坐标：______，：______，：______；
(2)如图，若，求点的坐标；
(3)如图，在的条件下，过点关于轴的对称点作轴的垂线交直线于点，连接、、，求证：．
2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点．
(1)直接写出、、的坐标；
(2)当时，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值；
(3)如图2，直线交直线于点，当时，，求的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两坐标轴于A、B两点，直线y＝－2x＋2分别交两坐标轴于C、D两点
（1）求A、B、C、D四点的坐标
（2）如图1，点E为直线CD上一动点，OF⊥OE交直线AB于点F，求证：OE＝OF
（3）如图2，直线y＝kx＋k交x轴于点G，分别交直线AB、CD于N、M两点．若GM＝GN，求k的值
4．如图1，直线y=x+6分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P分别是线段OB，AB的中点，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐标为m，线段CD的长为n（n>0），且m+n=6，以DO，DE为邻边作 ODEF．
(1)求点A和点P的坐标．
(2)如图2所示，当点D在点C左侧，且n=2时，求点F的坐标．
(3)当点F落在△AOB的边OB或AB上时，求点F的坐标．
5．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，
(1)如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
(2)如图2，若OA＝4，OC＝2，M是AB与y轴交点，求的面积．
(3)如图3，点C（0，2），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝6a．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，问：是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
题型2：一次函数与等腰三角形、勾股定理
6．如图1，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；
(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．连接OQ．
①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）
②试求线段OQ长的最小值．
7．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标；
②连接，如图2，若，求点P的坐标．
8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______；
②若射线平分，求点P的坐标；
(3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案）
9．如图，A，B是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线A—B—C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．
②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由
题型3：存在性问题
10．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
11．已知：直线分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．
(1)如图1，若直线过，求．
(2)如图2，点关于轴的对称点为，将线段沿轴正半轴移动到，直线交直线于点，直线交轴于点，求的值．
(3)如图3，在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使得，若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线、交于点，且点的横坐标为1．
(1)如图，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个点，是轴上一动点，若，求此时点的坐标．
(2)若在过作轴的垂线上，点为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时的坐标．
(3)如图，点的坐标为，将直线绕点旋转，使旋转后的直线刚好过点，过点作平行于轴的直线，点、分别为直线；上的两个动点，是否存在点、，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型4：动点问题
13．如图1，已知直线与坐标轴交于两点，与直线交于点,且点的横坐标是纵坐标的倍.
(1)求的值.
(2)为线段上一点，轴于点，交于点,若，求点坐标.
(3)如图2，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发生变化?若不变，请求出它的坐标;如果变化，请说明理由.
14．如图①所示，直线L:yax10a与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.
（1）当OAOB时，试确定直线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的长.
（3）当a取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE，连接EF交y轴于P点，如图③，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由.
题型5：最值问题
15．如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，，轴于点C，轴于点D，且E是y轴正半轴上的一点，．
(1)求点E的坐标；（用含m的式子表示）
(2)如备用图1，已知，连接，若，则：
①求m的值；
②如备用图2，若P，Q分别是线段，射线上的一点，求的最小值．
17．如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线交直线于点E．
(1)求直线的表达式；
(2)我们定义：如果一个三角形中有一个内角为，则称这个三角形为“天府三角形”
①点F是直线上第一象限内一点，若为“天府三角形”，求点F的坐标；
②在①的条件下，当点F的横坐标大于时，作点B关于x轴的对称点，点P为直线上的一个动点，连接，点Q为线段的中点，连接，当最小时，求点Q的坐标．
题型6：一次函数的实际应用
18．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示：
(1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式.
(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
(3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
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(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；
(2)在时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．
①图2中m的值为___________．
②请求出在时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．
题型7：一次函数新定义题
20．在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”．
如点为点的“级上升点”．
(1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________；
(2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值；
(3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，对于任意两点 我们将称为点M与点N的“直角距离”，记作．
例如：点与点的“直角距离”
(1)已知点 ，在这三个点中，与原点O的“直角距离“等于4的点是
(2)若直线上恰好有两个点与原点O的“直角距离”等于4.直接写出b的取值范围；
(3)已知点，若线段上有且只有一点C，使得直接写出m的取值范围．
22．问题：探究函数的图象与性质．小斐根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小斐的探究过程，请补充完整：
(1)在函数中，自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．
①______；
②若，为该函数图象上不同的两点，则______；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，根据函数图象可得：
①函数的最小值为______；
②请你写出该函数的另外一条性质：______．
(4)，为函数图象上的任意两点，其中，若对于，都有，请结合函数图象，直接写出a的取值范围______．
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
0
0
m
…
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