吉林省梅河口市第五中学2024届高三数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

高三数学

一、单选题

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

3．已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

4．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．为的一个极值点

C．点是曲线的一个对称中心

D．函数有且仅有一个零点

5．在等比数列中，若，，则（    ）

A． B． C．1 D．

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知为自然对数的底数，为函数的导数.函数满足，且对任意的都有，，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.

9．连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中正确的是（    ）

A．与互斥 B．

C．与相互独立 D．与不相互独立

10．已知函数，，使方程有4个不同的解：分别记为，其中，则下列说法正确的是（    ）.

A． B．

C． D．的最小值为14

11．关于函数，则下列结论正确的有（    ）

A．是奇函数 B．的最小正周期为

C．的最大值为 D．在单调递增

12．已知函数，则（    ）

A．

B．若有两个不相等的实根，，则

C．

D．若，，均为正数，则

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知命题“，”是假命题，则实数a取值范围是___．

14. 已知函数的定义域为，则实数a的取值范围为________．

15. 已知，则关于x的不等式的解集是______．

16. 已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，且数列的前n项和为，证明：.

18．（12分）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．

(1)求角A的大小；

(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．

19. 设函数，其中.曲线在点处的切线方程为.

（1）确定，的值；

（2）若，过点可作曲线的几条不同的切线？

20. 如图，在五面体中，底面四边形为正方形，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

21. 设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求函数极值．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．

（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．

1．B

2．A

3．A

4．B

5．A

6．C

7．B

8．B

9．ABC

10．AC

11  AC

12 BCD

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

17．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；

（2）求出，然后运用裂项相消法求出可得结论.

【详解】（1）设数列的公比为q，

由，，成等差数列可得，

故，解得，

由可得，

解得，故，即数列的通项公式为.

（2）由（1）可得，

故.

当时，取得最大值，当时，

，

故.

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得，进而求得解；

（2）由题意，由正弦定理结合得，根据为锐角三角形求得，即可求得，即可得解.

【详解】（1）由正弦定理得

即

又

所以

即

又，，

即，即

又，，即

（2）由题意得：，

由正弦定理得：，

又 为锐角三角形，∴，

故，∴，∴，

从而.

所以面积的取值范围是

19【答案】（1），；（2）3条.

【解析】

【分析】（1）求，根据导数的几何意义可得，，即可求得，的值；

（2）求出以及，设切点为，利用切点与点所在直线的斜率等于以及切点满足的解析式列方程，利用导数判断对应函数零点的个数即可求解.

【详解】（1）由得，，

因为曲线在点处的切线方程为，

所以切线的斜率为，且

故，

（2）时，，，

点不在的图象上，

设切点为，则切线斜率，

所以，即

上式有几个解，过就能作出的几条切线.

令，则，

由可得或；由，可得，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

所以极大值为，极小值为，

所以有三个零点，

即过可作出的条不同的切线.

20【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）证明平面，即得证；

（2）以D为坐标原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【详解】证明：（1）在正方形中，，

平面，平面，

平面，

又平面，且平面，

.

（2）四边形为正方形，

，平面,

平面，

平面，

，

又，以D为坐标原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，

可知为平面一个法向量，

设平面的一个法向量为，

，则，令，，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

【21题答案】

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）极小值