精品解析：广东省深圳市福田区莲花中学2021-2022学年九年级上学期开学考试数学试卷

2021-2022学年广东省深圳市福田区莲花中学

九年级（上）开学数学试卷

一、选择题

1. 在中，，若，则sinC=（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质求出∠C，根据60°的正弦值是解答．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

2. 抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（    ）

A. (0，﹣9) B. (﹣3，0) C. (﹣9，0) D. (3，0)

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可得出抛物线的顶点坐标．

【详解】解：抛物线的顶点坐标是(0，-9)．

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，牢记“二次函数的顶点式为，的顶点坐标是(，) ”．

3. 下列说法中不正确的是（    ）．

A. 矩形的对角线互相垂直且相等 B. 平行四边形的对角线互相平分

C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 正方形的对角线相等

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可判断．

【详解】解：A选项：矩形对角线互相平分且相等，故A不正确；

B选项：平行四边形互相平分，故B正确；

C选项：四条边相等的四边形为菱形，故C正确；

D选项：正方形的对角线相等，故D正确．

故选A．

【点睛】本题考查了平行四边形，解题的关键正确理特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型．

4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（   ）

A. 1 B. -1 C. 2 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】利用一元二次方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边的值相等的未知数的的值，由定义知，x=0是方程的解，把x=0代入方程得m-1=0，解之即可．

【详解】关于的一元二次方程有一个根是0，

把x=0代入得m-1=0，

则m=1．

故选：A．

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法与解的性质，会用一元二次方程的解解决问题是解题的关键．

5. 如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 的比是（　　）

A. 3：2 B. 3：5 C. 9：16 D. 9：4

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．

【详解】解：∵ ， ， ，

∴，

∴ 与 的比是 ，

故选：．

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

6. 中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）

A. x（x+1）＝2450 B. x（x﹣1）＝2450

C. 2x（x﹣1）＝2450 D. x（x﹣1）＝2450

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，有x个人，然后根据全班共发送了2450条祝福列方程即可．

详解】根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，全班有x名学生，

所以（x﹣1）x＝2450．

故选：D．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，设未知数，根据等量关系列方程是解题关键．

7. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点О为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点C的坐标为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】根据关于原点位似图形坐标变化规律求解即可．

【详解】解：把这个三角形放大为原来的2倍，得到，

如果两个三角形在原点同侧，则点A的对应点C的坐标为，

如果两个三角形在原点异侧，则点A的对应点C的坐标为，

故选：C．

【点睛】本题考查了关于原点位似图形坐标变化规律，解题关键是熟记变化规律，注意分类讨论．

8. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．

【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．

时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；

故选D．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．

9. 在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（    ）

A. 11 B. 13 C. 24 D. 30

【答案】B

【解析】

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．

【详解】解：设袋中有黑球x个，

由题意得：＝0.2，

解得：x＝13，

经检验x＝13是原方程的解，

则布袋中黑球的个数可能有13个．

故选：B．

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

10. 如图，二次函数 的图像与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，与 轴的交点在 ，之间（包含端点），下列结论正确的是（    ）

①；② ；③；④；⑤对于任意都有 ．

A ①②⑤ B. ②③④ C. ②④ D. ②④⑤

【答案】D

【解析】

【分析】①由函数图像可判断 ， ， 的符号，则①是否正确即可判断；

②由抛物线的对称轴为直线 ，一个交点 ，得到另一个交点坐标，利用图像即可对于选项②作出判断；

③根据抛物线开口方向判定 的符号，由对称轴方程求得 与 的关系是 ，将其代入 ，并判定其符号；

④根据两根之积 ，得到 ，然后根据 的取值范围利用不等式的性质来求 的取值范围；

⑤利用二次函数的性质可对⑤进行判断．

【详解】解：由函数图像可 ， ， ，

∴ ，故①错误；

∵抛物线与轴交于点 ，对称轴直线是 ，

∴该抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ，

∴当 ， ，

即 ，故②正确；

根据图示知，抛物线开口方向向下，则 ．

∵对称轴 ，

∴ ，

∴，即 ，故③错误；

∵抛物线与轴的两个交点坐标分别是 ， ，

∴ ， ，则 ．

∵抛物线与轴的交点在 ，之间（包含端点），

∴ ，

∴ ，即 ，故④正确；

∵抛物线的顶点坐标 ，

∴时，二次函数值有最大值 ，

∴ ．

即 ，所以⑤正确．

故选：．

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是结合图像以及给定条件逐个分析5条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．

二、填空题

11. 若，则=______

【答案】．

【解析】

【分析】利用适当变形后即可求得．

【详解】解：，

即，

即，

即．

故答案为：．

【点睛】本题考查比例的性质．能对原式进行正确变形是解题关键．

12. 不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是_____．

【答案】

【解析】

【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，

所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝．

故答案为．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

13. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝6m，则建筑物CD的高是_____m．

【答案】6

【解析】

【分析】直接利用已知得出△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质得出答案．

【详解】解：由题意可得：BE∥DC，

则△ABE∽△ACD，

故，

∵标杆BE高1.5m，AB＝2m，BC＝6m，

∴，

解得：DC＝6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件找到相似三角形，然后利用对应边成比例列式求解．

14. 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．

【答案】

【解析】

【分析】连接AC交BD于P点，延长EO交CD于G点，根据菱形的性质求出AC的长度，并证明OF=OG，从而OE+OF＝EG，利用菱形的面积公式求解EG即可．

【详解】如图所示，连接AC交BD于P点，延长EO交CD于G点，

根据菱形的性质得：AB=10，BP=8，∠APB=90°，

∴在Rt△APB中，根据勾股定理得：AP=6，

∴AC=2AP=12，

又根据菱形的对称性得：OF=OG，

∴OE+OF＝EG，

根据菱形的面积公式：，

∴，

解得：，

即：，

故答案为：．

【点睛】本题考查菱形的性质以及面积公式，理解菱形的面积可由对角线乘积的一半进行计算是解题关键．

15. 如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过△ABD的顶点A，B，交BD于点C，AB经过原点，点D在y轴上，若BD＝4CD，△OBD的面积为15，则k的值为_____．

【答案】-6

【解析】

【分析】连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．根据题意设C（m，），则B（4m，），证明S△OBC＝S梯形CEFB，用k表示S△OBC，由BD＝4CD，△OBD的面积为15，求得S△OBC，进而列出k的方程，即可解决问题．

【详解】解：连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．

根据题意设C（m，），则B（4m，），

∵S△OBC＝S四边形OCBF﹣S△OBF＝S四边形OCBF﹣S△OEC＝S梯形CEFB，

∴S△OBC＝（﹣﹣）•（4m﹣m）＝﹣k，

∵BD＝4CD，△OBD的面积为15，

∴，

∴，

∴k＝﹣6．

故答案：﹣6．

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题

16. 计算：2cos30°+|﹣2|﹣（π﹣2020）0﹣（）﹣1．

【答案】-2．

【解析】

【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【详解】解：原式＝2×+2﹣﹣1﹣3，

＝+2﹣﹣1﹣3，

＝﹣2．

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，结合负整数指数幂、绝对值的性质、零指数幂的性质和特殊角的三角函数值计算是解题的关键．

17. 解方程：

（1）

（2）．

【答案】（1），；（2），

【解析】

【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】（1）

解得

（2）

解得

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

18. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，我校开设了形式多样的校本课程．为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为　   　人，扇形统计图中A部分的圆心角是　   　度；

（2）请补全条形统计图；

（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？

（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）

【答案】（1）60，36；（2）见解析；（3）80；（4），见解析

【解析】

【分析】（1）根据该项所占的百分比=，圆心角=该项的百分比×360°，两图给了D的数据，代入即可算出总人数，然后再算A的圆心角即可；（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算喜欢“科学探究”的人数，再补全条形图即可；（3）根据喜欢某项人数=总人数×该项所占的百分比，计算即可；（4）画树状图得，共12种结果，满足条件有两种，根据概率公式求解即可；

【详解】解：

（1）由条形图、扇形图知：喜欢趣味数学的有24人，占调查总人数的40％，

所以调查总人数：24÷40％=60，

图中A部分的圆心角为：=36°；

故答案为：60、36；

（2）B课程的人数为60﹣（6+18+24）＝12（人），

补全图形如下：

（3）估计最喜欢“科学探究”的学生人数为400×＝80（人）；

（4）画树状图如图所示，

共有12种等可能的结果数，其中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为2，

∴他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是＝；

【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，掌握用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式是解题的关键.

19. 商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大利润是多少？

【答案】（1）2x；（60﹣x）；   

（2）每件商品降价10元时，商场日盈利可达到最大5000元．

【解析】

【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；

（2）等量关系为：日盈利＝每件商品的盈利×可卖出商品的件数，把相关数值代入并配方成顶点式，再结合二次函数的性质可得答案．

【小问1详解】

解：由题意，可得商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（60﹣x）元．

故答案为：2x；（60﹣x）；

【小问2详解】

设商场日盈利w元，

则w＝（60﹣x）（80+2x）

，

当x＝10时，w取得最大值5000，

答：每件商品降价10元时，商场日盈利可达到最大5000元．

【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系并正确列出函数式，是解题的关键．

20. 如图所示，某船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在点A测得岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛C在北偏东30方向上，已知该岛周围18海里内有暗礁．

（1）试说明点B是否在暗礁区域外？

（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．

【答案】（1）点B在暗礁区域之外；（2）继续向东航行有触礁的危险，理由见解析

【解析】

【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM＝x，运用特殊角的三角函数值求出AM和BM的值，进而求得x的值，最后求出BC与18海里进行比较即可正确判断．

（2）根据（1）求出CM的值，再与18进行比较进行说明即可．

【详解】解：（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM＝x，

∵∠CAM＝30°∠CBM＝60°，

∴AM＝x，BC＝x，BM＝x，

由题意知：x﹣x＝×40，即x﹣x＝20，

解得：x＝10（海里），

∴BC＝×10＝20＞18，

∴点B在暗礁区域之外；

（2）由（1）知：CM＝x＝10≈17.32＜18，

故继续向东航行有触礁的危险．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，做出辅助线、构造合适的直角直角三角形是解答本题的关键．

21. 如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF=AB

（1）求证：；

（2）若，求的长；

（3）如图2，连接，求证：．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）见解析

【解析】

分析】（1）证明，得出，证得，则结论得出；

（2）证明，得出，即，设，，则有，化简得，解方程即可得出答案；

（3）在线段上取点，使得，证明，得出，，证得为等腰直角三角形，可得出结论．

【小问1详解】

解：证明：四边形是矩形，点在的延长线上，

，

又，，

，

，

，

即，

故；

【小问2详解】

解：四边形是矩形，

，

，，

，

，

即，

设，则有，

化简得，

解得或（舍去），

，

，

；

【小问3详解】

解：证明：如图，在线段上取点，使得，

在与中，，，，

，

，，

，

为等腰直角三角形，

．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明出以及截去证明出．

22. 如下图所示，已知抛物线与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当取得最大值时，求点M的坐标；

（3）在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）或

【解析】

【分析】（1）、将三点坐标代入解析式列出方程组求解即可；

（2）、过点M作MD平行于y轴，也BC交于D，则可得： ，用待定系数法求出BC解析式，设出M、D坐标，代入可得出S的表达式，配成顶点式求最值即可；

（3）四边形ABMC的面积= ，则结合（2）可列出方程，求解即可．

【小问1详解】

解：将 代入抛物线解析式得：

，

解得： ，

；

【小问2详解】

过点M作轴交BC于D，交OB于E，过C作于F，

为矩形，

，

设直线BC的解析式为： ，

将点（0，4）、（4，0）代入得： ，

解得： ，

则直线BC的解析式为： ，

设 ，则 ，

，

，

，

∵点M在直线BC的上方，

，

∴当 时，最大，此时，

∴ ；

【小问3详解】

由（2）得：，

点M在直线BC的上方，

，

，

四边形ABMC的面积= ，

则由题意得：，

解得： 或 ，

当时，，

当时，，

或 ．

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，割补法求面积，二次函数最值，熟练掌握以上知识点并综合运用是解题的关键．